单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学时：4,第十五章 电路方程的矩阵形式,1,15.1 割集,15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,15.3*矩阵A、B、Q之间的关系,15.4 回路电流方程的矩阵形式,15.5 结点电压方程的矩阵形式,15.6 割集电压方程的矩阵形式,15.7*列表法,15.8 状态方程,内容,2,要求,理解关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵概念；,掌握结点电压方程的矩阵形式；,了解回路电流方程和割集电压方程的矩阵形式；,了解状态变量、状态方程的概念，会建立简单状态方程。,3,1 割集,1.线图：假设将电路的每一元件用一线段来代替，线段的端点称为节点，这样就得到由线段与节点组成的图形，这种图形称为网络拓朴图或线图，简称为图。,2.有向图、无向图,a,b,c,d,e,f,假设对图中的每条支路规定方向，所得到的图称为有向图；反之称为无向图。,3.平面图、非平面图,一个图画在平面上，各支路除了所连接的节点外不再交叉，这样的图称为平面图，反之称为非平面图。,一.有关图的根本定义与概念,4,4.子图：假设图G1的每一个节点和支路都是图G的节点与支路，那么称G1为G的子图。,5.树、树支、连支：,不包含回路但包含图的所有节点的连通的子图称为树。组成树的支路称为树支，其余支路称为连支。一个有n个节点、b条支路的连通图，将有(n-1)条树支，(b-n+1)条连支。,6.回路与根本回路,由支路和节点构成的闭合路径，称为回路。只含一个连支的回路称为根本回路或单连支回路。,a,b,c,d,e,f,5,7.割集,8.独立割集,一个割集是连通图的一个支路集合；这些支路全部移去时连通图分为两局部；仅留一条支路时图仍是连通的。,由于KCL适用于任何一个闭合面，因此属于同一割集的所有支路电流应满足KCL。对于一个连通图，可列出与割集数相等的KCL方程，但并非都是独立的。对应于一组独立的KCL方程的割集称为独立割集。,a,b,c,d,e,f,以下图中，adf，aeb，bcf，cde，bdef，aecf，abcd等7种割集，adef、abcde不是割集。,6,9.根本割集,只含一个树支的割集称为根本割集，也称为单树支割集。,对于一个具有n个结点b条支路的连通图，其树支数为(n-1)，因此将有(n-1)个单树支割集，即(n-1)个根本割集。,例如：选定树(cde)连支(abf),三个根本割集：adf，aeb，bcf 为一个根本割集组，可以作为一组独立割集。,a,b,c,d,e,f,根本割集组是独立割集组，对于n个结点的连通图，独立割集数为(n-1)。但独立割集不一定是单树支割集。,7,10.割集的方向,移取一个割集的所有支路时，连通图分为两局部，从其中一局部指向另一局部的方向。每一个割集只有两个可能的方向。,a,b,c,d,e,f,8,2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,对任一具有n个结点、b条支路的有向图，节点与支路的关联性质可用一个(n,b)阶的矩阵Aa表示。即,一.关联矩阵A,A,a,=,a,ij,n,b,节点数,支路数,它的行对应于节点，列对应于支路。,a,ij,a,ij,=1,有向支路,j,与节点,i,关联且,背离,i,节点,a,ij,=-1,有向支路,j,与节点,i,关联且,指向,i,节点,a,ij,=0,j,支路与,i,节点,无关,1.关联矩阵Aa的含义及列写,9,6,4,5,3,2,1,A,a,=,1,2,3,4,1 2 3 4 5 6,支,节,1 0 0 -1 0 1,-1 -1 0 0 1 0,0 1 1 0 0 -1,0 0 -1 1 -1 0,Aa的每一列对应于一条支路。由于一条支路连接于两个节点，假设离开一个节点，那么必须指向另一个节点，因此每一列中只有两个非零元素，即+1和-1。把所有行的元素相加就得一行全为零的元素，所以Aa的行不是彼此独立的，即Aa中的任一行都能从其他(n-1)行导出。