*,*,圆周角定理,圆周角定理,1.,两个定理,(1),圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的,_.,(2),圆心角定理,:,圆心角的度数等于它所对,_,的度数,.,2.,两个推论,(1),推论,1,：,_,所对的圆周角相等；,_,中，相等的圆周角所对的,_,也相等,.,(2),推论,2,：,_(,或,_),所对的圆周角是直角；,90,的圆周角所对的弦是,_.,一半,弧,同弧或等弧,同圆或等圆,弧,半圆,直径,直径,1.两个定理一半弧同弧或等弧同圆或等圆弧半圆直径直径,1.,圆内的任一弦所对的圆周角是否惟一,?,提示,:,不惟一,.,分圆周角的顶点在优弧上和劣弧上两种情况进行讨论,.,2.,圆内的任一弦所对的圆心角是否惟一？,提示：,惟一,.,由圆的性质知，一条弦有惟一的圆心角与其对应,.,1.圆内的任一弦所对的圆周角是否惟一?,3.,如图,在,O,中,AOB=70,则,ACB=_.,【,解析,】,ACB=AOB=70=35.,答案：,35,3.如图,在O中,AOB=70,则ACB=_,对圆周角的两点认识,(1),圆周角的度数不等于它所对弧的度数,.,由圆周角定理和圆心角定理综合知：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半,.,(2),圆上的一条弦所对的圆周角不一定相等,.,一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对的劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补,.,对圆周角的两点认识,圆周角定理和圆心角定理的有关计算,运用圆周角定理和圆心角定理解题时的三个步骤,圆周角定理和圆心角定理的有关计算,【,典例训练,】,1.,如图，已知,AB,为,O,的直径，点,C,在,O,上,C=15,则,BOC,的度数为,(),(A)15 (B)30 (C)45 (D)60,【典例训练】,2.,如图,点,A,B,C,是圆,O,上的点,且,ACB=30,则,AOB,等于,_.,3.,如图,在,O,中,A=,则,OBC=_.,2.如图,点A,B,C是圆O上的点,且ACB=30,则,【,解析,】,1.,选,B.OA=OC,C=15,A=C=15,BOC=2A=30.,2.AOB=2ACB=60.,答案：,60,3.,连接,OC,则,BOC=2A=2.OB=OC,OBC=OCB=90-.,答案：,90-,【解析】1.选B.OA=OC,C=15,A=,两个推论的运用,1.,对推论,1,的理解,(1)“,相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆和等圆中”,.,(2),在推论“同弧或等弧所对的圆周角相等”中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”后，结论不成立，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的,.,两个推论的运用,2.,对推论,2,的理解,(1),在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆,.,(2),利用上述性质便可得到直角三角形,然后利用直角三角形解决相关问题,.,2.对推论2的理解,【,典例训练,】,1.,如图,AC,是,O,的直径,B,是圆上一点,ABC,的平分线与,O,相交于点,D,已知,BC=1,AB=,则,AD=_.,【典例训练】,2.,如图，在,O,中，弦,AB=16,，点,C,在,O,上，且,sin C=,求,O,的半径长,.,2.如图，在O中，弦AB=16，点C在O上，且sin C,【,解析,】,1.,连接,CD,AC,是,O,的直径,ABC=90.,BC=1,AB=AC=2,BD,平分,ABC,AD=CD,在,RtACD,中,由勾股定理得,AD=,答案：,【解析】1.连接CD,2.,作直径,AD,，连接,BD,，,则,ABD=90,，,D=C.,sin C=sin D=,在,RtABD,中，,sin D=,又,AB=16,AD=16 =20,，,OA=AD=10,即,O,的半径长为,10.,O,D,C,B,A,2.作直径AD，连接BD，ODCBA,【,想一想,】,解答题,2,的突破口是什么,?,提示：,解答题,2,的突破口是利用题中已知,sin C,，并作辅助线找到直径,进而利用推论求出半径长,.,【想一想】解答题2的突破口是什么?,运用圆周角定理及推论进行证明,利用圆中角的关系证明时的关注点,(1),分析已知和所求,找好所在的三角形,并根据三角形所在圆上的特殊性,寻求相关的圆周角作为桥梁去求解,.,(2),当圆中出现直径时,要注意寻找直径所对的圆周角,然后在直角三角形中处理相关问题,.,运用圆周角定理及推论进行证明,【,典例训练,】,1.,如图,已知,ABC,内接于,O,AB=AC,D,为,BC,上一点,E,是直线,AD,和,O,的交,点,则,AB,2,等于,(),(A)ACBC (B)ADAE,(C)ADDE (D)BDDC,【典例训练】,2.,如图，,AB,是,O,的直径，,C,为圆周上一点，,ABC=30,，,O,过点,B,的切线与,CO,的延长线交于点,D,求证：,(1)CAB=BOD,；,(2)ABCODB,2.如图，AB是O的直径，C为圆周上一点，ABC=30,【,解析,】,1.,选,B.,连接,BE,则,C=AEB,AB=AC,ABC=C,ABC=AEB,又,BAE=BAE,ABDAEB,AB,2,=AD,AE.,【解析】1.选B.连接BE,则C=AEB,2.(1)AB,是,O,的直径，,ACB=90,，由,ABC=30,，,CAB=60,又,OB=OC,，,OCB=OBC=30,，,BOD=60,，,CAB=BOD,2.(1)AB是O的直径，,(2),在,RtABC,中，,ABC=30,，得,AC=AB,，,又,OB=AB,，,AC=OB,由,BD,切,O,于点,B,，得,OBD=90,在,ABC,和,ODB,中，,ABCODB.,(2)在RtABC中，ABC=30，得AC=AB，,【,互动探究,】,若,2,题中的条件不变，当,AC=4,时，求,BCD,的面积,.,【,解题指南,】,BCD,的面积,=ODB,的面积,+BOC,的面积；,ODB,的面积,=ABC,的面积,;BOC,的面积,=ABC,的面积,.,【互动探究】若2题中的条件不变，当AC=4时，求BCD的面,【,解析,】,在,ABC,中，,ACB=90,，,ABC=30,，,BC=AC;,OA=OB,BOC,的面积,=ABC,的面积,=,ABCODB,ODB,的面积,=ABC,的面积,=,BCD,的面积,=ODB,的面积,+BOC,的面积,=,【解析】在ABC中，ACB=90，ABC=30，,