,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号与线性系统第4讲,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,信号与线性系统,第,4,讲,教材位置,:,第,3,章 连续信号的正交分解,3.1-3.3,内容概要,:,正交函数集与信号分解；傅里叶函数集与信号的傅里叶级数表示,信号与线性系统第 4 讲,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,2,开讲前言前讲回顾,连续线性时不变系统的时域求解,响应的分解 零输入响应零状态响应,零输入响应对应齐次方程通解算子运算,零状态响应通过信号分解求得,激励函数表示为冲激函数的积分,冲激响应的特解有标准的形式,零状态响应通过激励函数与冲激响应卷积积分求得,时间域求解复杂，仅仅反应系统时域特征,变换域求解,简化求解难度,拓展系统分析的非时域范畴,2023/9/30信号与线性系统第4讲2开讲前言前讲回顾,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,3,开讲前言,-,本讲导入（,3.1,引言）,线性系统中对信号的分解有利于系统分析,分解激励与初始条件对应零状态与零输入的响应,分解激励为冲激函数的积分得到通行的零状态解法,还有怎样的分解方式能带给我们分析系统的方便,?,简化计算,引入更多的物理意义，便于对分析结果的物理解释,数学上关于信号分解的描述,矢量的分解：多维空间的位置，可以通过各个坐标值定位,能够构成坐标空间的矢量要满足什么条件？,函数是不是也可以分解到一个所谓的函数空间？,具有分解价值的函数集,如果能有建立函数空间的函数集，具有很好的物理解释的函数集是什么？,这些促成我们需要来研究学习关于信号的正交分解,2023/9/30信号与线性系统第4讲3开讲前言-本讲导入,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,4,3.2,正交函数集与信号分解,1,、矢量的分量,矢量的分量：在另外一个矢量方向的投影,投影角度不同、与原矢量的差,V,e,不同,垂直投影是误差最小的投影，所以分量一般用垂直投影表示,C,12,表示两个矢量的接近程度，,C,12,1,，两矢量夹角为,0,，两者重合（一致）,C,12,0,，两矢量夹角为,90,0,，两者垂直（正交）,2023/9/30信号与线性系统第4讲43.2正交函数集,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,5,3.2,正交函数集与信号分解,2,、正交矢量空间,空间可以由正交矢量来定义,空间内的矢量可以通过分解到正交矢量方向的分量表示,要能对空间内任一矢量唯一分解，需要正交矢量集具有完备性,正交矢量集的数学定义,集内不同矢量的点积为,0,归一化正交矢量集,矢量的模等于,1,2023/9/30信号与线性系统第4讲53.2正交函数集,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,6,3.2,正交函数集与信号分解,3,、函数分量与函数正交,类比矢量的分析方法,函数的分量表示,不同,C,12,取值，,分量与原函数的误差不同,使得误差最小的,C,12,的计算,C,12,0,，相互之间不包括对方分量，两个函数正交。,C,12,的分子等于,0,就是两个函数正交的条件。,2023/9/30信号与线性系统第4讲63.2正交函数集,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,7,3.2,正交函数集与信号分解举例,例：,试用,sin,t,在区间（0，2,）来近似,f(t),1,t,0,-,1,2023/9/30信号与线性系统第4讲73.2正交函数集,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,8,3.2,正交函数集与信号分解举例,解：,所以：,2023/9/30信号与线性系统第4讲83.2正交函数集,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,9,3.2,正交函数集与信号分解,4,、正交函数集,n,个函数,g,1,(t),g,2,(t),g,n,(t),构成一函数集，如在区间,(t,1,t,2,),内满足正交特性，则此函数集称为正交函数集，,任意函数可由,n,个正交函数的线性组合近似，,要使近似结果误差最小，可证明各个分量系数应满足,2023/9/30信号与线性系统第4讲93.2正交函数集,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,10,3.2,正交函数集与信号分解,归一化的正交函数应该满足积分,归一化后,分解系数,2023/9/30信号与线性系统第4讲103.2正交函数,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,11,3.2,正交函数集与信号分解,5,、复变函数的正交特性,类比实变函数情况，只是乘积运算变成共轭函数的乘积,分量的表示,系数的表示,正交条件的表示,2023/9/30信号与线性系统第4讲113.2正交函数,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,12,3.2,正交函数集与信号分解,6,、完备正交信号集,在一正交函数集,g,i,(t),之外，再也找不到一个,X(t),可以与集中任何一个函数正交，那么这组函数集就是完备的。数学定义为：,2023/9/30信号与线性系统第4讲123.2正交函数,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,13,3.2,正交函数集与信号分解,7,、熟悉的正交函数集,三角函数的正交性,三角函数、复指数函数是完备的正交函数集,2023/9/30信号与线性系统第4讲133.2正交函数,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,14,3.3,信号表示为傅里叶级数,1,、信号表示为三角傅里叶级数,角频率,满足一定规律,的三角函数集，是正交函数集,正弦信号作用于电路是我们熟悉的电路系统分析内容,计算有规律、结果分析有现实意义，是我们变换域做法的宗旨,根据三角傅里叶级数的形式，可以将周期信号在周期,T,内表示如下：,直流,分量,基波分量,n=1,谐波分量,n1,谐波分量,n1,基波分量,n=1,2023/9/30信号与线性系统第4讲143.3信号表示,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,15,3.3,信号表示为傅里叶级数,三角傅里叶级数的系数,直流分量系数,直流分量与,a,0,的关系,余弦分量系数,正弦分量系数,n,取值范围为,0,到的正整数,2023/9/30信号与线性系统第4讲153.3信号表示,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,16,3.3,信号表示为傅里叶级数,三角傅里叶级数的振幅相位表示方式,余弦形式的振幅相位表示,正弦形式的振幅相位表示,2023/9/30信号与线性系统第4讲163.3信号表示,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,17,3.3,信号表示为傅里叶级数,三种表达式系数关系,余弦幅度相位表达式 