因此，假设由矩阵Aa中划出任一行，剩下(n-1)b阶矩阵称为降阶关联矩阵，简称为关联矩阵，用A表示。被划去的一行所对应的节点可当作参考节点。,2.降阶关联矩阵A,10,6,4,5,3,2,1,A,a,=,1,2,3,4,1 2 3 4 5 6,支,节,1 0 0 -1 0 1,-1 -1 0 0 1 0,0 1 1 0 0 -1,0 0 -1 1 -1 0,A,a,=,1,2,3,4,1 2 3 4 5 6,支,节,1,-1,0,0,0,-1,1,0,0,0,1,-1,-1,0,0,1,0,1,0,-1,1,0,-1,0,设为参考节点,-1 -1 0 0 1 0,A=,1,2,3,1 2 3 4 5 6,支,节,1 0 0 -1 0 1,0 1 1 0 0 -1,称,A,为降阶关联矩阵,(,n,-1),b,，,表征独立节点与支路的关联性质,11,设:,6,4,5,3,2,1,-1 -1 0 0 1 0,A=,1,2,3,1 2 3 4 5 6,支,节,1 0 0 -1 0 1,0 1 1 0 0 -1,支路电压,支路电流,节点电压,3.矩阵形式的KCL,12,故有,A,i,=,-1 -1 0 0 1 0,1 0 0 -1 0 1,0 1 1 0 0 -1,6,5,4,3,2,1,i,i,i,i,i,i,6,4,5,3,2,1,A,i,=0,-矩阵形式的KCL,13,6,4,5,3,2,1,4.支路电压与结点电压的关系(矩阵形式的KVL),14,二.根本回路矩阵B,2.支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。,1 支路,j,在回路,i,中且与回路,i,关联，方向一致,-1 支路,j,在回路,i,中且与回路,i,关联，方向相反,0 支路,j,不在回路,i,中,b,ij,=,1,约定,：,1.回路电流的参考方向取连支电流方向。,用矩阵形式描述根本回路和支路的关联性质,B,=,b,i j,l,b,基本回路数,支路数,1.回路矩阵B的含义及列写,15,1,选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。,1,2,3,B,=,4 5 6 1 2 3,支,回,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,=B,t,1,l,0 1 -1 0 0 1,B,t,B,l,2,3,1,1,2,3,B,=,1 2 3 4 5 6,支,回,1 0 0 1 -1 0,0 1 0 1 -1 1,0 0 1 0 1 -1,B,l,B,t,=1,l,B,t,16,1,设,2,3,1,2.回路矩阵形式的KVL,1,2,3,B,=,4 5 6 1 2 3,支,回,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,0 1 -1 0 0 1,B,t,B,l,支路电压,u,4,u,5,u,6,u,1,u,2,u,3,支路电流,i,4,i,5,i,6,i,1,i,2,i,3,17,1,2,3,1,2.回路矩阵形式的KVL,B,u,=,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,0 1 -1 0 0 1,B=,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,0 1 -1 0 0 1,u,4,u,5,u,6,u,1,u,2,u,3,=,回路1中的,u,回路2中的,u,回路3中的,u,故有：,B,u,=0,-KVL的回路矩阵形式,18,1,2,3,1,3.支路电流与独立回路电流的关系,(回路矩阵形式的KCL),i,=,B,T,i,l,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,0 1 -1 0 0 1,B=,i,4,i,5,i,6,i,1,i,2,i,3,由于矩阵B的每一列，也就是B,T,的每一行，表示每一对应支路与回路的关联情况，所以有：,1 1 0,-1 -1 1,0 1 -1,1 0 0,0 1 0,0 0 1,=,i,l1,i,l2,i,l3,=,i,l1,+i,l2,-i,l1,-i,l2,+i,l3,i,l2,i,l3,i,l1,i,l2,i,l3,19,三.