*,*,*,*,二 次 函 数 复 习,2024/11/16,二 次 函 数 复 习2023/9/30,一、二次函数概念,形如,y=ax,2,+bx+c,(,a,b,c,是常数，,a0,),的函数叫做,二次函数,其中二次项为,ax,2,，一次项为,bx,，常数项,c,二次项的系数为,a,，一次项的系数为,b,，常数项,c,练习,：,1,、,y=-x,，,y=2x-2/x,，,y=100-5 x,y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有,_,个。,2.,当,m_,时,函数,y=(m+1)-2+1,是二次函数？,2024/11/16,一、二次函数概念形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,二,.,二次函数图象,对称轴,顶点坐标,最值,增减性,y=ax,2,y=a(x+m),2,y=a(x+m),2,+k,y=ax,2,+bx+c,y=ax,2,+k,顶点式,一般式,配方,平移,直线,x=0,直线,x=-m,直线,x=-m,(0,0),(-m,0),(-m,k),a0,当,x=0,y,最小,=0,a0,当,x=-m,y,最小,=0,a0,当,x=-m,y,最小,=k,a0,，,x,-,m,y,随,x,增大而减小,x,-m,y,随,x,增大而增大,a0,，,x,-,b/2a,y,随,x,增大而减小,x,-b/2a,y,随,x,增大而增大,2024/11/16,二.二次函数图象对称轴顶点坐标最值增减性y=ax2y=a(x,2.,二次函数图象的画法,顶点坐标,与,X,轴的交点坐标,与,Y,轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点,（，）,(x,1,0)(x,2,0),(0,c),(,c),（，）,x,1,x,2,O,x,y,c,(,c),对称轴直线,x=,2024/11/16,2.二次函数图象的画法顶点坐标与X轴的交点坐标与Y轴的交点坐,(1)y=2(x+2),2,是由,向,平移,个单位得到,(2)y=-2x,2,-2,是由,向,平移,个单位得到,(3)y=-2(x-2),2,+3,是由,向,平移,个单位,，再向,平移,个单位得到,(4)y=2x,2,+4x-5,是由,向,平移,个单位，再向,平移,个单位得到,(5)y=2x,2,向左平移,2,个单位，再向下平移,3,个单位得到,函数解析式是,。,y=2(x+2),2,-3,y=2x,2,左,2,y=-2x,2,下,2,y=-2x,2,右,2,上,3,y=2x,2,左,1,下,7,2024/11/16,(1)y=2(x+2)2是由 向 平移,（,6,）已知二次函数,y=x,2,-4x-5,，求下列问题,y=-2(x+1),2,-8,开口方向,对称轴,顶点坐标,最值,怎样平移,x,在什么范围，,y,随,x,增大而增大,与坐标轴的交点坐标,与,x,轴的交点坐标为,A,B,与,y,轴的交点为,C,则,S,ABC,=,.,在抛物线上是否存在点,P,使得,S,ABP,是,ABC,面积的,2,倍,若存在，请求出点,P,的坐标，若不存在，请说明理由,当,x,为何值时，,y0,2024/11/16,（6）已知二次函数y=x2-4x-5 ，求下列问题y=-,（,7,）已知二次函数,y=x,2,+bx+c,的顶点坐标（,1,，,-2,），求,b,，,c,的值,（,8,）已知二次函数,y=x,2,+4x+c,的顶点坐标在,x,轴上，求,c,的值,（,9,）已知二次函数,y=x,2,+4x+c,的顶点坐标在直线,y=2x+1,上，求,c,的值,2024/11/16,（7）已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（1，-2），,2,、已知抛物线顶点坐标（,m,k,），通常设抛物线解析式为,_,3,、已知抛物线与,x,轴的两个交点,(x,1,0),、,(x,2,0),通常设解析式为,_,1,、已知抛物线上的三点，通常设解析式为,_,y=ax,2,+bx+c,(a0),y=a(x+m),2,+k,(a0,),y=a(x-x,1,)(x-x,2,),(a0,),如何求抛物线解析式常用的三种方法,一般式,顶点式,交点式或两根式,4.,公式法,2024/11/16,2、已知抛物线顶点坐标（m,k），通常设抛物线解析式为_,1.,已知一个二次函数的图象经过点,（,0,，,0,），（,1,，,3,），（,2,，,8,）。