单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1,函数,1.2,极限的概念,1.3,极限的四则运算法则,与函数的连续性,1.4,复利与贴现,学习目标,教学建议,第一章 函数 极限,1.1 函数 1.2 极限的概念 1,一,.,函数的概念,二,.,初等函数,1.1,函数,一.函数的概念 二.初等函数 1.1,案例,1,体现了变量取值的对应关系,去银行存钱,假设一年定期整存整取的年利率为,3.25%,则存款金额 与一年到期时的利息 之间的对应关系如下表,:,案例1体现了变量取值的对应关系 去银行存钱,假,案例,2,气温自动记录仪把某一天的气温变化描绘在记录纸上,如下图所示的曲线,.,曲线上某一,点 表示时刻 的气温是,.,时间和气温都是变量，这两个变量之间的对应关系是由一条曲线确定的,观察这条曲线，可以知道在这一天内，时间从,0,点到,24,点气温的变化情形,案例2气温自动记录仪把某一天的气温变化描绘在记录纸上,如,案例,3,圆的面积 由圆的半径 决定,.,只要 取定一个数值,面积 就有一个确定的值与之对应,且 与 之间有如下关系式,:,o,半径为,.,案例3 圆的面积 由圆的半径 决定.,案例,4,某市现行出租车收费标准为,:,乘车不超过,3km,收费,10,元,;,超过,3 km,而不超过,15km,超过的里程每,km(,不足,1 km,按,1 km,计,),加收,2,元,;,超过,15km,超过的里程每,km(,不足,1 km,按,1 km,计,),加收,3,元,.,分段函数,由于乘车里程不超过,3 km,、超过,3 km,而不超过,15km,及超过,15 km,的收费标准不同,乘客乘车的费用 与乘车的里程 之间的数量关系应用三个数学式来表示,即,分析,案例4某市现行出租车收费标准为:乘车不超过3km,收费10元,以上列举的案例,虽是来自不同的领域,而且具有不同的表示形式,有表格、图形、公式，但它们的,共性,是,:,都反映了在同一过程中有着两个相互依赖的变量,当其中一个量在某数集内取值时,按一定的规则,另一个量有唯一确定的值与之对应,.,变量之间的这种数量关系就是函数关系,.,以上列举的案例,虽是来自不同的领域,而且具有不同,定义域 是自变量 的取值范围，也就是使函数 有意义的数集由此，若取数值 时，则称该函数在 有定义，与 对应的 的数值称为函数在点 的函数值，记作,或,定义,1,.,1,设和是两个变量,是一个给定的非空数集,.,若对于每一个数,按照某一确定的对应法则,变量 总有唯一确定的数值与之对应,则称 是 的函数,.,因变量,自变量,定义域,一,.,函数的概念,定义域 是自变量 的取值范围，也就是使函,决定一个函数有三个因素：,对应法则,值域,定义域,当 遍取数集 中的所有数值时,对应的函数值全体,决定一个,函数的两,个要素,1.,要会求函数的定义域；,2.,要会使用对应法则,.,值域,决定一个函数有三个因素：对应法则值域定义域当 遍取,要使该项有意义，对,数的真数必须大于,0.,的定义域,.,求函数,要使该项有意义，分母,的被开方式必须大于,0,；,练习,1,解 要使该函数有意义，必须,公共部分,所以，该函数的定义域为,分析,要使该项有意义，对的定义域.求函数 要使该项有意,这是已知函数的,表达式,求函数在,指定点的函数值,设,练习,2,求,解 是当自变量 取,1,时函数的函数值,将 表示式中的 换为,为数值,1,.,类似地,.,或记作,这是已知函数的设 练习2求解 是当,设,练习,2,求,续解,将 表示式中的 换为,将 表示式中的 换为,设 练习2求续解将 表示式中的,对案例,4,求：,(1),函数 的定义域；,(2),乘客乘车,km,、,km,、,km,和,km,所付的费用,解,(1),该函数的定义域是,(2),因,故当乘客乘车,km,时,所付的费用,因,故当乘客乘车,km,时,所付的费用,(,元,).,分段点,分段点,(,元,).,因,故当乘客乘车,km,时,所付的费用,(,元,).,因,故当乘客乘车,km,时,所付的费用,(,元,).,对案例4,求：(1)函数,函数的,几何特性,奇偶性,单调性,周期性,有界性,函数的 奇偶性 单调性 周期性,(1),函数的,奇偶性,设函数 的定义域 关于原点对称，,若对任意 ，有,则称 为奇函数,.,如函数,就是奇函数；,奇函数的图形,关于坐标原点对称,再如函数,也是奇函数,.,(1)函数的 设函数 的定义域 关,(1),函数的,奇偶性,设函数 的定义域 关于原点对称，,若对任意 ，有,则称 为偶函数,.,如函数,就是偶函数,.,偶函数的图形,关于 轴对称,.,(1)函数的 设函数 的定义域 关,(2),函数的,单调性,设函数 在区间 上有定义，若对于 中的任意两点 和,当 时，总有,则称 在 上单调增加,.,单调增函数,的图形,(2)函数的设函数 在区间 上有定义，若对,(2),函数的,单调性,设函数 在区间 上有定义，若对于 中的任意两点 和,当 时，总有,则称 在 上单调增加,.,如函数,在 内单调增加；,如函数,在 内单调增加；,(2)函数的设函数 在区间 上有定义，若对,(2),函数的,单调性,设函数 在区间 上有定义，若对于 中的任意两点 和,当 时，总有,则称 在 上单调减少,.,单调减函数,的图形,(2)函数的设函数 在区间 上有定义，若对,(2),函数的,单调性,设函数 在区间 上有定义，若对于 中的任意两点 和,当 时，总有,如函数,在 内单调减少,.,则称 在 上单调减少,.,(2)函数的设函数 在区间 上有定义，若对,(3),函数的,周期性,则称 是周期函数,.,设函数 的定义域为 ，若存在一个非零常数 ，对于 内所有 ，有,是 的,一个周期,周期,(3)函数的则称 是周期函数.