根本割集矩阵Q,约定,(1)割集方向与树支方向相同。,(2)支路排列顺序先树(连)支,后连(树)支。,q,ij,=,1,j,支路在割集,i,中且与割集,i,方向一致,-1,j,支路在割集,i,中且与割集,i,方向相反,0,j,支路不在割集,i,中,1,用矩阵形式描述根本割集和支路的关联性质,Q,=,q,i j,n-,1,b,基本割集数,支路数,1.根本割集矩阵的含义与列写,20,Q,=,4 5 6 1 2 3,支,割集,C,1,C,2,C,3,1 0 0 -1 -1 0,0 1 0 1 1 -1,图示连通图的根本割集为：,1,0 0 1 0 -1 1,Q,l,Q,t,C,1,:1,2,4,C,2,:1,2,3,5,C,3,:2,3,6,根本割集的方向与与树支方向一致.,根本割集矩阵为：,=,1,l,Q,l,21,设 支路电流,Q,i=0,矩阵形式的KCL。,1,Q,i,=,2.割集矩阵形式的KCL,Q=,1 0 0 -1 -1 0,0 1 0 1 1 -1,0 0 1 0 -1 1,i,4,i,5,i,6,i,1,i,2,i,3,1 0 0 -1 -1 0,0 1 0 1 1 -1,0 0 1 0 -1 1,i,4,i,5,i,6,i,1,i,2,i,3,=,i,4,-i,1,i,2,i,5,+i,1,+i,2,i,3,i,6,-i,2,+i,3,=0,22,1,树支电压用列向量表示：,Q,T,u,t,=u,3.支路电压与树支电压的关系,(割集矩阵形式的KVL),-矩阵形式的KVL。,u,4,u,5,u,6,u,t,=,由于Q的每一列，也就是QT的每一行，表示一条支路与割集关联情况，那么矩阵相乘的规那么可得：,由于通常选单树支割集(根本割集)为独立割集，因此树支电压又 可视为割集电压，故ut也可称为割集电压列向量。,23,1,Q,T,u,t,=u,3.支路电压与树支电压的关系,(割集矩阵形式的KVL),矩阵形式的KVL：,对图示的有向图，有,24,Q,Q,i=,0,Q,T,u,t,=u,小结：,A,B,A,i,=0,B,T,i,l,=i,KCL,KVL,A,T,u,n,=u,B,u,=0,25,1.方程的两种约束,1),支路约束-支路方程,2)支路间约束-支路间KCL、KVL约束用回路矩阵表示,4 回路电流方程的矩阵形式,26,2.支路模式,由于支路的复杂多样性，为了列矩阵方程方便，需要定义支路的模式。,设标准支路为：,规定每个支路必须有一个阻抗,k支路抽象为：,k,27,3.矩阵形式的支路约束,k支路电压、电流关系：,设,Z,=diag,Z,1,Z,2,Z,b,Y,=diag,Y,1,Y,2,Y,b,Z,=,Y,-1,28,即,对整个电路有：,Z为支路的阻抗矩阵，是一个对角阵。,29,4.矩阵形式的回路电流方程,z,L,Z,L,-,回路阻抗矩阵，是一个,l,阶方阵，主对角元素为自阻抗，非主对角为互阻抗。,设回路电流为未知量,支路方程：,KVL：,KCL：,将支路方程代入KVL：,将KCL代入上式得：,回路方程矩阵形式,30,1.支路约束,5 节点电压方程的矩阵形式,k支路电压、电流关系：,31,支路方程的矩阵方程,Y称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。,32,2.矩阵形式的节点电压方程,设节点电压为未知量,支路方程：,由,KCL,A,i,=0,由,KVL,u,=A,T,u,n,节点导纳阵,那么,由此求得支路电压和电流,节点电压方程矩阵形式,33,例,5V,0.5W,2W,1W,0.5W,5W,1W,3A,1A,1,2,3,4,5,6,1.画有向图,2.,3.,1,2,3,4,5,6,34,5V,0.5W,2W,1W,0.5W,5W,1W,3A,1A,1,2,3,4,5,6,4.,5.,6.,得,35,6 割集电压方程的矩阵形式,支路方程的矩阵方程,取割集树支电压为未知量,Y,t,割集导纳阵,KCL,KVL,割集方程矩阵形式,36,8 状态方程,1.状态：,在电路理论中，状态是指在某给定时刻电路必须具备的最少量的信息，它们和从该时刻开始