,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,相平面,相平面,x-v,坐标平面,相轨迹在相平面上的一条曲线,相点质点在某一时刻的状态对应,相平面上的一个点,相平面相平面x-v坐标平面相轨迹在相平面上的一条曲线,1,一维简谐振子运动的相轨迹,系统的运动微分方程,初始条件：,引入新变量 方程可写成,一维简谐振子运动的相轨迹系统的运动微分方程初始条件：引入新变,2,解方程,方程的通解,初始条件,方程的一个特解,解方程方程的通解初始条件方程的一个特解,3,相平面图,相平面图,4,有阻尼质量弹簧系统的相轨迹,系统的运动微分方程,有阻尼质量弹簧系统的相轨迹系统的运动微分方程,5,方程的解,讨论小阻尼情况,积分得到相轨迹方程,方程的解讨论小阻尼情况积分得到相轨迹方程,6,相平面图,相平面图,7,保守力作用下质点的平衡位置及其稳定性,以单摆为例,能量积分,保守力作用下质点的平衡位置及其稳定性以单摆为例能量积分,8,相平面图,相平面图,9,二维运动,以有心力问题为例,二维运动以有心力问题为例,10,相轨迹位于二维曲面上,相轨迹位于二维曲面上,11,庞加莱,Poincar,面,如：取 的,oyp,r,平面,与相轨迹交截，记录交截点在平面上的位置。,若相轨迹是闭合的，在环面上绕有一匝,在,Poincar,面上留下一个相点,如,若相轨迹不闭合，在环面上绕有无穷多圈,在,Poincar,面上留下相点有无穷多个，可形成一闭合曲线,庞加莱Poincar面如：取,12,注意：两个完全不同的概念,质点的运动轨道,质点的相轨道,注意：两个完全不同的概念质点的运动轨道,13,埃农黑尔斯势问题,简化的星体势模型,埃农黑尔斯势问题简化的星体势模型,14,质点的运动微分方程,m=1,质点的运动微分方程m=1,15,相轨迹在,Poincar,面上的图形,相轨迹在Poincar面上的图形,16,质点的运动轨道,质点的运动轨道,17,正则变换,1.定义,正则变换1.定义,18,正则变换的条件,2.,母函数,证明,设,分别满足正则方程,正则变换的条件2.母函数证明设分别满足正则方程,19,例题1,用正则变换求平面谐振子的运动,已知：母函数,设平面谐振子沿ox和oy运动，质量为m,振动频率分别为,1,、,2,，,例题1 用正则变换求平面谐振子的运动已知：母函数设平面谐振子,20,总结,若已知某一力学体系,好的正则变换,母函数U,总结若已知某一力学体系好的正则变换母函数U,21,作用变量、角变量和不变环面,作用变量、角变量和不变环面,22,作用变量的定义,积分是对力学系统的一个周期进行。,作用变量的定义积分是对力学系统的一个周期进行。,23,几何意义,几何意义,24,例题,一维简谐振子,母函数,例题一维简谐振子母函数,25,变换,变换,26,KAM,定理,KAM定理,27,力学系运动的映射特性,力学系运动的映射特性,28,