专题,八,带电粒子,在磁场中运动的临界和多解问题,考点突破,考点一带电粒子在磁场中运动的临界极值问题,解决带电粒子在磁场中的临界极值问题的关键,(1),以题目中的,“,恰好,”“,最大,”“,最高,”“,至少,”,等词语为突破口，运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，由磁场边界和题设条件画好轨迹、定好圆心，建立几何关系,(2),寻找临界点常用的结论：,刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切,当速度,v,一定时，弧长,(,或弦长,),越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,当速度,v,变化时，圆心角越大，运动时间越长,题型,1,|,求运动时间的极值,例,1,2020,全国卷,，,18,一匀强磁场的磁感应强度大小为,B,，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，,为半圆，,ac,、,bd,与直径,ab,共线，,ac,间的距离等于半圆的半径一束质量为,m,、电荷量为,q,(,q,0),的粒子，在纸面内从,c,点垂直于,ac,射入磁场，这些粒子具有各种速率不计粒子之间的相互作用在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为,(,),A.,B.,C.,D.,答案：,C,解析：,如图所示，设某一粒子从磁场圆弧,上的,e,点射出磁场，粒子在磁场中转过的圆心角为,2,，由于所有粒子在磁场中运动周期相同，粒子在磁场中做匀速圆周运动时，运动轨迹对应的圆心角越大，则运动时间越长由几何关系可知，,最大时，,ce,恰好与圆弧,相切，此时,sin,，可得,，,2,，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为,T,，粒子在磁场中运动的最长时间,t,，又,T,，解得,t,，故选,C.,题型,2,|,求磁感应强度的极值,例,2,2020,全国卷,，,18,真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为,a,和,3,a,的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示一速率为,v,的电子从圆心沿半径方向进入磁场已知电子质量为,m,，电荷量为,e,，忽略重力为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为,(,),A.,B.,C,.,D,.,答案：,C,解析：,为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，且磁感应强度最小，由,q,v,B,可知，电子在匀强磁场中的轨迹半径,r,，当,r,最大时，,B,最小，故临界情况为电子轨迹与有界磁场外边界相切，如图所示，由几何关系知,a,2,r,2,(3,a,r,),2,，解得,r,a,，联立可得最小的磁感应强度,B,，选项,C,正确,题型,3,|,求运动速度的极值,例,3,如图所示，在直角三角形,abc,区域,(,含边界,),内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为,B,，,a,60,，,b,90,，边长,ac,L,.,一个粒子源在,a,点将质量为,m,、电荷量为,q,的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是,(,),A.,B.,C.,D.,答案：,A,解析：,由分析知，粒子沿着,ab,边入射且运动轨迹与,bc,边相切时满足题意，粒子运动轨迹如图所示由几何关系知，粒子运动轨迹半径,r,ab,L,，则粒子速度的最大值,v,，,A,正确,题型,4,|,带电粒子通过磁场时的最大偏角,例,4,如图所示，半径,R,10 cm,的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟,y,轴在坐标原点,O,处相切，磁感强度,B,0.33 T,，方向垂直纸面向里在,O,处有一放射源,S,，可沿纸面向各方向射出速率均为,v,3.2,10,6,m/s,的,粒子，已知,粒子的质量,m,6.6,10,27,kg,，电荷量,q,3.2,10,19,C,，则该,粒子通过磁场空间的最大偏转角为,(,),A,30 B,45,C,60 D,90,答案：,C,解析：,放射源发射的,粒子的速率一定，则它在匀强磁场中的轨道半径为定值，,即,r,m,0.2 m,20,cm,粒子在圆形磁场区的圆弧长度越大，其偏转角度也越大，而最长圆弧是两端点在圆形磁场区的直径上，又,r,2,R,，则此圆弧所对的圆心角为,60,，也就是,粒子在此圆形磁场区的最大偏转角为,60.,轨迹如图所示选项,C,正确,题型,5,|,求区域的长度范围,例,5,如图所示，在荧光屏,MN,上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度的大小,B,0.1 T,、方向与纸面垂直距离荧光屏,h,16 cm,处有一粒子源,S,，以速度,v,1,10,6,m/s,不断地在纸面内向各个方向发射比荷,1,10,8,C/kg,的带正电粒子，不计粒子的重力则粒子打在荧光屏范围的长度为,(,),A,12 cm B,16 cm,C,20 cm D,24 cm,答案：,C,解析：,如图所示，粒子在磁场中做圆周运动的半径为,R,10 cm,，若粒子打在荧光屏的左侧，当弦长等于直径时，打在荧光屏的最左侧，由几何关系有,x,1,12 cm,；粒子的运动轨迹与荧光屏右侧相切时，打在荧光屏的最右侧，由几何关系有,x,2,8 cm.,根据数学知识可知打在荧光屏上的范围长度为,x,x,1,x,2,12 cm,8 cm,20 