,第二章 第二节,离散型随机变量,设,X,是一个离散型随机变量，它可能取的值是,x,1,x,2,。,为了描述随机变量,X,，我们不仅需要知道随机变量,X,的取值，而且还应知道,X,取每个值的概率。,(,一,),离散型随机变量：,这样，就的得到了随机变量,X,取值的概率规律。,从盒中任取,3,个球，求取到白球的概率？,设取到的白球数,X,为一个随机变量，,则随机变量,X,的可能取值为,0,1,2,。,于是，取每个值的概率为：,例,1,：,且，,其中,p,k,满足：,k,=1,2,；,（,1,）,p,k,0,，,定义,1,：设,x,k,(,k,=1,2,),是离散型随机变量,X,所取的一切可能值，称,P(X=x,k,)=p,k,，,k=1,2,为离散型随机变量,X,的概率分布或分布律，有的书上也称概率函数。,通常用这两条性质判断,一个函数是否服从,概率,分布,一、离散型随机变量的概率分布,（,2,）,二、概率分布的表示方法,（,1,）列表法：,（,2,）公式法：,（,3,）表格法：,X,P(X=x,k,)=p,k,，,k=1,2,X,x,1,x,2,x,k,p,k,p,1,p,2,p,k,三、举例,例,2.,某篮球运动员投中篮圈的概率为,0.9,，求其两次独立投篮投中次数,X,的概率分布。,解：,X,可取,0,，,1,，,2,等值,P,(,X,=0)=(0.1)(0.1)=0.01,P,(,X,=1)=2(0.9)(0.1)=0.18,P,(,X,=2)=(0.9)(0.9)=0.81,且,P,(,X,=0)+,P,(,X,=1)+,P,(,X,=2)=1,常常表示为：,这就是,X,的概率分布。,X,0 1 2,p,k,0.01 0.18 0.81,例,3.,如图所示，电子线路中装有两个并联的继电器。假设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立。已知每个继电器接通的概率为,0.8,，记,X,为线路中接通的继电器的个数。,求,:(1),X,的概率分布；,(2),线路接通的概率。,解,:,(1),首先，随机变量,X,可能取,0,1,2,三个值。,记,A,i,=,第,i,个继电器接通,，,i,=0,1,2,。,两个继电器是否接通是相互独立的，于是,A,1,和,A,2,相互独立，且,P,(,A,1,)=,P,(,A,2,)=0.8,。,因,X=0,表示两个继电器都没接通，所以,P,X,=0=,P,(,1,2,)=,P,(,1,),P,(,2,)=0.2,0.2=0.04,。,P,X,=1=,P,(,A,1,2,1,A,2,)=,P,(,A,1,2,)+,P,(,1,A,2,),=,P,(,A,1,),P,(,2,)+,P,(,1,),P,(,A,2,),=0.8,0.2+0.20.8=0.32,类似地,P,X,=2=,P,(,A,1,A,2,)=,P,(,A,1,),P,(,A,2,),=0.8,0.8=0.64,于是，,X,的概率分布为,(2),因为此电路并联，所以只要一个继电器接 通，整个线路将接通。于是所求的概率为,P,X,1=,P,X,=1+,P,X,=2=0.32+0.64=0.96,。,X,0 1 2,p,k,0.04 0.32 0.64,(,二,),常见的离散型随机变量的概率分布,(I),两点分布,若随机变量,X,只可能取,0,或,1,两个值，其概率分布为,P,X,=1,=,p,，,P,X,=0,=1-,p,，,其中,0,p,1,，则称,X,服从参数为,p,的,两点分布,或,(0-1),分布,，记为,X,B,(1,p,),。,200,件产品中，有,196,件是正品，,4,件是次品，今从中随机地抽取一件，若规定,例,4.,X,=,1,取到合格品,0,取到不合格品,则,P,X,=1=196/200=0.98,P,X,=0=4/200=0.02,。,故,X,服从参数为,0.98,的两点分布，即,X,B,(1,0.98).,例,6.,设生男孩的概率为,p,，生女孩的概率为,q=1-p,，令,X,表示随机抽查出生的,4,个婴儿中“男孩”的个数。,伯努利试验,和,二项分布,(II),求,X,的概率分布。,X,的概率分布为：,男,女,X,表示随机抽查的,4,个婴儿中男孩的个数，,生男孩的概率为,p,。,X,=0,X,=1,X,=2,X,=3,X,=4,例,7.,将,一枚均匀的骰子抛掷,3,次，,令,X,表示,3,次中出现“,4”,点的次数，,X,的概率分布为：,不难求得，,掷骰子：“,掷出,4,点,”，“,未掷出,4,点,”,一般地，,设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：,A,和,，,或者形象地把这两个互逆的结果叫做,“,成功,”与“,失败,”。