,第,1,课时函数的零点及其与对应方程,、,不等式,解集之间的关系,第三章,3.2,函数与方程、不等式之间的关系,第1课时函数的零点及其与对应方程、第三章3.2函数与方,1,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.,体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系,.,2,.,通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式,.,3,.,了解高次不等式的解法,.,学习目标XUEXIMUBIAO1.体会函数零点的概念以及函数,问题导入,已知,:,二次函数,试问,：（,1,）,x,为何值时，,y,等于,0,？,（,2,）画出这个函数的图像，求该函数图像与,x,轴的交点坐标。,问题：二次函数,的图像与,x,轴的交点,坐标与方程,的解有什么关系？,问题导入已知:二次函数试问：（1）x为何值时，y等于0？问题,3,思考：一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的根与二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的图象有什么关系？,思考：一元二次方程,4,知识点一函数零点的概念,一般地，如果函数,y,f,(,x,),在实数,处的函数值等于零，即,f,(,),0,，则,称,_,为函数,y,f,(,x,),的零点,.,思考,函数的零点是,“,点,”,吗,？,答案,函数的零点不是点，而是函数,y,f,(,x,),与,x,轴的交点的横坐标，即零点是一个实数,.,当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零,.,知识点一函数零点的概念思考函数的零点是“点”吗？答案函,知识点二二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系,函数,y,x,2,2,x,3,y,x,2,2,x,1,y,x,2,2,x,3,函数的图像,方程的实数根,_,x,1,x,2,1,_,不等式的解集,y,0,的,解集,_,_,_,y,0,的,解集,_,_,y,0,的,解集,_,y,0,的,解集,_,_,x,1,1,，,x,2,3,无实数根,(,，,1),(3,，,),(,，,1),(1,，,),(,1,3),R,知识点二二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系函数,思考,函数的零点与方程的根及函数图像有何关系,？,答案,函数,f,(,x,),的零点，即对应方程,f,(,x,),0,的根，也是函数图像与,x,轴的交点横坐标,.,思考函数的零点与方程的根及函数图像有何关系？答案函数f(,思考辨析 判断正误,SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU,1.,所有的函数都有零点,.(,),2.,若方程,f,(,x,),0,有两个不等实根,x,1,，,x,2,，则函数,y,f,(,x,),的零点为,(,x,1,，,0,),，,(,x,2,，,0).,(,),3,.,只有,一个零点,.(,),4,.,函数,y,x,3,16,x,的零点有,3,个,.(,),思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN,例,1,判断下列函数是否存在零点，若存在，则求出零点,.,(1),f,(,x,),x,2,x,6,；,一、求函数的零点,解,方法,一由,x,2,x,6,(,x,3)(,x,2),0,，得,x,1,2,，,x,2,3,，,所以函数,f,(,x,),的零点是,x,1,2,，,x,2,3.,方法二作出函数,f,(,x,),x,2,x,6,的图像，如图,.,因为函数的图像是一条开口向上的抛物线，且,f,(0),60,；,二、利用函数图像求不等式的解集,例2解下列不等式：二、利用函数图像求不等式的解集,解,设,f,(,x,),x,2,5,x,6,，令,f,(,x,),0,，,得,x,2,5,x,6,0,，,即,(,x,2)(,x,3),0,，,从而,x,2,或,x,3,，,因此,2,和,3,都是函数,f,(,x,),的零点，从而,f,(,x,),的图像与,x,轴相交于,(2,0),和,(3,0),，,又因为函数的图像是开口向下的抛物线，,所以可以作出函数图像示意图，如图所示,.,由图可知，,不等式的解集为,(2,3,).,解设f(x)x25x6，令f(x)0，由图可知，,(2)3,x,2,5,x,2,0,.,解,设,g,(,x,),3,x,2,5,x,2,，令,g,(,x,),0,，,得,3,x,2,5,x,2,0,，,又因为函数的图像是开口向上的抛物线，,所以可以作出函数图像示意图，如图所示,.,由图可知,，,(2)3x25x20.解设g(x)3x25x2,反思感悟,解一元二次不等式的一般步骤,第一步：求函数的零点；,第二步：作出函数的图像；,第三步：求对应不等式的解集,.,反思感悟解一元二次不等式的一般步骤,跟踪训练,2,解下列不等式：,(1)4,x,2,4,x,10,；,作出函数,y,4,x,2,4,x,1,的图像如图,.,跟踪训练2解下列不等式：作出函数y4x24x1的图像,(2),x,2,6,x,100,.,解,原,不等式可化为,x,2,6,x,100,，,36,40,40.解原不等式可化为x26x,例,3,求函数,f,(,x,),(2,x,1)(,x,1)(,x,3),的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式,f,(,x,),0,和,f,(,x,),0,的解集,.,三、高次不等式的解法,例3求函数f(x)(2x1)(x1)(x3)的零点,函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示,.,x,(1,3),(3,，,),f,(,x,),由此可以画出函数图像的示意图如图所示,.,函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下,反思感悟,数轴穿根法的步骤,第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为,0(,注意：一定要保证,x,前的系数为正数,),；,第二步：将不等号换成等号解出所有根；,第三步：在数轴上从左到右依次标出各根；,第四步：画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过次右根，一上一下依次穿过各根；,第五步：观察不等号，如果不等号为，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为，则取数轴下方穿根线以内的范围,.,反思感悟数轴穿根法的步骤,跟踪训练,3,求函数,f,(,x,),(,x,1)(,x,2)(2,x,3),的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式,f,(,x,),0,的解集,.,函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示,.,x,(,，,2),(,2,，,1),f,(,x,),由此可以画出函数图像的示意图如图所示,.,跟踪训练3求函数f(x)(x1)(x2)(2x3),当堂检测,当堂检测,23,1,2,3,1.,函数,f,(,x,),2,x,2,3,x,1,的零点,是,1231.函数f(x)2x23x1的零点是,1,2,3,2.,不等式,x,2,4,x,3,0,的解集,为,A.(1,3),B,.(,，,1,3,，,),C.(,3,，,1),D,.(,，,3,1,，,),解析,作出函数,y,x,2,4,x,3,的图像,(,图略,),，由图可知选,A.,1232.不等式x24x30的解集为解析作出函数y,1,2,3,3.,不等式,(,x,1)(,x,2)(,x,3),0,的解集,为,_,_.,解析,函数的零点为,1,2,3.,利用数轴穿根法作出函数图像的示意图,(,略,),，,不等式,(,x,1)(,x,2)(,x,3),0,的解集为,(,，,1),(2,3).,(,，,1),(,2,，,3,),1233.不等式(x1)(x2)(x3)0的解集为_,