单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间向量复习,1、基础知识,2、向量法,3、坐标法,空间向量复习1、基础知识,空间向量基础知识,空间向量的坐标表示：,空间向量的运算法则：若,空间向量基础知识空间向量的坐标表示：,向量的共线和共面,共线:,共面,向量的共线和共面共线:,两点间的距离公式,模长公式,夹角公式,方向向量：,法向量,两点间的距离公式,空间角及距离公式,线线,线面,面面,点面,点线,点面,线线,线面,面面,夹角,距离,空间角及距离公式线线夹角距离,堂上基础训练题,2.已知 与 平行，则,a+b=,_,3.,与向量,a,=(1,2,3),b,=(3,1,2),都垂直的向量为（）,A(1,7,5)B(1,-7,5)C(-1,-7,5)D(1,-7,-6),1.已知点,A（3，-5，7），,点,B（1，-4，2），,则 的坐标是_，,AB,中点坐标是_ =,_,4.已知,A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），,若 的坐标,为,.,堂上基础训练题2.已知,8.,设,|,m,|,1,，,|,n,|,2,，,2,m,n,与,m,3,n,垂直，,a,4,m,n,，,b,7,m,2,n,，,则 _,7.若 的夹角为,.,6、已知 =（2，-1，3），=（-4，2，,x），,若 与 夹角是钝角，则,x,取值范围是,_,5.,已知向量 ，,a,与,b,的夹角为,_,8.设|m|1，|n|2，2mn与m3n垂直，a4,向量法,例题,1,如图，在空间四边形,ABCD,中，,E、F,分别是,OC,与,AB,的中点，求证,A,B,C,E,F,O,若,求,OA,与,BC,夹角的余弦,8,6,5,4,向量法例题1如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是OC,例题2,在平行六面体 中，底面,ABCD,是边长,a,为的正方形，侧棱长为,b，,且,（1）求 的长；,（2）证明：,AA,1,BD，AC,1,BD,（3）求当,a：b,为多少时，能使,AC,1,BDA,1,例题2 在平行六面体 中，底面AB,小测,1棱长为,a,的正四面体,ABCD,中，,。,2向量 两两夹角都是 ，,则,。,3、已知,S,ABC,是棱长为1的,空间四边形,，,M、N,分别是,AB，SC,的中点，求异面直线,SM，BN,与所成角的余弦值,N,M,S,C,B,A,小测1棱长为a的正四面体 ABCD中，,坐标法,（1）求证：；,（2）求,EF,与 所成的角的余弦；,（3）求的,FH,长,D,1,H,G,F,E,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,例1,在棱长为的正方体 中，分别是 中点，,G,在,CD,棱上，,H,是 的中点，,坐标法（1）求证：；D1HGFEA,例题2,已知,ABCD,是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴,OO,1,折成直二面角，如图2.,（）证明：,AC,BO,1,；,（）,求二面角,OACO,1,的大小.,例题2已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形,例题3,如图，在四棱锥,V-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形，侧面,VAD,是正三角形，平面,VAD,底面,ABCD,（）证明,AB,平面,VAD,（）,求面,VAD,与面,VDB,所成的二面角的大小,例题3如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧,例题4,已知菱形,ABCD，,其边长为2，,BAD=60,O,，,今以其对角线,BD,为棱将菱形折成直二面角，得空间四边形,ABCD（,如图），求：,（,a）AB,与平面,ADC,的夹角；,二面角,B-AD-C,的大小。,例题4已知菱形ABCD，其边长为2，BAD=60O，今以其,小测,D,1,C,1,B,1,A,1,A,B,C,D,1.在长方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB2，BC2，AA,1,6，,求(1)异面直线,BD,1,和,B,1,C,所成角的余弦值,（2）BD,1,与平面,A,B,1,C,的夹角,小测D1C1B1A1ABCD1.在长方体ABCDA1B1C,2、如图，,RtABC,在平面,内，,ACB=90,0,梯形,ACDE,中,ACDE,CD,DE=1,AC=2,ECA=45,0,求,AE,与,BC,之间的距离,2、如图，RtABC在平面内，ACB=900,梯形A,棱锥、圆锥的体积,棱锥、圆锥的体积,复习：,1,、等底面积等高的两个柱体体积相等。,2,、,V,柱体,Sh,V,圆柱,r,2,h,3,、柱体体积公式的推导：,复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。,柱体体积公式的推导：,等底面积等高的几个柱体,被平行于平面,的平面所截,截面面积始终相等,体积相等,V,长方体,abc,V,柱体,Sh,V,圆柱,r,2,h,柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面的平,问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下,锥体体积是否具有相似的结论？,问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。,h,1,S,1,h,1,S,1,h,S,h,S,取任意两个锥体，它们,的底面积为,S,，高都是,h,平行于平面,的任一平面去截,截面面积始终相等,两个锥体体积相等,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1h,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。