,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2018/9/29,#,单击此处编辑母版标题样式,1,.,2,集合之间的关系与运算,1,.,2,.,1,集合之间的关系,1,.,理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集,.,2,.,能使用维恩,(Venn),图表达集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意义,.,3,.,理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集,.,1,2,3,1,.,集合之间的,关系,1,2,3,1,2,3,1,2,3,名师点拨,1,.,在子集的定义中,不能认为当集合,A,中的元素比,B,中的元素个数少时,A,就是,B,的子集,.,只有当,A,中的任何一个元素都是,B,中的元素时,才能说,A,是,B,的子集,不能仅仅依据元素个数的多少判定两集合的关系,.,2,.,当,A,是,B,的子集,即,A,B,时,不能认为,A,是由,B,中的部分元素构成的集合,.,因为当,A=,时,有,A,B,但集合,A,中不含任何元素,;,又当,A=B,时,也有,A,B,但此时集合,A,中含有,B,中的全部元素,.,3,.,当集合,A,中存在不是集合,B,中的元素时,我们就说,A,不是,B,的子集,记作,A,B,(,或,B,A,),读作,:“,A,不包含于,B,”(,或,“,B,不包含,A,”),.,4,.A,B,包括,A,B,和,A=B,两种情况,.,其中,A,B,可形象地理解为,B,中元素至少比,A,中元素多一个,;,而,A=B,可从,A,的元素与,B,的元素完全相同去理解,.,1,2,3,【做一做,1,-,1,】,有下列关系,:,1,0,1,2;,1,0,1,2;,0,1,2,0,1,2;,0,1,2,=,2,0,1,.,其中错误的个数是,(,),A.1B.2C.3D.4,解析,:,正确,;,错误,应为,1,0,1,2;,正确,也可以写成,0,1,2,=,0,1,2;,正确,.,故选,A,.,答案,:,A,【做一做,1,-,2,】,已知集合,A=,1,2,3,B=,3,x,2,2,若,A=B,则,x,的值是,(,),A.1B.,-,1C.,1D.0,答案,:,C,1,2,3,【做一做,1,-,3,】,指出下列各对集合之间的关系,:,(1),A=,-,1,2,B=,1,-,2;,(2),A=,1,2,3,B=,0,1,2,3;,(3),A=,x|x,2,=,1,B=,x|x|=,1;,(4),A=,四边形,B=,矩形,.,解,:,(1),A,B,B,A,;,(2),A,B,;,(3),因为,A=,1,-,1,B=,1,-,1,所以,A=B,;,(4),四边形不一定是矩形,但矩形一定是四边形,.,因此,B,A.,1,2,3,2,.,维恩,(Venn),图,我们常用平面内一条,封闭曲线的内部,来表示一个集合,用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系,这种图形通常叫做维恩,(Venn),图,.,如果集合,A,是集合,B,的,真子集,那么就把表示,A,的区域画在表示,B,的区域的内部,(,如图所示,),.,名师点拨,1,.,Venn,图一定是封闭曲线,常画成椭圆、圆或矩形,;,2,.,Venn,图中要把集合的元素写在封闭曲线的内部,.,1,2,3,【做一做,2,】,如图所示,对于集合,A,B,C,D,的关系,描述正确的是,(,),A.,B,C,B.,D,A,C.,A,B,D.,A,C,答案,:,D,1,2,3,3,.,集合关系与其特征性质之间的关系,设,A=,x|p,(,x,),B=,x|q,(,x,),则,有,1,2,3,【做一做,3,-,1,】,已知集合,M=,x|,0,x,2,N=,x|-,1,x,6,则,M,与,N,的关系是,.,解析,:,由于,0,x,2,-,1,x,6,但,-,1,x,6 0,x,2,故,M,N.,答案,:,M,N,【做一做,3,-,2,】,若集合,A=,x|x=,2,n,n,Z,B=,x|x=,4,n,n,N,则,A,与,B,的关系是,.,解析,:,集合,A,是由,2,的倍数构成的集合,集合,B,是由,4,的倍数构成的集合,4,的倍数一定是,2,的倍数,但,2,的倍数不一定是,4,的倍数,故,B,A.,答案,:,B,A,一、,“,”,与,“,”,的区别与联系,剖析,:,符号,“,”,表示元素与集合之间的从属关系,也就是个体与总体的关系,是指单个对象与对象的全体的从属关系,;,而符号,“,”,表示集合与集合之间的包含关系,.,从属关系,(,),一般只能用在元素与集合之间,;,包含关系,(,),只能用在集合与集合之间,.,在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系,.,例如,表示元素与集合之间的关系有,:1,N,-,1,N,1,1,0,0,等,但不能写成,0,=,0,或,0,0;,表示集合与集合之间的关系有,:,N,R,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,4,等,;,但需要注意的是,与,的写法都是正确的,前者是从两个集合间的关系来考虑的,后者则把,看成集合,中的元素来考虑,.,二、探索集合的子集个数问题,剖析,:,由子集的定义可知,:,若集合,A,是集合,B,的子集,则有,A,B,它包含以下两个方面,:(1),A,B,;(2),A=B.,由以上知识,可以得到,:,若,B=,a,则其子集可以是,a,即集合中若有,1,个元素,则其子集个数为,2;,若,B=,a,b,则其子集可以是,a,b,a,b,即集合中若有,2,个元素,则其子集个数为,4;,若,B=,a,b,c,则其子集可以是,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c,即集合中若有,3,个元素,则其子集的个数为,8;,若,B=,a,b,c,d,则其子集可以是,a,b,c,d,a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d,a,b,c,a,b,d,a,c,d,b,c,d,a,b,c,d,即集合中若有,4,个元素,则其子集的个数为,16