设函数,(3),函数的,周期性,则称 是周期函数,.,设函数 的定义域为 ，若存在一个非零常数 ，对于 内所有 ，有,如函数,的周期,(3)函数的则称 是周期函数.设函数,(3),函数的,周期性,函数,和,的周期都是,(3)函数的函数 和的周期都是,(4),函数的,有界性,设函数 在区间 上有定义，若存在正数 ，使得对任意的 ，有,则称 在 上有界,.,有界函数,的图形,(,可以没有等号,),(4)函数的设函数 在区间 上有定义，若存在,(4),函数的,有界性,设函数 在区间 上有定义，若存在正数 ，使得对任意的 ，有,则称 在 上有界,.,(,可以没有等号,),而函数,在 内无界；,如函数,在,内有界,.,函数,在 内无界,.,(4)函数的设函数 在区间 上有定义，若存在,1.,基本初,等函数,常量函数,幂函数,包括,六类,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,六种,不要求,二,.,初等函数,1.基本初 常量函数 幂函数 包括,(1),常量函数,定义域,:,.,含义,:,自变量取任意值，函数值都为常数,(,为常数,).,形式,:,图像,:,过点,是一条平行于 轴的直线,.,(1)常量函数 定义域:.含义:自变量取,(2),幂函数,(,为实数,).,形式,:,定义域、图像及性质依 不同而不同,.,(2)幂函数(为实数).形式:定,(3),指数函数,(,，,).,形式,:,定义域,:,.,值域,:,.,图像,:,过点,位于 轴的上方,.,单调减少,单调增加,常用以 为底的指数函数,.,是一个无理数,=2.718281828459,.,本课程,:,(3)指数函数(，,(4),对数函数,(,，,).,形式,:,定义域,:,.,值域,:,.,图像,:,过点,位于 轴的右方,.,单调减少,单调增加,(4)对数函数(，,(5),三角,函数,正弦函数,余弦函数,包括,六种,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,(5)三角 正弦函数 余弦函数,(),正弦函数,形式,:,定义域,:,.,值域,:,.,几何特性：奇函数；内非单调函数；,周期 ；有界函数,.,()正弦函数 形式:定义域:.值域:,(),余弦函数,形式,:,定义域,:,.,值域,:,.,几何特性：奇函数；内非单调函数；,周期 ；有界函数,.,()余弦函数 形式:定义域:.值域:,(),正切函数,形式,:,定义域,:,.,值域,:,.,几何特性：奇函数,;,在 内,单调增加；周期 ；无界函数,.,()正切函数 形式:定义域:.值域:,(),余切函数,形式,:,定义域,:,.,值域,:,.,几何特性,:,奇函数；在 内,单调减少；周期 ；无界函数,.,()余切函数 形式:定义域:.值域:,(),正割函数,形式,:,值域,:,.,.,定义域,:,(),余割函数,形式,:,值域,:,.,.,定义域,:,()正割函数 形式:值域:.定义域,今后要用到的三角公式,今后要用到的三角公式,今后要用到的三角公式,今后要用到的三角公式,特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值,2.,复合,函数,函数,是自变量,给,先计算,是 的函数,令,由 的值,计算,从而,便得 的值,是 的函数,是 的函数,把 带入 中,得,是,的复合,函数,2.复合 函数是自变量给先计算 是 的函,2.,复合,函数,是 的函数,是 的函数,一般地，设,若由 所确定的 使得 有意义，则称 为 的复合函数，记作,即函数 是由函数 和 经过复合而成的复合函数,外层函数,内层函数,中间变量,看作是将函数 代换函数 中的 得到的,函数,2.复合 是 的函数 是,练习,3,则函数,就是由已知的两个函数复合而成的复合函数,已知函数,就是由已知的三个函数复合而成的复合函数,练习,4,已知函数,则函数,代入,代入,代入,练习3则函数就是由已知的两个函数复合而成的复合函数已,不是任何两个函数都能构成复合函数,.,说明,如函数,对任意,代入,不会使得 有意义,.,虽然能写成 ，但它却无意义,.,因为该函数的定义域为空集,.,得,为了研究函数的需要，今后经常要将一个给定的复合函数,分解,，看它是由哪些基本初等函数或基本初等函数的四则运算经怎样的过程复合而得,不是任何两个函数都能构成复合函数.说明如函数对任意 代,练习,5,下列函数由哪些基本初等函数复合而成,?,(1),(2),由内层函数向外层函数分解,:,解,(1),对给定的,先计算正弦函数,令,再由 计算幂函数,令,.,于是，是由基本初等函数,复合而成,.,因,练习5下列函数由哪些基本初等函数复合而成?(1)(2)由内,练习,5,下列函数由哪些基本初等函数复合而成,?,(1),(2),于是，是由基本初等函数,复合而成,.,由外层函数向内层函数分解,.,由最外层函数起,解,(2),层层向内进行,直到自变量的基本初等函数为止,.,令,(,正弦函数,),则,因,(,幂函数,),已是自变量的基本初等函数,.,练习5下列函数由哪些基本初等函数复合而成?(1)(2)于是,复合而成,.,由外层函数向内层函数分解,.,解,令,(,指数函数,),则,初等,函数,由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的函数，统称为初等函数,.,练习,6,将函数 按基本初等函数的复,合与四则运算形式分解,仍是复合函数,令,(,幂函数,),则,(,基本初等函数的四则运算,),.,于是,是由,复合而成.由外层函数向内层函数分解.解令,