正弦幅度相位表达式,2023/9/30信号与线性系统第4讲173.3信号表示,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,18,3.3,信号表示为傅里叶级数,信号的三角傅里叶级数表示的误差,作为完备正交三角函数集，它的谐波数量是无穷的；,实际中利用三角傅里叶级数分析信号，只能取有限多次谐波项，这样的级数表示必然就会有误差,如果取,m,次谐波以内的分量，误差就是被舍去的,m,次以上谐波的分量之和。,误差一般用方均值来表示,2023/9/30信号与线性系统第4讲183.3信号表示,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,19,3.3,信号表示为傅里叶级数,周期方波的三角傅里叶级数分解,1,1,0,T/2,T,t,f(t),2023/9/30信号与线性系统第4讲193.3信号表示,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,20,3.3,信号表示为傅里叶级数,2023/9/30信号与线性系统第4讲203.3信号表示,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,21,3.3,信号表示为傅里叶级数,2,、信号表示为指数傅里叶级数,（,t,1,t,1,+T,）内，以对应,T,的角频率,为基波频率，有正交指数函数集,信号可以分解为指数傅里叶级数形式表示，分解系数为：,分解后信号的表达式：,2023/9/30信号与线性系统第4讲213.3信号表示,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,22,3.3,信号表示为傅里叶级数,指数傅里叶级数与三角傅里叶级数的关系,分析余弦形式的幅度相位表达式,利用欧拉公式,改写,f(t),为指数表达式,依据系数关系,对比,f(t),指数表达式,得到三角表达式系数,A,n,与指数表达式系数的关系,关系式的意义,三角级数有物理意义,指数级数便于计算,只考虑信号的频率特性计算，用指数系数便可,2023/9/30信号与线性系统第4讲223.3信号表示,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,23,3.3,信号表示为傅里叶级数,几点说明,指数级数的负数项,三角级数系数通过欧拉公式展开带来的数学表示,没有具体物理意义（三角级数物理意义更直接）,正交函数的范畴,正交指数函数集中，,n,取值区间扩展到负数,正交三角函数集中，,n,取值只能式整数范围,函数可分解的区间,正交傅里叶函数集构成的是以基波周期为周期的函数,任意周期为,T,的函数，在（,t1,t1+T,）中分解为傅里叶正交函数表示，其结果可以拓展到全部函数定义范围,2023/9/30信号与线性系统第4讲233.3信号表示,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,24,2024/11/16,信号与系统第,6,讲,24,3.3,信号表示为傅里叶级数,-,收敛问题,从信号能量分析傅里叶级数的收敛,连续周期信号都能用傅里叶级数表示,不连续的周期信号需要特别讨论,方波脉冲等周期信号在实际中应用广泛，值得讨论,信号的能量，对分析傅里叶级数收敛很有用,如果周期信号在一个周期内能量有限,用这些系数构成的有限项傅里叶级数与原信号的误差,误差随,N,增大而减小，,N,趋于无穷大，误差趋近于,0,表示两者的能量没有差别，但不代表在所有,t,值上相等,结论：,周期信号在周期内的能量有限就能保证傅里叶级数的系数收敛,实际系统都是对能量做出响应，这一结论存在实用价值,大部分周期信号在周期内能量有限，能用傅里叶级数表示,2023/9/30信号与线性系统第4讲242023/9/3,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,25,2024/11/16,信号与系统第,6,讲,25,3.3,信号表示为傅里叶级数,狄里赫利条件判断傅里叶级数的收敛,（,1,）狄里赫利条件对级数收敛的保证,这组条件保证在信号连续处等于傅里叶级数表示，,在不连续点，傅里叶级数收敛于不连续两边值的平均值,（,2,）狄里赫利条件,条件,1,：在任何周期内,x(t),必须绝对可积,这一条件保证每个傅里叶级数系数的收敛,不满足这一条件的函数举例,条件,2,：在任意有限的区间，函数有有限的起伏变化,即只有有限个最大最小值,满足条件,1,，不满足条件,2,的函数举例,条件,3,：在任意有限的区间，只有有限个不连续点，且其函数值有限,不满足这一条件的函数举例,周期为,8,，后一个阶梯的高度和宽度都是前一个的一半,2023/9/30信号与线性系统第4讲252023/9/3,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,26,2024/11/16,信号与系统第,6,讲,26,3.3,信号表示为傅里叶级数,不满足狄里赫利条件的信号图解,不绝对可积,无限个极值,无限个不连续点,2023/9/30信号与线性系统第4讲262023/9/3,2024/11/16,信号与线性系统第4讲,27,2024/11/16,信号与系统第,6,讲,27,3.3,信号表示为傅里叶级数,关于不连续点的分析,满足狄里赫利条件，保证级数收敛于原信号，只在有限的不连续点上收敛于不连续点的平均值,在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势,-,吉伯斯现象,不连续点上收敛于不连续点的平均值,不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随,N,增加而降低,峰值为不连续点差值的,9%,吉伯斯现象的实际意义,不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏,选择足够大的,N,，可以保证这些起伏的总能量可以忽略,2023/9/30信号与线性系统第4讲272023/9/3