单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,引例,:,分布着某种非均匀的物质,求分布在,内的物质的,“,大化小,解决方法,:,质量,M,.,密度函数为,这可看作三重积分的物理意义。,注意,：,设在有限闭区域,内,采用,常代变,近似和,求极限”,三重积分没有几何意义。,1一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,引例:,2,定义,.,存在,称为,体积元素,对,作,任意分割,:,任意取点,则称,此极限,为函数,在,上的,三重积分,.,在直角坐标系下,若,极限：,记作,设,如果,则,若将函数,看作某物体,则该物体的质量,的密度函数,169,页,13,（,1,）,由,及,围成的,闭区域,.,2定义.存在,称为体积元素,对 作任意分割:任意取点,3,方法,1.,投影法,(“,先一后二”,),方法,2.,截面法,(“,先二后一”,),三次积分法,先,直角坐标,或极坐标,后,二、三重积分的计算,1.,利用,直角,坐标计算三重积分,直角坐标,或极坐标,3方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后,4,方法,1.,三次,积分法,若,的边界方程中,只有,两个,则先求出这,两个,然后在,求出,两个,边界方程中,最后在,边界方程中,求出,两个,剩余,的,剩余,的,先,4方法1.三次积分法若 的边界方程中只有两个则先求出这两个,5,例,1.,化,为,三次,积分,（,1,）,为三个,坐标面,及平面,围成的,闭区域,.,解,:,原式,=,（,2,）,由曲面,围成的,闭区域,.,解,:,原式,=,先,先,5例1.化为三次积分（1）为三个坐标面及平面围成的闭区域,6,其中,是,由,例,2.,计算,所围成的闭区域,.,解,原式,=,先,6其中 是由例2.计算所围成的闭区域.解原式=先,7,169,页,13,（,3,）,所围立体体积,.,解,:,求曲面,的,方程中,有三个,只有两个,先,7169页13（3）所围立体体积.解:求曲面的方程中有三个,8,例,9.15,计算,其中,为三个,坐标面,及平面,围成的,闭区域,.,解,:,原式,=,先,或,先,原式,=,原式,面积,8例9.15计算其中 为三个坐标面及平面围成的闭区域.解:,9,方法,2.,截面,法,(“,先二后一”,),后,条件：,的边界方程中,有,三个,或者,被积函数,是变量,截面,的面积为,的一元函数,垂直于,轴,9方法2.截面法(“先二后一”)后条件：的边界方程中有三个,10,例,3,计算,其中,解：,的面积,被积函数,奇函数,边偶被奇为零,设,的边界方程,关于,z,是偶函数,(,表面,方程,),关于,对称,即,时,若,关于,z,是奇函数,即,则,例如,设,则,例设,是,由,所围成的闭区域,.,10例3计算其中解：的面积被积函数奇函数边偶被奇为零 设的,11,设,为球体：,则,计算,(1),解,(1),(2),(2),类似可得,167,页例,9.20,11设为球体：则计算(1)解(1)(2)(2)类似可得,12,椭球体：,该椭圆,长半轴,短半轴,的面积,的面积,的面积,截面,垂直于,轴,截面,垂直于,轴,截面,垂直于,轴,12椭球体：该椭圆长半轴短半轴的面积的面积的面积截面垂直,13,设,例,3.,为椭球体：,计算,(1),(2),(3),解,:,(1),后,被积函数没有,该椭圆,长半轴,短半轴,面积,(2),同理,(3),161,页例,9.16,13设 例3.为椭球体：计算(1)(2)(3)解:,14,168,页,6.,计算三重积分,解,:,的,公共,部分,.,其中,是,和,两个球面,原式,=,半径：,半径：,有,四个,边界方程中,后,被积函数没有,14168页6.计算三重积分解:的公共部分.其中是和两个球,15,2.,就称为点,M,直角坐标,利用,柱坐标,计算三重积分,与柱面坐标的关系,:,设,，若将,用,极,坐标,代替，,则,的,柱,坐标,.,体积,元素,先,后,代入被积函数,代入边界方程,152.