,如何求下列条件下的二次函数的解析式,:,3.,已知二次函数的图象的对称轴是直线,x=3,并且经过点,(6,0),和,(2,12),2.,已知二次函数的图象的顶点坐标为,（,2,，,3,），且图象过点（,3,，,2,）。,4.,矩形的周长为,60,，长为,x,，面积为,y,，则,y,关于,x,的函数关系式,。,2024/11/16,1.已知一个二次函数的图象经过点如何求下列条件下的二次函数的,如何判别,a,、,b,、,c,、,b,2,-4ac,，,2a+b,，,a+b+c,的符号,（,1,）,a,的符号：,由抛物线的开口方向确定,开口向上,a,0,开口向下,a,0,交点在,x,轴下方,c,0,与,x,轴有一个交点,b,2,-4ac,=0,与,x,轴无交点,b,2,-4ac,0,B a0,b,2,-4acb 0,），今在四边上分别选取,E,、,F,、,G,、,H,四点，且,AE=AH=CF=CG=x,，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？,D,C,A,B,G,H,F,E,a,b,b,2024/11/16,3.在矩形荒地ABCD中，AB=a，BC=b,（ab,4.,（,2021,新疆生产建设兵团改编）,如图，在一面靠墙的空地上用长为,24,米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽,AB,为,x,米，面积为,S,平方米。,(1),求,S,与,x,的函数关系式及自变量的取值范围；,(2),当,x,取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？,(3),若墙的最大可用长度为,8,米，则求围成花圃的最大面积,。,A,B,C,D,解：,(1)AB,为,x,米、篱笆长为,24,米,花圃宽为（,24,4x,）米,(3),墙的可用长度为,8,米,(,2),当,x,时，,S,最大值,36,（平方米）,S,x,（,24,4x,）,4x,2,24 x,（,0 x6,）,024,4x 8 4x6,当,x,4m,时，,S,最大值,32,平方米,2024/11/16,4.（2021新疆生产建设兵团改编）如图，在一面靠墙的空地,5.,某企业投资,100,万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利,33,万。该生产线投产后，从第,1,年到第,x,年的维修、保养费用累计为,y(,万元,),，且,y=ax,2,+bx,若第,1,年的维修、保养 费用为,2,万元，到第,2,年为,6,万元。,（,1,）求,y,的解析式；,（,2,）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？,解,:,（,1,）由题意，,x=1,时，,y=2,；,x=2,时，,y=2+4=6,分别代入,y=ax,2,+bx,得,a+b=2,4a+2b=6,解得,:a=1,b=1,y=x,2,+x.,（,2,）设,g,33x-100-x,2,-x,则,g=-x,2,+32x-100=-(x-16),2,+156,.,由于当,1x16,时，,g,随,x,的增大而增大，故当,x=4,时，即第,4,年可收回投资。,2024/11/16,5.某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、,6.,某商场将进价,40,元一个的某种商品按,50,元一个售出时，能卖出,500,个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少,10,个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？,分析,：利润,=,（每件商品所获利润）,（销售件数）,设每个涨价,x,元，那么,（,3,）销售量可以表示为,（,1,）销售价可以表示为,（,50+x,）元,（,x 0,，且为整数）,(500-10 x),个,（,2,）一个商品所获利,润,可以表示为,（,50+x-40,）元,（,4,）共获利,润,可以表示为,(50+x-40)(500-10 x),元,2024/11/16,6.