单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间角的求法,空间“角”问题,3.,方法：平移法、向量法,（,1,）平移法：,在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作,a,、,b,的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角,.,（构造）,平行四边形平移法；,中位线平移法：,构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之；,补形平移法：,在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线,.,2.,范围：,异面直线所成角的范围：,注意：,结论：,(2),线线角向量法：,经典例题探究：,如图，正三棱柱,ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,求,AC,1,和,CB,1,的夹角,.,A,B,C,A,1,B,1,C,1,经典例题探究：,如图，正三棱柱,ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,求,AC,1,和,CB,1,的夹角,.,法,1,：中位线平移法,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,E,F,G,几何法：作、证、求。,经典例题探究：,如图，正三棱柱,ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为 ，,求,AC,1,和,CB,1,的夹角,.,法,2,（）：,补形（平行四边形平移）法,B,C,A,1,B,1,C,1,A,A,2,B,2,C,2,几何法：作、证、求。,经典例题探究：,如图，正三棱柱,ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,求,AC,1,和,CB,1,的夹角,.,法（）：,补形（平行四边形平移）法,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,几何法：作、证、求。,例题探究：,如图，正三棱柱（侧棱与底面垂直且底面为正三角形）,ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,1,）求,AC,1,和,CB,1,的夹角，,A,B,C,A,1,B,1,C,1,法,：基向量法：,1,、在图形中取一组基底,.,2,、利用基底表示两直线的方向向量，利用两向量的夹角公式求之,.,例题探究：,如图，正三棱柱（侧棱与底面垂直且底面为正三角形）,ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,1,）求,AC,1,和,CB,1,的夹角，,A,B,C,A,1,B,1,C,1,法,4,：坐标向量法：,1,、写出异面直线的方向向量的坐标,.,2,、利用空间两个向量的夹角公式求出夹角,.,AC,1,和,CB,1,的夹角为：,x,y,z,设,AC,1,和,CB,1,的夹角为,，则,另：直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是,0,的角,2.,直线与平面所成角范围是,:,3,.,斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线,所成角中最小的角,.,（最小值定理）,4.,求法：几何法、公式法、向量法,（,1,）几何法：,作出斜线与射影成的角，论证所作（或所找）的角就所求的角，解三角形求出此角,.,通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。,n,A,B,线面角,等于直线的方向向量与平面的法向量所成角或其补角,的余角,.,(2),线面角向量法：,范围：,线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角 的余角,.,（,3,）利用公式,其中,：,是斜,线,与平面所成的角，,是垂线段的长，,是斜线段的长，其中出垂线段的长,（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长,.,(1),定义：,由一条直线出发的,两个半平面,所组成的图形叫做二面角,.,三、二面角,:,注,:,二面角是空间图形，平面角是平面图形。,在书写时不要写成“,AOB,为所求二面角,”,，而应写成,AOB,为二角,的平面角,”,.,二面角的范围,：,2.,求法：几何法 向量法,（,1,）,几何法,：将,二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法,直接利用定义，图,4,（,1,），,在棱上取点，分别在两面内,引两条射线与棱垂直，这两条,垂线所成的角的大小就是,二面角的平面角。,利用三垂线定理及其逆定理，图,4,（,2,）最常用，三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直,作棱的垂面，图,4,（,3,）。,l,(2),向量法,1,注意：,两向量的方向：垂直于棱向外,l,l,二面角的范围,：,向量法,2,注意：,法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,A,B,C,A,1,B,1,C,1,几何法：作、证、求。,M,经典例题探究：,如图，正三棱柱,ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,.,2,）求,AC,1,和面,ABB,1,A,1,所成的夹角,法,1,：,A,B,C,A,1,B,1,C,1,M,解法,2,步骤：,1,、求出,平面的法向量,2,、求出,直线的方向向量,3,、求以上两个向量的夹角，（,锐角,）其余角为所求角,设平面,ABB,1,B,的法向量：,2,）求,AC,1,和面,ABB,1,B,所成的夹角,x,y,z,例题探究,：,如图，正三棱柱,（侧棱与底面垂直且底面为正三角形）,ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,3,）求二面角,BAB,1,C,1,的余弦值,.,A,B,C,A,1,B,1,C,1,解法,1,：,1,、在,两个半平面内,作,垂直于棱,的两条直线；,2,、若垂足不重合则平移之；,3,、解三角形。,E,F,G,例题探究,：,如图，正三棱柱,（侧棱与底面垂直且底面为正三角形）,ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,3,）求二面角,BAB,1,C,1,的余弦值,.,A,B,C,A,1,B,1,C,1,解法,2,：,1,、以其中一个平面非交线的顶点作另一个平面的垂线，若垂足,H,在另一个半平面里，则可由第,2,、,3,步求该二面角，若不在则求该二面角的补角；,G,H,2,、过垂足作交线的垂线,G,，连接,C,1,G,，可证,C,1,G,垂直,AB,1,；,3,、解直角三角形,.,A,B,C,A,1,B,1,C,1,3,）,二面角的大小,解法,3,步骤：,1,、求,两个半平面的法向量,2,、求两个法向量的夹角,3,、当两个法向量,同时指向,二面角的,内（外）部,，,所求角是,法向量的夹角的,补角,，否则所求角,是法向量的夹角,面,BAB,1,的法向量,设面,AB,1,C,1,的法向量为：,x,y,z,二面角为钝角，所以所求二面角的余弦值为,练习,2,空间四边形,ABCD,中，,AB=BC=CD,，,ABBC,，,BCCD,，,AB,与,CD,成,60,0,角，求,AD,与,BC,所成的角,周二午练：,3,、已知正四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AA,1,=2AB,，则,CD,与平面,BDC,1,所成角的正弦值等于,。,B,C,D,B,1,C,1,D,1,A,O,A,1,H,练习,2,如图，在三棱锥,V,-,ABC,中，,VC,底面,ABC,，,AC,BC,，,D,是,AB,的中点，且,AC,=,BC,=,a,，,VDC,=,。,当角,变化时，直线,BC,与平面,VAB,所成的角的取值范围为,；,H,A,B,C,A,1,B,1,C,1,解法,2,：,1,、在,两个半平面内,求,垂直,于棱,的两条直线,方向向量,2,、求以上两个向量的夹角,在,两个半平面内,作,垂直于棱,的两条垂线,EB,、,FC,1,E,F,例题探究,：,如图，正三棱柱,（侧棱与底面垂直且底面为正三角形）,ABCA,1,B,1,C,1,的底面边长为,a,侧棱长为,3,）求二面角,BAB,1,C,1,的余弦值。,求得，,x,y,z,感谢大家光临指导！,l,E,F,A,C,B,D,