单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,.,3,.,2,抛物线的几何性质,2.3.2 抛物线的几何性质,前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质，它们都是通过标准方程的形式研究的，现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么？,一、复习回顾：,前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质，它们,图,形,方,程,焦,点,准,线,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,y,2,=2,px,(,p,0,),y,2,=,-,2,px,(,p,0,),x,2,=2,py,(,p,0,),x,2,=,-,2,py,(,p,0,),图 形方 程焦 点准 线lFyxOlFyxO,练习,：填空,(,顶点在原点，焦点在坐标轴上,),方程,焦点,准线,开口方向,开口向,右,开口向,左,开口向,上,开口向,下,练习：填空(顶点在原点，焦点在坐标轴上)方程焦点准线开口方,P,(,x,，,y,),一、,抛物线,的,几何性质,抛物线在,y,轴的右侧，当,x,的值增大时，,y,也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,.,1,、,范围,由抛物线,y,2,=2,px,(,p,0,),而,所以抛物线的范围为,P(x，y)一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值,关于,x,轴,对称,由于点,也满,足,，故抛物线,(,p,0,),关于,x,轴,对称,.,y,2,=2,px,y,2,=2,px,2,、对称性,P,(,x,，,y,),关于x轴 由于点,定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线,的,顶点,.,P,(,x,，,y,),由,y,2,=2,px,(,p,0,),当,y,=0,时，,x,=0,，,因此抛物线的,顶点,就是坐标原点,(,0,，,0,),.,注,:,这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同,.,3,、顶点,定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线P(x，y)由y2=,4,、,离心率,P,(,x,，,y,),抛物线上的点与焦点的,距离,和它到准线的,距离,之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知,e,=1,.,下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质,.,4、离心率P(x，y)抛物线上的点与焦点的距离,5,、开口方向,P,(,x,，,y,),抛物线,y,2,=2,px,(,p,0,),的开口方向向右,.,+,x,，,x,轴正半轴，向右,-,x,，,x,轴负半轴，向左,+,y,，,y,轴正半轴，向上,-,y,，,y,轴负半轴，向下,5、开口方向P(x，y)抛物线y2=2px(p0)的开口,特点：,1,.,抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线；,2,.,抛物线只有一条对称轴，没有,对称中心；,3,.,抛物线只有一个顶点、,一个焦点、一条准线；,4,.,抛物线的离心率是确定的，为,1,；,思考,：抛物线标准方程中的,p,对抛物线开口的影响,.,P,(,x,，,y,),特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但,(,二,),归纳：抛物线,的,几何性质,图,形,方程,焦点,准线,范围,顶点,对称轴,e,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,y,2,=2,px,(,p,0,),y,2,=,-,2,px,(,p,0,),x,2,=2,py,(,p,0,),x,2,=,-,2,py,(,p,0,),x,0,y,R,x,0,y,R,y,0,x,R,y,0,x,R,(,0,，,0,),x,轴,y,轴,1,(二)归纳：抛物线的几何性质图 形方程焦点准线范围顶点对,例,1,：,已知抛物线关于,x,轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点,M,(2,，,),，求它的标准方程，并用描点法画出图形,.,因为抛物线关于,x,轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点,M,(2,，,),，,解：,所以设方程为：,又因为点,M,在抛物线上,：,所以：,因此所求抛物线标准方程为：,(,三,),、,例题讲解：,例1：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过,作图：,(,1,),列表,(,在第一象限内列表,),x,0,1,2,3,4,y,(,2,),描点：,(,3,),连线：,1,1,x,y,O,作图：(1)列表(在第一象限内列表)x01234y(2),变式题,1,：,求并顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点,M,(2,，,),，,抛物线,的标准方程,.,(,三,),、例题讲解：,变式题1：求并顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M(,(,三,),、例题讲解：,练习,1,：,顶点在坐标原点，焦点在,y,轴上，并且经过点,M,(,4,，,2),的,抛物线,的标准方程为,(三)、例题讲解：练习1：顶点在坐标原点，焦点在y轴上，并且,(,三,),、例题讲解：,练习,2,：,顶点在坐标原点，对称轴是,X,轴，点,M,(-,5,，,),到焦点距离为,6,，则,抛物线,的标准方程为,(三)、例题讲解：练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X轴，点M,变式题,2,：,已,抛物线,C,的顶点在坐标原点，焦点,F,在,X,轴的正半轴上，若,抛物线,上一,动点,P,到,A,(,2,，,1,/,3,),，,F,两点的距离之和最小值为,4,，求,抛物线,的标准方程,.,(,三,),、例题讲解：,变式题2：已抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在X轴的正半轴上,课本例,4,P,61,：,斜率为,1,的直线,l,经过抛物线,y,2,=4,x,的焦点，且与,抛物线,相交于,A,，,B,两点，求线段,AB,的长,.,(,三,),、,例题讲解：,课本例题推广,：,直线,l,经过抛物线,y,2=2,px,的焦点，且与,抛物线,相交于,A,，,B,两点，则线段,AB,的长,|,AB,|,=,x,1,+,x,2,+,P,.,课本例4P61：斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点,练习,3,：,已知过抛物线,y,2,=9,x,的焦点的,弦长为,12,，则弦所在直线的,倾斜角,是,(,三,),、,例题讲解：,练习3：已知过抛物线y2=9x的焦点的弦长为12，则弦所在直,练习,4,：,若直线,l,经过抛物线,y,2,=4,x,的焦点，,与,抛物线,相交于,A,，,B,两点，且线段,AB,的,中点的横坐标为,2,，求线段,AB,的长,.,(,三,),、,例题讲解：,练习4：若直线l 