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖,7.,如图，已知直线,y=-x+3,与,X,轴、,y,轴分别交于点,B,、,C,，抛物线,y=-x,2,+bx+c,经过点,B,、,C,，点,A,是抛物线与,x,轴的另一个交点。,（,1,）求抛物线的解析式；,解：令,y=0,，则,x+3=0,，,x=3,，,B,（,3,，,0,），,令,x=0,，则,y=3,，,C,（,0,，,3,），,b=2,c=3,解得,-9+3b+,c,=0,c=3,得,y=-x,2,+2x+3,（,3,，,0,）,（,0,，,3,）,x,y,o,A,B,C,2024/11/16,7.如图，已知直线 y=-x+3与X轴、y轴分别交于点B,7.,如图，已知直线,y=-x+3,与,X,轴、,y,轴分别交于点,B,、,C,，抛物线,y=-x,2,+bx+c,经过点,B,、,C,，点,A,是抛物线与,x,轴的另一个交点。,（,1,）求抛物线的解析式；,（,2,）若抛物线的顶点为,D,，求四边形,ABDC,的面积；,（,3,，,0,）,（,0,，,3,）,B,C,D,x,y,o,A,E,（,1,，,4,）,（,1,，,0,）,（,-1,，,0,）,解：,S,四边形,ABDC,=S,AOC,+S,梯形,OEDC,+S,EBD,=9,=AO OC +,（,OC+ED,）,OE+EB ED,=13+,（,3+4,）,1+3-1 4,2024/11/16,7.如图，已知直线 y=-x+3与X轴、y轴分别交于点B、,7.,如图，已知直线,y=-x+3,与,X,轴、,y,轴分别交于点,B,、,C,，抛物线,y=-x,2,+bx+c,经过点,B,、,C,，点,A,是抛物线与,x,轴的另一个交点。,（,4,）,第（,3,）题改为,在直线,y=-x+3,上是否存在点,P,，使,S,PAC,=S,PAB,？若存在，求出点,P,的坐标；若不存在，说明理由。,答案一样吗？,（,3,，,0,）,（,0,，,3,）,x,y,o,A,B,C,P,（,3,）若点,P,在直线,BC,上且,S,PAC,=S,PAB,，,求,P,的坐标；,Q,2024/11/16,7.如图，已知直线 y=-x+3与X轴、y轴分别交于点B、,y,（,3,，,0,）,（,0,，,3,）,x,o,A,B,C,P,Q,P,（,3,，,0,）,（,0,，,3,）,x,y,o,A,B,C,Q,2024/11/16,y（3，0）（0，3）xoABCPQP（3，0）（0，3）x,（,14,）（,2014,乌鲁木齐）在平面直角坐标系,xOy,中，抛物线,y=mx-2x,与,x,轴正半轴交于点,A,，顶点为,B.,2024/11/16,（14）（2014 乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy中，抛,（,1,）求点,B,的坐标（用含,m,的代数式表示）,.,（,2,）已知点,C,（,0,，,-2,），直线,AC,与,BO,交于点,D,，与该抛物线对称轴交于点,E,，且,OCDBED,，求,m,的值,.,（,3,）在由（,2,）确定的抛物线上有一点,N,（,n,，,-5/3),N,在对称轴左侧，点,F,G,在对称轴上，,F,在,G,的上方，且,FG=1,，当四边形,ONGF,的周长最小时：,求点,F,的坐标；,设点,P,在抛物线上，在,y,轴上是否存在点,H,，使以,N,F,H,P,为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点,H,的坐标；若不存在，请说明理由,.,2024/11/16,（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）.2023/9/30,（,14,分）（,2021,乌鲁木齐,）如图在平面直角坐标系中，边长为的正方形,ABCD,的顶点,A,、,B,在,x,轴上，连接,OD,、,BD,、,BOD,的外心,I,在中线,BF,上，,BF,与,AD,交于点,E,（,1,）求证：,OADEAB,；,（,2,）