单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节,线性系统的,s,域分析,设,线性系统的微分方程为：,线性系统,e(t),r(t),一般情况下：,n=m,系数是常数的微分方程,其中响应的最高阶是此方程的阶数,此类问题：通常已知激励及起始条件（,0-,），求响应,全响应,零输入响应,零状态响应,分析：,一、求零输入,第一步：对微分方程做拉氏变换,一、求零输入响应,零输入响应，,由初始储能引起，变化规律由系统微分方程的特征根。这样的分量叫自由分量,二、求零状态响应,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,自由分量：变化规律由系统微分方程的特征根,强迫分量：与激励变化规律一致,暂态,分量：,稳态分量：,三全响应,例,3,：某连续因果,LTI,系统最初是松弛的，且当输入,输出为,求：系统函数和它的收敛域；求系统的冲激响应；写出系统的微分方程。,连续,LTI,系统的分析：,H(s),E(s),R(s)=E(s)H(s),e(t),H(jw,),E(jw,),R(jw,)=,E(jw)H(jw,),r(t),时域：优点：零输入；,e(t),无表达式,缺点：卷积难求,频域：优点：物理概念强,缺点：,H(jw),E(jw,),存在,复频域：优点：直接全响应,;,稳定和不稳定系统,缺点：,E(s),存在,第四节 双边拉氏变换,熟练掌握双边函数的拉氏正变换及反变换,双边信号作用下的线性系统响应,一 双边拉氏变换,单边拉氏变换的收敛域是实部最大极点为收敛轴的右边区域,反褶,1),双边函数,右边函数,左边函数,2),左边函数的拉氏变换,t,f(t),1,e,bt,e,at,收敛域,左边函数的收敛域是收敛轴的左边区域,L =-1/(s-a),=1/(p+a),反褶,设p=-s,左边函数拉氏变换,1 f(t),反褶,f(-,),2,求右边函数,f(-,),拉氏,F(P),3,将,s=-P,代入,F(s),=F,1,(p),1,设,s=-p,2,求,F(-p),的反变换,3,）左边函数的拉氏反变换,左边函数拉氏反变换,1,将,s=-P,代入,F(s),2,右边函数,F(P),的,f(,),3 f(-,),反褶,f(t),判断左边或右边函数：,在收敛域左边的极点是右边函数；在收敛域右边的极点是左边函数,如何根据收敛域判断是左边或右边函数,解：,1,写成部分分式,s,w,j,4,2,2,确定是左边或右边函数,3,求左边函数的拉氏变换,哪种收敛域情况下所对应的时域波形傅立叶变换存在。,解：,问,:,哪种情况收敛域的傅立叶变换存在,?,双边函数的收敛域是带状区域,例,3:,求下面信号的原函数,分析,:,此信号的傅立叶变换存在,(,并无奇异函数,),此信号绝对可积,.,所以其拉氏变换存在,所以,f(t),为左边信号,二、留数法,留数法的基本思想，是设法将复平面中的线积分问题，转化为围线积分，从而可以用复变函数中的留数定理直接求得结果，避免求积分。,假设,s,k,是,F(s),的一阶极点，则其留数为：,假设,s,k,是,F(s),的,n,阶极点，则其留数为：,二阶极点时：,F(s),e,st,的极点就是,F(s),的极点,。,双边拉普拉斯变换：,收敛域左侧极点，对应右边信号,收敛域右侧极点，对应左边边信号,解：,s,w,j,4,2,两个极点,A,S,平面,B,C,B,R,jw,F(s),e,st,的极点就是,F(s),的极点,。,2,、根据约当辅助定理，当满足：,1,）,2,）,e,st,中的实部满足,Re(st,)0,时，,当,t0,的情况，所以积分曲线应该在增加,ABC,。,所以，这时候只要考虑积分线左半平面中的所有极点的留数。即：,留数法,与,部分分式分解法,比较：,1,）,部分分式分解法,只能解决有理函数，而,留数法,不受有理函数的限制；,2,）,留数法,不能解决,m=n,的情况，,部分分式分解法,可以；,3,）,留数法,在数学上比,部分分式分解法,严密。,部分分式分解法,涉及的基础知识比,留数法,简单。,三、,双边信号作用下的线性系统响应,例题,5-18,巳知激励信号,LTI,因果系统冲激响应为,求系统的响应。,解,:,按双边拉普拉斯变换有,公共收敛区,:,输入信号的收敛域,此,系统为因果系统。所以,H(s),为右边信号,极点,-2,对应左边时间信号；,极点,-3,、,-4,的对应右边时间信号：,若此,系统,响应呢,?,例,2,：,LTI,系统的系统函数为,H(s),求激励为 的零状态响应。,分析：若用双边拉氏变换，无公共收敛域；傅立叶变换不一定绝对收敛。,解：,从信号分解的角度看系统的,LT,响应：,如同,H(jw,),一样，,H(s),可以看成对复频域的子信号,e,st,幅度和相位的影响。,满足,h,(t)+2h(t)=e,-4t,(t)+C(t),，,C,为常数。,求（,1,）系统函数,H(s),；,（,2,）,e(t)=e,2t,，,t,0,时对应的响应,r(t),。,例,3,：某零状态因果系统，激励,e(t)=e,2t,，,-,t,时对应的响应为：,-,t,。,h(t),为此系统的冲激响应，,满足,h,(t)+2h(t)=e,-4t,(t)+C(t),，,C,为常数。,求（,1,）系统函数,H(s),；,（,2,）,e(t)=e,2t,，,t,0,时对应的响应,r(t),。,例,3,：某零状态因果系统，激励,e(t)=e,2t,，,-,t,时对应的响应为：,-,t,。,h(t),为此系统的冲激响应，,h,(t)+2h(t)=e,-4t,(t)+C(t),解：,C=1,e(t)=,e,st,r(t)=,H(s)e,st,作业,5.13(2)(4),：,5.15(2),5.24 5.26(1)(3)5.28,