单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,1,章 随机事件及其概率,本章学习目标,了解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算,理解概率的统计定义和古典定义，掌握概率的加法法则,掌握条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式,理解事件独立性的定义，掌握独立试验序列概型的计算,1.1,随机事件,1.1.1,随机试验与随机事件,1,随机现象,自然界与人类社会所能观察到的现象多种,多样，若从结果能否预测的角度来分，大致可,分为两类，即确定性现象和非确定性现象,随,机现象,.,确定性现象,在一定条件下必然发生或必然不发生的现象，称为确定性现象例如，水在标准大气压下加热到,100,必然沸腾；上抛的石子必然落下；同性电荷必然互斥；函数在间断点处不存在导数等都为确定性现象,.,确定性现象的特征：条件完全决定结果,随机现象（偶然现象）,在一定条件下可能发生也可能不发生的现象称为随机现象例如，在相同条件下掷一枚均匀的硬币,落地后可能正面（指币值面）朝上，也可能反面朝上；用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发，弹着点会各不相同；抛掷一枚质地均匀的骰子,观察出现的点数；出生的婴儿可能是男,也可能是女；明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨；过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯；从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一件产品，可能抽到正品，也可能抽到次品等都为随机现象,.,随机现象的特征：条件不能完全决定结果,2,随机试验,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验,.,（,1,）可以在相同条件下重复地进行；,（,2,）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果；,（,3,）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现，但一次试验中必有且仅有其中一个结果出现,.,我们将通过随机试验来研究随机现象，随机试验又可简称为试验，通常用字母表示，,：抛一枚质地均匀的硬币,观察出现正面还,是反面；,：掷一枚质地均匀的骰子,观察出现的点数；,：从一批产品中,任取三件,记录出现正品的,件数；,：记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车,人数；,：射击一目标，直到击中为止，记录射击次,数；,：从一批灯泡中任取一只,测试其寿命,3,随机事件与样本空间,随机事件,随机试验的一种结果称为该随机试验的随机事件，简称为事件，通常用字母 、等表示,基本事件（样本点）,随机试验中的每一个基本结果，称为该随机试验的基本事件，或称为样本点，记为 ,样本空间,基本事件的全体，称为试验 的样本空间，记为 ,样本空间可分为二种类型：,（,1,）有限样本空间：样本空间中的样本点数是有限的，如 、；,（,2,）无限样本空间：样本空间中的样本点数是无限的，如 、,无限样本空间又可分为,可列样本空间，如 、；,不可列样本空间，如 ,由此可见，随机事件是由一个或多个样本点组成的，所以随机事件是样本空间 的某个子集,随机事件可以分为以下几种类型：,基本事件,只含一个样本点的随机事件为基本事件例如，中，“出现,1,点”，“出现,2,点”，,，“出现,6,点”，都是基本事件,复合事件,由两个或两个以上的样本点组成的事件为复合事件，例如，中，“点数小于,5”,、“点数为偶数”，都是复合事件,必然事件,由全体样本点组成的事件，在每次试验中必然发生的，称为必然事件，也用,表示例如，中“点数小于,7”,就是必然事件,不可能事件,不包含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中决不会发生的，称为不可能事件，记为 ,4,随机事件的发生,因为随机事件是样本空间 的子集，所以随机事件发生，当且仅当随机事件所包含的样本点之一在试验中出现,例如，在试验 中，设事件,=“,朝上的那一面的点数为奇数”,=1,，,3,，,5,，若试验中,3,出现，即朝上的那一面的点数是,3,，则称事件,发生；反之，若事件 发生，则意味着,1,、,3,、,5,之一必然出现总之，随机事件是“一触即发”,1.1.2,事件之间的关系及运算,一、事件的运算,1.,事件的和,事件 与事件 至少有一个发生就发生的事件，即 与 的样本点合在一起组成的事件，称为 与 的和事件，记为,或,+,（如图,1.1.1,中阴影部分）,图,1.1.1,图,1.1.2,类似地，事件 中至少有一个发,生就发生的事件称为事件 的和事件，,记为 或 ,例,1,设试验 为掷一颗骰子，表示,出现 点，令 表示出现奇数点事件，则,，即出现奇数点事件是出现,点这三个事件的和事件,2,事件的差,事件 发生而事件 不发生的事件，即属于 而不属于 的样本点所组成的事件，称为 与 的差，记为,-,（如图,1.1.2,）,事件的积,事件 与事件 同时发生时才发生的事件，即 与 的公共样本点所组成的事件，称为 与 的积事件，记为,或,（如图,1.1.3,）,类似地，事件 同时发生才发生的事件称为的积事件，记为 或 ,显然有 ,图,1.1.4,图,1.1.3,图,1.,.,图,1.,.,二、事件的关系,1,包含 若事件 发生必然导致事件 发生，,即 的样本点都在 中，则称事件 包含于,或 包含 ，记为 或 （如图,1.1.4,）,2,相等 若 且 ，则称 与 相等，,记为,=,3,互斥 若事件 与 事件不能同时发生，即,=,，则称 与 是互斥的或互不相容（如,图,1.1.5,）,4,互逆,如果在一次试验中，事件 与事件,必有一个且仅有一个发生，即,+=,且,=,，,则称 与 互为逆事件，或称 与 是对立事件，,记为,=,或,=,（如图,1.1.6,）显然，,=-,由定义可知，对立事件必为互斥事件，其逆,不真，即互斥事件不一定是对立事件,+,-,三、事件的运算规律,1,加法和乘法的交换律,+=+,，,=,2,加法和乘法的结合律,+=,（,+,）,+=+,（,+,）,3,乘法对加法的分配律,4,加法对乘法的分配律,5,反演律（德,摩根（,De Morgan,）律）,一般地，对有限个及可列个事件也有,，,，,及,，,例,2,若 表示第 个射手击中目标 ，试描述 ，,解,=“,三个射手都击中目标”；,=“,三个射手没有都击中目标”；,“,至少有一个射手击中目标”,