经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交,课本例,5,P,62,：,已知抛物线的方程为,y,2,=4,x,，直线,l,经过点,P,(-,2,，,1,),，,斜率为,k,.,当,k,为何值时，直线与,抛物线,:,只有一个公共点；有两个公共点,:,没有公共点,.,(,三,),、,例题讲解：,课本例5P62：已知抛物线的方程为y2=4x，直线l 经过点,变式题,3,：,已知直线,y,=,(,a,+,1,),x,与曲线,y,2,=,ax,恰有一个公共点，求实数,a,的值,.,(,三,),、,例题讲解：,变式题3：已知直线y=(a+1)x与曲线y2=ax恰有一个公,练习,5,：,已知直线,y,=,kx,+,2,与抛物线,y,2,=8,x,恰有一个公共点，则实数,k,的值为,(,三,),、,例题讲解：,练习5：已知直线y=kx+2与抛物线y2=8x恰有一个公共点,例,4,：,已知过点,Q,(,4,，,1,),作抛物线,y,2,=8,x,的弦,AB,，恰被,Q,平分，求弦,AB,所在的直线方程,.,(,三,),、,例题讲解：,练习,6,：,求以,Q,(,1,，,-,1,),为中点的抛物线,y,2,=8,x,的弦,AB,所在的直线方程,.,例4：已知过点Q(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，恰被Q,(,三,),、,例题讲解：,变式题,4,：,求过点,P,(,0,，,1,),且与抛物线,y,2,=2,x,只有,一个公共点的直线方程,.,(三)、例题讲解：变式题4：求过点P(0，1)且与抛物线y2,(,三,),、,例题讲解：,例,5,：,求抛物线,y,2,=64,x,上的点到直线,4,x,+,3,y,+,46=0,的距离的最小值，并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标,.,(三)、例题讲解：例5：求抛物线y2=64x上的点到直线4x,(,三,),、,例题讲解：,练习,7,：,抛物线,y,=,-,x,2,上的点到直线,4,x,+,3,y,-,8=0,的距离的最小值是,(三)、例题讲解：练习7：抛物线y=-x2上的点到直线4x+,(,三,),、,例题讲解：,练习,8,：,抛物线,y,2,=,x,和圆,(,x,-,3,),2,+,y,2,=1,上最近的两点之间的距离是,(,),(三)、例题讲解：练习8：抛物线y2=x和圆(x-,(,三,),、,例题讲解：,例,6,：,已知抛物线,y,=2,x,2,上两点,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),关于直线,y,=,x,+,m,对称，若,x,1,x,2,=,-,1,/,2,，则,m,的值为,(,),(三)、例题讲解：例6：已知抛物线y=2x2上两点A(x1，,(,三,),、,例题讲解：,变式题,6,：,已知直线,y,=,x,+,b,与抛物线,x,2,=2,y,交于,A,，,B,两点，且,OA,OB,(,O,为坐标原点,),，求,b,的值,.,(三)、例题讲解：变式题6：已知直线y=x+b与抛物线x2=,(,三,),、,例题讲解：,例,7,(,习题,2,.,3,B,组,2,P,64,),：,正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线,y,2,=2,px,(,p,0,),上，求这个三角形的边长,.,y,O,x,B,A,分析,:,观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明,x,轴是它们的公共的对称轴，则容易求出三角形的边长,.,(三)、例题讲解：例7(习题2.3B组2P64)：正三角形的,y,O,x,B,A,yOxBA,y,O,x,B,A,yOxBA,(,三,),、,例题讲解：,变式题,7,(,复习参考题,A,组,7,P,68,),：,正三角形的一个顶点位于抛物线,y,2,=2,px,(,p,0,),焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个三角形的边长,.,分析,:,观察图，正三角形及抛物线都是轴,对称图形，如果能证明,x,轴是它们的,公共的对称轴，则容易求出三角形的边长,.,y,O,x,B,A,F,(三)、例题讲解：变式题7(复习参考题A组7P68)：正三,课堂练习：,求适合下列条件的抛物线的方程：,(,1,),顶点在原点，焦点,F,为,(,0,，,5,),；,(,2,),顶点在原点，关于,x,轴对称，并且,经过点,M,(,5,，,-,4,).,课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程：(1)顶点在原点，焦,例,2,、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为,60,cm,，灯深,40,cm,，求抛物线的标准方程及焦点的位置,.,F,y,x,O,解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，,x,轴垂直于灯口直径,.,A,B,设抛物线的标准方程是：,由已知条件可得点,A,的坐标是,(,40,，,30,),，代入方程可得,所求的标准方程为,焦点坐标为,例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的,补充,(,1,),通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线，,与抛物线相交于两点，连接这,两点的线段叫做抛物线的,通径,.,|,PF,|,=,x,0,+,p,/,2,x,O,y,F,P,通径的长度,：,2,P,P,越大，开口越开阔,(,2,),焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的,焦半径,.,焦半径公式：,(,标准方程中,2,p,的几何意义,),利用抛物线的,顶点,、通径的两个,端点,可较准确画出反映抛物线基本特征的草图,.,补充(1)通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，|PF|=x0+,1,、已知抛物线的顶