单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的单调性,函数的单调性,数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞,数无形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,切莫忘,几何代数统一体,永远联系莫分离,华罗庚,数与形,本是相倚依,引例,1,：,图示是某市一天,24,小时内的气温变化图。气温,是关于时间,t,的函数，记为,f,(t),，观察这个气温变化图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？,引例1：图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温是关于时,引例,2,：画出下列函数的图象,（,1,）,y=,x,引例2：画出下列函数的图象（1）y=x,x,y,y=,x,O,1,1,引例,2,：画出下列函数的图象,（,1,）,y=,x,xyy=xO11引例2：画出下列函数的图象（1）y,x,y,y=,x,O,1,1,引例,2,：画出下列函数的图象,（,1,）,y=,x,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,y,随,x,的增大而减小；,xyy=xO11引例2：画出下列函数的图象（1）y,x,y,y=,x,O,1,1,引例,2,：画出下列函数的图象,（,1,）,y=,x,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,y,随,x,的增大而减小；,x,1,f,(,x,1,),xyy=xO11引例2：画出下列函数的图象（1）y,x,y,y=,x,O,1,1,引例,2,：画出下列函数的图象,（,1,）,y=,x,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,y,随,x,的增大而减小；,x,1,f,(,x,1,),xyy=xO11引例2：画出下列函数的图象（1）y,x,y,y=,x,O,1,1,引例,2,：画出下列函数的图象,（,1,）,y=,x,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,y,随,x,的增大而减小；,x,1,f,(,x,1,),xyy=xO11引例2：画出下列函数的图象（1）y,x,y,y=,x,O,1,1,引例,2,：画出下列函数的图象,（,1,）,y=,x,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,y,随,x,的增大而减小；,x,1,f,(,x,1,),xyy=xO11引例2：画出下列函数的图象（1）y,x,y,y=,x,O,1,1,引例,2,：画出下列函数的图象,（,1,）,y=,x,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,y,随,x,的增大而减小；,x,1,f,(,x,1,),（,-,+,）,xyy=xO11引例2：画出下列函数的图象（1）y,（,2,）,y=,x,2,引例,2,：画出下列函数的图象,（2）y=x2引例2：画出下列函数的图象,O,x,y,y=,x,2,（,2,）,y=,x,2,引例,2,：画出下列函数的图象,1,1,Oxyy=x2（2）y=x2引例2：画出下列函数的图,O,x,y,y=,x,2,（,2,）,y=,x,2,引例,2,：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,内,y,随,x,的增大而减小。,Oxyy=x2（2）y=x2引例2：画出下列函数的图,O,x,y,y=,x,2,（,2,）,y=,x,2,引例,2,：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,内,y,随,x,的增大而减小。,x,1,f,(,x,1,),Oxyy=x2（2）y=x2引例2：画出下列函数的图,O,x,y,y=,x,2,（,2,）,y=,x,2,引例,2,：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,内,y,随,x,的增大而减小。,f,(,x,1,),x,1,Oxyy=x2（2）y=x2引例2：画出下列函数的图,O,x,y,y=,x,2,（,2,）,y=,x,2,引例,2,：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,内,y,随,x,的增大而减小。,f,(,x,1,),x,1,Oxyy=x2（2）y=x2引例2：画出下列函数的图,O,x,y,y=,x,2,（,2,）,y=,x,2,引例,2,：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,内,y,随,x,的增大而减小。,f,(,x,1,),x,1,Oxyy=x2（2）y=x2引例2：画出下列函数的图,O,x,y,y=,x,2,（,2,）,y=,x,2,引例,2,：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,内,y,随,x,的增大而减小。,f,(,x,1,),x,1,Oxyy=x2（2）y=x2引例2：画出下列函数的图,O,x,y,y=,x,2,（,2,）,y=,x,2,引例,2,：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,内,y,随,x,的增大而减小。,f,(,x,1,),x,1,Oxyy=x2（2）y=x2引例2：画出下列函数的图,O,x,y,y=,x,2,（,2,）,y=,x,2,引例,2,：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间,内,y,随,x,的增大而增大，在区间,内,y,随,x,的增大而减小。