,.,综上所述,集合中的元素个数每增加,1,其子集的个数变为原来的,2,倍,其对应关系为,:,元素个数,子集数目,1,2,=,2,1,2,2,2,1,=,2,2,3,2,2,2,=,2,3,4,2,2,3,=,2,4,由此可以猜测,:,若集合中有,n,个元素,则其子集的个数应为,2,n,其非空子集的个数为,(2,n,-,1),其真子集的个数应为,(2,n,-,1),其非空真子集的个数为,(2,n,-,2),.,三、教材中的,“,思考与讨论,”,已知集合,A,的特征性质为,p,(,x,),集合,B,的特征性质为,q,(,x,),.,“,如果,p,(,x,),那么,q,(,x,)”,是正确的命题,试问集合,A,和,B,的关系如何,?,并举例说明,.,剖析,:,设,A=,x|p,(,x,),B=,x|q,(,x,),若,“,如果,p,(,x,),那么,q,(,x,)”,是正确的命题,则,p,(,x,),q,(,x,),即,x,A,x,B,根据子集的定义有,A,B.,举例说明如下,:,A=,x|x,是,6,的约数,B=,x|x,是,12,的约数,即集合,A,的特征性质,p,(,x,),是,:,x,是,6,的约数,;,集合,B,的特征性质,q,(,x,),是,:,x,是,12,的约数,.,而,6,的约数是,1,2,3,6;12,的约数是,1,2,3,4,6,12,.,由此可知,若,“,如果,p,(,x,),那么,q,(,x,)”,是真命题,则,“,如果,x,是,6,的约数,那么,x,是,12,的约数,”,即,x,A,x,B,故,A,B.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,1,】,判断以下给出的各对集合之间的关系,:,(1),A=,1,3,5,6,7,B=,5,7;,(2),A=,2,3,B=,x|x,2,-,5,x+,6,=,0;,(3),A=,x|x,2,-x=,0,B=,x|x,2,-x+,1,=,0;,(4),A=,x|,0,x,1,B=,x|,0,x,3;,(5),A=,x|x=,2,k,k,Z,B=,x|x=,2,k+,2,k,Z,.,分析,:,对于,(1)(2),可直接根据两集合的元素进行判断,;,对于,(5),可分析集合中元素的特征性质判断两集合的关系,;,对于,(3),要注意空集的特殊性,;,对于,(4),可借助数轴进行判断,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解,:,(1),由于,A=,1,3,5,6,7,B=,5,7,由真子集的定义知,集合,B,是集合,A,的真子集,即,B,A.,(2),由于,B=,x|x,2,-,5,x+,6,=,0,=,2,3,而,A=,2,3,故集合,A,与集合,B,相等,即,A=B.,(3),由于,A=,x|x,2,-x=,0,=,0,1,而集合,B,中的方程,x,2,-x+,1,=,0,没有实数解,即,B=,故,B,A.,(4),由数轴,(,如图所示,),可知,A,B,.,(5),当,k,Z,时,2,k,是偶数,且能取到所有的偶数,;,当,k,Z,时,2,k+,2,也是偶数,也能取到所有的偶数,因此集合,A,和集合,B,都表示所有偶数的集合,即,A=B.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思,1,.,集合间的关系有包含、真包含、相等等,.,2,.,判断两个集合之间的关系的方法主要有,:,(1),对于有限集合,特别是元素个数较少时,可将元素一一列举出来进行判断,;,(2),对于无限集合,特别是用描述法表示的集合,应从特征性质入手进行分析判断,看其元素之间具备什么关系,从而得到集合间的关系,;,(3),当集合是不等式的解集时,可借助数轴分析判断集合间的关系,.,3,.,在判断集合间的关系时,要注意空集表现形式的多样性及其特殊性,即空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练,1,】,判断下列各对集合之间的关系,:,(1),M=,x|x,0,N=,x|x,0,x,R,.,解,:,(1),结合数轴分析,可得,M,N,N,M,;,(2),等腰直角三角形一定是直角三角形,但直角三角形不一定是等腰直角三角形,故,M,N,;,(3),集合,M,和,N,中的元素都是,a,2,+,1,的形式,但在集合,M,中,a,Z,;,在集合,N,中,a,R,.,因为,Z,R,所以,M,N,;,(4),显然集合,M,是空集,而,N,是非空集合,故,M,N.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,2,】,已知,M=,2,a,b,N=,2,a,2,b,2,且,M=N,求,a,b,的值,.,分析,:,M=N,列方程组,解方程组求,a,b,的值,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思,在考虑两个集合相等时,应注意到集合中元素的互异性,.,本,题,结果易出现,含有,这种,错误的情况,导致该错误的原因是忽视了集合中元素的互异性,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练,2,】,设集合,A=,3,x,2,-,6,B=,x,y,且,A=B,求,x,y,的值,.,解,:,因为,A=B,所以,x=,3,或,y=,3,.,当,x=,3,时,x,2,-,6,=,3,集合,A,中元素,3,重复出现,不满足集合元素的互异性,故舍去,;,当,y=,3,时,应有,x,2,-,6,=x,解得,x=-,2(,x=,3,舍去,),此时,A=,3,-,2,B=,-,2,3,满足条件,.,综上可知,x=-,2,y=,3,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,3,】,已知集合,A=,m|m,使方程,mx,2,-,2,x+,1,=,0,有唯一实数解,试写出集合,A,的所有子集,并指出哪些是,A,的真子集,.,分析,:,先求出当方程,mx,2,-,2,x+,1,=,0,有唯一实数解时,m,的值,从而确定集合,A,的元素,然后根据子集、真子集的定义写出子集,并判断哪些是真子集,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解,:,当,