第三节用正交变换法化二次型为标准形,一 正交矩阵及性质,二 正交变换,三 用正交变换法化二次型为标准形,正交变换,是一类特殊的线性变换，具有保,向量长度,不变、几何形状不变,的性质，在几何空间中被广泛使用。,那么称C为正交矩阵。,正交矩阵的性质：,一、正交矩阵及性质,正交矩阵：,设矩阵,C,为,n,阶方阵，若满足,假设矩阵C为n阶正交矩阵，那么C*也是正交矩阵.,假设矩阵C为n阶正交矩阵，那么|C|=1；,假设矩阵C为n阶正交矩阵，那么C可逆，其逆C-1=CT,C是正交矩阵的充要条件是C的列行向量组,是,标准正交向量组,（Page105,ch3-例27）,也是正交矩阵；,注：,正交变换是一个非退化的线性变换。,假设A、B为正交矩阵，那么它们的乘积矩阵AB,也是正交矩阵,二、,正交变换,正交变换：,设,C,为,正交矩阵，,X,和,Y,是欧氏空间R,n,中的,n,维向量，那么线性变换X=CY是Rn上的正交变换,正交变换的性质：,定理：设X=CY是欧氏空间Rn上的线性变换，那么以下命题,等价：,线性变换,X,=,CY,为,正交变换；,在线性变换,X,=,CY,下,，向量的内积不变，即：,线性变换,X,=,CY,把R,n,中,的标准正交基变成标准正交基.,证明循环证明过程：,因为,X,=,CY,为正交变换，故矩阵,C,为正交矩阵,故当,其内积,设,为R,n,中的一组标准正交基，,经线性变换,X,=,CY,后得向量组,由条件2可知，,故,也是R,n,中,一组标准正交基。,由前面的定理可知，任一二次型均能通过一非退化的,线性变换将其化为标准形。,问题：,任一二次型能否通过,正交变换,将其化为标准形？,为R,n,中的任一组标准正交基，,设,经线性变换,X,=,CY,后得向量组,也是,R,n,中的一组标准正交基，且满足,由于,A,、,B,均为正交矩阵，故,C,为正交矩阵，故,线性,变换,X,=,CY,为正交变换.,三、用正交变换法化二次型为标准形,注：,正交变换不改变向量的内积，即不改变向量的长度，,从而也不改变曲线或曲面的形状。,上述问题的等价描述：对于一实Rn对称矩阵A,能否,注：,上式说明用正交矩阵所得的矩阵合同即为矩阵的相似.,列向量应该是,A,的,n,个,线性无关且标准正交的,特征向量。,实对称矩阵的性质：,定理：设A为n阶实对称矩阵，那么有,(1),A,的特征值全是实数；,找到一正交矩阵,C,使得,故标准形应该由矩阵的特征值,决定，且,正交矩阵,C,的,(2),A,的对应不同特征值的特征向量必正交.,证明：,(1)设,向量，那么,两边右乘,X,即,又因,上述两式相减，,对上述等式先取转置，再取共轭，且有,，故结论成立,为实对称阵,A,的特征值，,X,为对应,的特征,故：,(2)设,为实对称阵,A,的两个不同特征值，,X,1,，,X,2,为,对应,的特征向量，那么,又因,故结论成立.,定理：,对,n,阶实对称矩阵,A,，必存在正交矩阵,C,，,使,证明：利用数学归纳法+标准正交向量组的性质,详见,课本179-180,证明过程。,注：,实对称阵一定有,n,个,标准正交的特征向量,。,上述定理的等价描述：,定理主轴定理：实二次型,必可由正交,变换,化为标准形，即,其中，,为A的特征值.,基于上述结果，可归纳正交变换法化二次型为标准形,的过程如下：,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解 1二次型的矩阵为,例1、,求,一个正交变换,X=PY,，把二次型,的特征值：,求,由,A,2),E,A,0,=,-,l,0,),1,)(,3,(,),1,(,),3,2,(,),1,(,2,2,2,=,-,+,-,=,-,+,-,=,l,l,l,l,l,l,得,A,的特征值,3）当,时，特征向量为,对其单位化,当,时，特征向量为,4利用Schmidt正交化过程对上述向量正交化、单位化,故正交矩阵,且满足,5作正交变换X=CY,原二次型化为标准形,例2、,若二次型,可通过正交变换,X,=,CY,化二次型为标准形,求参数,及所作的正交变换.,解：,二次型的矩阵,又因标准形为,故A的特征值为,利用性质：,所以A的特征值为,两两相互正交，单位化得,令正交矩阵,C,当,的基础解系,时，,当,的基础解系,时，,当,的基础解系,时，,那么正交变换为X=CY,