,新生儿：“,是男孩,”，“,是女孩,”,抽产品：“,是正品,”，“,是次品,”,再设我们重复地进行,n,次独立试验,(,“,重复,”,是指每次试验中的试验条件相同,),例如，,这样的,n,次独立重复试验称作,n,次伯努利试验,，简称,伯努利试验,或,伯努利概型,。,其中，每次试验成功的概率都是,p,，失败的概率都是,q,=1-,p,。,用,X,表示,n,次伯努利试验,中事件,A,（,成功,）出现的次数，则,称,X,服从参数为,n,和,p,的,二项分布,，记作,X,B,(,n,p,),。,注,:,伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（,1,）每次试验条件相同；,实际上，,二项分布,描述的是,n,次伯努利试验中出现“成功”次数（,X,）的概率分布。,（,2,）每次试验只考虑两个互逆结果,A,和,，,且,P,(,A,)=,p,，,P,(,)=1-,p,；,（,3,）各次试验相互独立。,例,8.,某类灯泡使用时数在,2000,小时以上视为正品,.,已知有,一大批,这类的灯泡,其次品率是,0.2,.,随机抽出,20,只灯泡做寿命试验,求这,20,只灯泡中恰有,3,只是次品的概率,.,解,:,设,X,为,20,只灯泡中次品的个,数,则,X,B,(20,0.2),，,于是,下面我们研究,二项分布,B,(,n,p,),和,两点分布,B,(1,p,),之间的一个重要关系。,说明,设试验,E,只有两个结果,:,A,和,，,记,p,=,P,(,A,),则,P,(,)=1-,p,且,0,p,0,是常数，则称,X,服从参数为,的,泊松分布,，记作,X,P,(,),。,(III),泊松分布,其中，,例,9.,某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数,X,服从参数为,=3,的泊松分布。,求,:(1),一分钟内恰好收到,3,次寻呼的概率。,(2),一分钟内收到,2,至,5,次寻呼的概率。,.,解,:,泊松分布为,P,X,=3=p(3;3)=(3,3,/3!)e,-3,0.2240,(2),P2,X,5=P,X,=2+P,X,=3+P,X,=4+P,X,=5,=(3,2,/2!)+(3,3,/3!)+(3,4,/4!)+(3,5,/5!)e,-3,0.7169,解,:,例,10.,某一城市每天发生火灾的次数,X,服从参数,=0.8,的泊松分布。,求,:,该城市一天内发生,3,次以上火灾的概率。,P,X,3=1-,P,X,3,=1-,P,X,=0+,P,X,=1+,P,X,=2,=1-(0.8,0,/0!)+(0.8,1,/1!)+(0.8,2,/2!)e,-0.8,0.0474,泊松分布的图形特点：,X,P,(,),历史上，泊松分布是作为二项分布的近似给出的，于,1837,年由法国数学家泊松引入。,二、,二项分布,与,泊松分布,命题,对于二项分布,B,(,n,p,),，当,n,充分大，而,p,又很小时，则对任意固定的非负整数,k,，有近似式,其中，,=np,。,由泊松定理，,n,次伯努利试验中,稀有事件,出现的次数近似地服从泊松分布。,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作,稀有事件。,如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等。,解,:,例,11.,某出租汽车公司共有出租车,400,辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为,0.02,。,求,:,一天内没有出租车出现故障的概率,。,将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验,E,。因为每辆车是否出现故障与其它车无关，于是观察,400,辆出租车是否出现故障就是做,400,次伯努利试验。设,X,表示一天内出现故障的车数，则,:,X,B,(400,0.02),。,令,=,np,=4000.02=8,。于是,:,P,一天内没有出租车出现故障,=,P,X,=0,，则,P,X,=0=b(0;400,0.02)(8,0,/0!)e,-8,=0.0003355,对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布，也就知道了该随机变量取值的概率规律。在这个意义上，我们说：,这一节，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布。,离散型随机变量由其概率分布唯一确定。,随后，介绍了两点分布、二项分布、泊松分布及其关系。,小结,