,f,(,x,1,),x,1,（,-,0,0,+),Oxyy=x2（2）y=x2引例2：画出下列函数的图,0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),x,x,0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x,0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),x,x,0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x,0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),x,x,0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x,0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),x,x,0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x,0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),x,x,0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x,0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),x,x,0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x,0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),0,y,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,(,x,1,),x,x,0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x,那么就说在,f,(,x,),这个区间上是单调,减,函数,，,I,称为,f,(,x,),的,单调,减,区间,.,O,x,y,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),由此得出单调增函数和单调减函数,的定义,.,x,O,y,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为,A,区间,I A.,如果对于属于定义域,A,内,某个区间,I,上,的,任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，,设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为,A,区间,I A.,如果对于属于定义域,A,内,某个区间,I,上,的,任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，,那么就说在,f,(,x,),这个区间上是单调,增,函数,，,I,称为,f,(,x,),的,单调 区间,.,增,当,x,1,x,2,时，,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,当,x,1,x,2,时，,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,单调区间,那么就说在f(x)这个区间上是单调Oxyx1x2f(x1,（,2,）函数单调性是针对某个,区间,而言的，是一个局部性质,;,（,1,）如果函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,是单调增函数或单调减函数，那么就说函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上具有单调性。,在单调区间上，,增函数的图象是,上升,的，减函数的图象是,下降,的。,注意：,判断,1,：,函数,f,(,x,)=,x,2,在 是单调增函数；,x,y,o,（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）,（,2,）函数单调性是针对某个,区间,而言的，是一个局部性质,;,（,1,）如果函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,是单调增函数或单调减函数，那么就说函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上具有单调性。,在单调区间上，,增函数的图象是,上升,的，减函数的图象是,下降,的。,注意：,判断,2,：定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,f,(2),f,(1),，则函数,f,(,x,),在,R,上是增函数；,（,3,）,x,1,x,2,取值的,任意,性,y,x,O,1,2,f,(1),f,(2),（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）,例,2.,画出下列函数图像，并写出单调区间：,数缺形时少直观,x,y,_,讨论,1,：,根据函数单调性的定义,2,试讨论在 和 上的单调性？,？,例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：数缺形时少直观xy_,变式,2,：讨论 的单调性,成果交流,变式,1,：讨论 的单调性,x,y,y=,-,x,2,+2,1,-,1,1,2,2,-,1,-,2,-,2,_;,_.,例,2.,画出下列函数图像，并写出单调区间：,变式2：讨论,的对称轴为,返回,的对称轴为返回,例,3.,判断函数 在定义域 上的单调性,并给出证明,.,1.,任取,x,1,，,x,2,D,，且,x,1,x,2,；,2.,作差,f,(,x,1,),f,(,x,2,),；,3.,变形（通常是因式分解和配方）；,4.,定号（即判断差,f,(,x,1,),f,(,x,2,),的正负）；,5.,下结论,主要步骤,形少数时难入微,例3.判断函数 在定义域,证明：在区间 上任取两个值 且,则,，且,所以函数 在区间上 是增函数,.,取值,作差,变形,定号,结论,返回,证明：在区间 上任取两个值 且,证明函数单调性的四步骤,：,（,1,）设量,:,（,在所给区间上任意设两个实数 ）,（,2,）比较,:,（,作差,，,然后变形，常通过,“,因式分解,”,、,“,通分,”,、,“,配方,”,等手段将差式变形）,（,3,）定号,:,（判断的 符号）,（,4,）结论,:,（,作出单调性的结论,）,证明函数单调性的四步骤：（1）设量:（在所给区间上任意设两个,练一练,试用定义法证明函数,在区间 上是单调增函数。,练一练 试用定义法证明函数,成果运用,若,二次函数 的单调增区间是 ，则,a,的取值情况是 （）,变式,1,变式,2,请你说出一个单调减区间是 的二次函数,变式,3,请你说出一个在 上单调递减的函数,若,二次函数,在区间,上单调递增，求,a,的取值范围。,A.B.C.D.,成果运用若二次函数 的单,成果运用,若,二次函数,在区间,上单调递增，求,a,的取值范围。,解：,二次函数 的对称轴为,由图象可知只要,，即 即可,.,o,x,y,1,x,y,1,o,成果运用若二次函数 在区间,(2)在区间（0，+）上是增函数的是 （）,(2)在区间（0，+）上是增函数的是 （）,数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞,;,数无形时少直觉,形少数时难入微,;,数形结合百般好,隔离分家万事休,;,切莫忘,几何代数统一体,永远联系莫分离,.,华罗庚,谢谢指导!,数与形,本是相倚依,谢谢指导!,