,h,1,S,1,h,1,S,1,h,S,h,S,证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为,S,，高都是,h,。,把这两个锥体,放在同一个平面,上，这是它们的顶点都在和平面,平行的同一个平,面内，,用平行于平面,的任一平面去截它们，,截面分别与底面相似，,设截面和顶点的距离是,h,1,，截面面积分别是,S,1,、,S,2,，,那么,根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1h,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,A,B,C,A,C,B,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACB,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,A,B,C,A,C,B,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACB,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,BCABCACBABCABCABCACB,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,C,B,把三棱锥,1,以,ABC,为底面、,AA,1,为侧棱补成,一个三棱柱。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,C,B,连接,B,C,然后,把这个三棱柱,分割成三个三,棱锥。,就是三棱锥,1,和另两个三棱,锥,2,、,3,。,2,3,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,就是三棱锥,1,和另两个三棱,锥,2,、,3,。,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,2,3,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,B,C,A,B,2,C,A,C,B,3,A,B,C,A,1,三棱锥,1,、,2,的底,ABA,、,B,A,B,的面积相等。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,C,A,C,B,3,A,B,C,A,1,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,三棱锥,1,、,2,的底,ABA,、,B,A,B,的面积相等，,高也相等（顶点都是,C,）。,A,1,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,高,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,1,C,A,C,B,3,B,C,A,B,2,三棱锥,2,、,3,的底,BCB,、,C,B,C,的面积相等。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,1,C,A,C,B,3,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,三棱锥,2,、,3,的底,BCB,、,C,B,C,的面积相等。,高也相等（顶点都是,A,）。,高,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,1,C,A,C,B,3,B,C,A,B,2,V,1,V,2,V,3,V,三棱锥,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,定理证明：,已知：三棱锥,1,（,A,1,-ABC,）的底面积,S,高是,h.,求证,:V,三棱锥,Sh,证明,:,把三棱锥,1,以,ABC,为底面、,AA,1,为侧棱补成一个三棱,柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三,棱锥,1,和另两个三棱锥,2,、,3,。,三棱锥,1,、,2,的底,ABA,1,、,B,1,A,1,B,的面积相等，,高也相等（顶点都是,C,）；三棱锥,2,、,3,的底,BCB,1,、,C,1,B,1,C,的面积相等，高也相等,（顶点都是,A,1,）,V,1,V,2,V,3,V,三棱锥,。,V,三棱柱,Sh,。,V,三棱锥,Sh,。,A,B,C,A,C,B,2,3,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,任意锥体的体积公式：,定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积,是,S,，高是,h,，那么它的体积是,V,锥体,Sh,推论：如果圆锥的底面半径是,r,，高是,h,，,那么它的体积是,V,圆锥,r,2,h,任意锥体的体积公式：定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底,小结：,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积,是,S,，高是,h,，那么它的体积是,V,锥体,Sh,推论：如果圆锥的底面半径是,r,，高是,h,，,那么它的体积是,V,圆锥,r,2,h,小结：,例题一：如图：已知三棱锥,A-BCD,的侧棱,AD,垂直于底,面,BCD,，侧面,ABC,与底面所成的角为,求证：,V,三棱锥,S,ABC,ADcos,A,D,B,C,E,证明：在平面,BCD,内，作,DE BC,，垂足为,E,，,连接,AE,DE,就是,AE,在平面,BCD,上的射影。,根据三垂线定理，,AE BC,。,AED,。,V,三棱锥,S,B CD,AD,S,AB C,ADcos,BC,ED,AD,BC,AEcos,AD,例