cm,，选项,C,正确,练,1,最小边界,如图所示，一带电质点质量为,m,，电荷量为,q,，以平行于,x,轴的速度,v,从,y,轴上的,a,点射入图中第一象限所示的区域为了使该质点能从,x,轴上的,b,点以垂直于,x,轴的速度,v,射出，可在适当的地方加一个垂直于,xOy,平面、磁感应强度为,B,的匀强磁场若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径,(,重力忽略不计,),答案：,解析：,由于已知初速度与末速度的方向，可得偏向角,.,设粒子由,M,点进入磁场，由于,2,，可沿粒子偏转方向,来补弦,MN,，如图所示,由,“,切线、弦,”,可得圆心,O,1,，从而画轨迹弧,MN,.,显然,M,、,N,为磁场边界上两点，而磁场又仅分布在一圆形区域内欲使磁场面积最小，则弦,MN,应为磁场边界所在圆的直径,(,图中虚线图,),，即得,2,r,MN,.,由几何知识，在,Rt,MO,1,O,2,中可知,R,r,，,又因为,R,，,所以,，这圆形磁场区域的最小半径,R,.,练,2,2020,全国卷,，,24,如图，在,0,x,h,，,y,0),的粒子以速度,v,0,从磁场区域左侧沿,x,轴进入磁场，不计重力,(1),若粒子经磁场偏转后穿过,y,轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值,B,m,；,解析：,(1),由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为,R,，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有,q,v,0,B,由此可得,R,粒子穿过,y,轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在,y,轴正半轴上，半径应满足,R,h,由题意，当磁感应强度大小为,B,m,时，粒子的运动半径最大，由此得,B,m,(,2),如果磁感应强度大小为,，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场求粒子在该点的运动方向与,x,轴正方向的夹角及该点到,x,轴的距离,解析：,(2),若磁感应强度大小为,，粒子做圆周运动的圆心仍在,y,轴正半轴上，由,式可得，此时圆弧半径为,R,2,h,粒子会穿过图中,P,点离开磁场，运动轨迹如图所示设粒子在,P,点的运动方向与,x,轴正方向的夹角为,，由几何关系,sin,则,由几何关系可得，,P,点与,x,轴的距离,为,y,2,h,(1,cos,),联立,式,得,y,(2,),h,题后反思,解决临界极值问题的方法技巧,(1),数学方法和物理方法的结合：如利用,“,矢量图,”“,边界条件,”,等求临界值，利用,“,三角函数,”“,不等式的性质,”“,二次方程的判别式,”,等求极值,(2),一个,“,解题流程,”,突破临界问题,考点二带电粒子在匀强磁场中的运动的多解问题,题型,1,|,带电性质不确定,例,6,如图所示，宽度为,d,的有界匀强磁场，磁感应强度为,B,，,MM,和,NN,是它的两条边界现有质量为,m,、电荷量为,q,的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入要使粒子不能从边界,NN,射出，则粒子入射速率,v,的最大值可能是多少？,答案,：,(,2,(,q,为正电荷,),或,(2,(,q,为负电荷,),解析：,题目中只给出粒子,“,电荷量为,q,”,，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论,若带电粒子带正电荷，则轨迹是图中与,NN,相切的,圆弧，轨迹半径,R,又,d,R,R,sin 45,解得,v,若带电粒子带负电荷，则轨迹是图中与,NN,相切的,圆弧，轨迹半径,R,又,d,R,R,sin 45,解得,v,题型,2,|,磁场方向不确定,例,7,(,多选,),一质量为,m,，电荷量为,q,的负电荷在磁感应强度为,B,的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是,(,),A.,B.,C.,D.,答案：,AC,解析：,依题中条件,“,磁场方向垂直于它的运动平面,”,，磁场方向有两种可能，且这两种方向相反在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知,4,Bq,v,m,，得,v,.,此种情况下，负电荷运动的角速度为,；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有,2,Bq,v,m,，,v,，此种情况下，负电荷运动的角速度为,.,故,AC,正确,题型,3,|,临界状态不唯一,例,8,匀强磁场区域由一个半径为,R,的半圆和一个长为,2,R,、宽为,的矩形组成，磁场的方向如图所示一束质量为,m,、电荷量为,q,的粒子,(,粒子间的相互作用和重力均不计,),以速度,v,从边界,AN,的中点,P,垂直于,AN,和磁场方向射入磁场中,(1),当磁感应强度为多大时，粒子恰好从,A,点射出,？,解析：,(1),由左手定则判定，粒子向左偏转，只能从,PA,、,AC,和,CD,三段边界射出，如图所示当粒子从,A,点射出时，运动半径,r,1,.,由,q,v,B,1,得,B,1,.,(,2),对应于粒子可能射出的各段磁场边界，磁感应强度应满足什么条件？,解析,：,(,2),当粒子从,C,点射出时，由勾股定理得,：,(,R,r,2,),2,，解得,r,2,R,由,q,v,B,2,，得,B,2,据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大，可以判断：当,B,时，粒子从,PA,段射出；,当,B,时，粒子从,AC,段射出；,当,B,时，粒子从,CD,段射出,题型,4,|,带电粒子的周期性运动形成多解,解决带电粒子在磁场中的周期性运动与多解问题，关键是对运动过程进行准确分析，找出周期性运动的规律，并用数学通式表达多解性分析运动过程要注意两点：,(1),注意磁场大小或方向的变化引起粒子运动轨迹的变化,(2),注意粒子的运动方向改变而使粒子的运动具有周期性和对称性,例,9,2021,广东韶关调研,如图所示，在无限长的竖直边界,AC,和,DE,间，上、下方分别充满方向垂直于平面,ADEC,向外的匀强磁场，上方磁场区域的磁感应强度大小为,B,0,，,OF,为上、下方磁场的水平分界线质量为,m,、所带电荷量为,q,的粒子从,AC,边界上与,O,点相距为,a,的,P,点垂直于,AC,边界射入上方磁场区域，经,OF,上的,Q,点第一次进入下方磁场区域，,Q,点与,O,点的距离为,3,a,.,不考虑粒子重力,(1),求粒子射入时的速度大小,；,解析：,(1),粒子在,OF,上方的运动轨迹如图甲所示，,设粒子做圆周运动的半径为,R,，由几何关系得,R,2,(,R,a,),2,(3,a,),2,，解得,R,5,a,由牛顿第二定律得,q,v,B,0,m,解得,v,.,(,2),若下方区域的磁感应强度,B,3,B,0,，粒子最终垂直于,DE,边界飞出，求边界,DE,与,AC,间距离的可能值