就称为点M直角坐标利用柱坐标计算三重积分 与柱面,16,其中,为由,例,5.,所围,解,:,及平面,柱面,的,第一卦限,在柱面坐标系下,计算三重积分,的半圆柱体,.,先,代入被积函数,代入边界方程,16其中为由例5.所围解:及平面柱面的第一卦限在柱面坐标系,17,练习,.,解,:,所围成,.,与平面,其中,由抛物面,原式,=,计算三重积分,在柱面坐标系下,先,代入被积函数,代入边界方程,17练习.解:所围成.与平面其中由抛物面原式=计算三重,18,169,页,13,（,1,）,计算由,及,围成的,立体的体积,.,解,有,两个,边界方程中,代入边界方程,18169页13（1）计算由及围成的立体的体积.解有两个边,19,例,6.,计算三重积分,所围成,.,其中,由,有,三个,边界方程中,解,:,原式,=,169,页第一行,后,先,代入被积函数,代入边界方程,19例6.计算三重积分所围成.其中由有三个边界方程中解,20,其中,是由,所围成的闭区域,.,解,原式,169,页,10(1),与平面,利用柱坐标,20其中是由 所围成的闭区域.解原式169页10(1)与,21,169,页,10(4),解,:,所围成,与,其中,由曲面,原式,=,在柱面坐标系下,21169页10(4)解:所围成与其中由曲面原式=在柱面坐,22,3.,就称为点,M,的,球,坐标,.,直角坐标与球面坐标的关系,球面,半平面,半锥面,的柱坐标为,常数,常数,常数,利用,球坐标,计算三重积分,在球面坐标系中体积元素为,边界,方程,或被积函数,含有,223.就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系球,23,几个常用情形,:,23几个常用情形:,24,例,7.,计算,其中,解,:,原式,=,代入被积函数,代入边界方程,24例7.计算其中解:原式=代入被积函数代入边界方程,25,练习,.,计算,解,:,所围,立体,.,其中,由,球面,原式,=,在球面坐标系下,代入被积函数,代入边界方程,25练习.计算解:所围立体.其中由球面原式=在球面坐标系下,26,例,8.,计算,其中,解,:,原式,=,代入被积函数,代入边界方程,26例8.计算其中解:原式=代入被积函数代入边界方程,27,例,9.,计算,解,:,所围,立体,.,其中,与球面,为锥面,原式,=,在球面坐标系下,代入被积函数,代入边界方程,27例9.计算解:所围立体.其中与球面为锥面 原式=在球面,28,169,页,10(5).,计算,解,:,原式,=,其中,28169页10(5).计算解:原式=其中,29,练习,.,计算,解,:,原式,=,其中,代入被积函数,代入边界方程,29练习.计算解:原式=其中代入被积函数代入边界方程,30,练习,计算,其中,解,:,原式,=,对称，,设,关于,yoz,平面,即,若,关于,x,是奇函数,即,则,例如,设,则,时,边偶被奇为零,30练习计算其中解:原式=对称，设关于yoz平面即若关于x,31,课本,167,页例,9.20,计算,其中,解,:,原式,边偶被奇为零,31课本167页例9.20计算其中解:原式边偶被奇为零,32,例,14.,设,由锥面,和球面,所围成,解,:,利用对称性,计算,在球面坐标系下,原式,32例14.设由锥面和球面所围成,解:利用对称性计算在球,33,167,页例,9.21,所围包含,z,轴的立体的体积,.,解,:,求半径为,R,的球面,与半顶角为,在球坐标系下,得球的体积,的,内接锥面,33167页例9.21 所围包含z 轴的立体的体积.解:求半,34,备用题,所围立体体积,.,解,:,在球面坐标系下,求曲面,34备用题所围立体体积.解:在球面坐标系下求曲面,35,内容小结,积分区域,由平面柱面,含有,坐标系,直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系,含有,围成,适用情况,体积元素,35内容小结积分区域由平面柱面含有坐标系直角坐标系柱面坐标系,36,作业,168,页习题,9,2,1,2,3,4,5,7,8,9,10,36作业 168页习题921,2,34,5,7,8,9,1,