单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九节函数模型及其应用,1.,几种常见的函数模型,2.,三种增长型函数模型的图象与性质,教材研读,考点一,一次函数与二次函数模型,考点二 指数函数、对数函数模型,考点三,分段函数模型,考点突破,函数模型,函数解析式,一次函数模型,f,(,x,)=,ax,+,b,(,a,、,b,为常数,a,0),反比例函数模型,f,(,x,)=(,k,为常数且,k,0),二次函数模型,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,b,c,为常数,a,0),指数函数模型,f,(,x,)=,ba,x,+,c,(,a,b,c,为常数,b,0,a,0且,a,1),对数函数模型,f,(,x,)=,b,log,a,x,+,c,(,a,b,c,为常数,b,0,a,0且,a,1),幂函数模型,f,(,x,)=,ax,n,+,b,(,a,b,为常数,a,0),1.,几种常见的函数模型,教材研读,2.三种增长型函数模型的图象与性质,函数性质,y,=,a,x,(,a,1),y,=log,a,x,(,a,1),y,=,x,(,0),在(0,+,),上的增减性,增函数,增函数,增函数,增长速度,越来越快,越来越慢,相对平稳,图象的变化,随,x,增大逐渐表现为与,y,轴,平行,随,x,增大逐渐表现为与,x,轴,平行,随,值变化而不同,值的比较,存在一个,x,0,当,x,x,0,时,有log,a,x,x,a,x,1.下表是函数值,y,随自变量,x,变化的一组数据,它最可能的函数模型是(,A,),x,4,5,6,7,8,9,10,y,15,17,19,21,23,25,27,A.一次函数模型B.幂函数模型,C.指数函数模型D.对数函数模型,解析,根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数,值的增量是均匀的,故为一次函数模型.,2.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种,细菌由1个繁殖成4 096个需经过,(,C,),A.12小时B.4小时,C.3小时D.2小时,解析,设需经过,t,小时,由题意知2,4,t,=4 096,即16,t,=4 096,解得,t,=3.,3.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%,(相对进货价),则该家具的进货价是,(,D,),A.118元B.105元,C.106元D.108元,解析,设进货价为,a,元,由题意知132,(1-10%)-,a,=10%,a,解得,a,=108,故选D.,4.(2017北京平谷零模,8)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间,内,他的这支股票先经历了5次涨停(每次上涨10%),又经历了5次跌停,(每次下跌10%),则该股民购进的这支股票的盈亏情况(不考虑其他费,用)为,(,B,),A.略有盈利,B.略有亏损,C.没有盈利也没有亏损,D.无法判断盈亏情况,解析,设该股民购进这支股票的价格为,a,元,则(1+10%),5,(1-10%),5,a,=0.99,5,a,0).,(1)写出,y,关于,x,的函数关系式;,(2)求羊群年增长量的最大值;,(3)当羊群的年增长量达到最大值时,求,k,的取值范围.,考点突破,解析,(1)根据题意,由于最大蓄养量为,m,只,实际蓄养量为,x,只,则蓄养率,为,故空闲率为1-,由此可得,y,=,kx,(0,x,m,).,(2)对原二次函数配方,得,y,=-,(,x,2,-,mx,)=-,+,.,故当,x,=,时,y,取得最大值,.,(3)由题意知,为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长,量的和小于最大蓄养量,所以0,x,+,y,m,.,因为当,x,=,时,y,max,=,所以0,+,m,解得-2,k,0,所以0,k,4 000时,纳税额=,x,(1-20%),(1-30%),20%=280,解得,x,=2 500(舍去).,综上,x,=2 800.,故这个人应得稿费(扣税前)为2 800元.,典例2,(1)某食品的保鲜时间,y,(单位:小时)与储藏温度,x,(单位:)满足,函数关系,y,=e,kx,+,b,(e=2.718,为自然对数的底数,k,b,为常数).若该食品在0,的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33,的保鲜时间是,(),A.16小时,B.20小时,C.24小时,D.28小时,考点二指数函数、对数函数模型,(2)(2016北京西城期末)某食品的保鲜时间,t,(单位:小时)与储藏温度,x,(恒,温,单位:)满足函数关系,t,=,且该食品在4 的保鲜时间是16,小时.,该食品在8 的保鲜时间是,小时;,已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的,室外温度随时间变化如图所示,那么到了此日13时,甲所购买的食品是,否过了保鲜时间,.(填“是”或“否”),答案,(1)C(2)4是,解析,(1)由已知得192=e,b,48=e,22,k,+,b,=e,22,k,e,b,将代入得e,22,k,=,则e,11,k,=,当,x,=33时,y,=e,33,k,+,b,=e,33,k,e,b,=,192=24,所以该食品在33 的保鲜时间是,24小时.故选C.,(2)食品在4 的保鲜时间是16小时,2,4,k,+6,=16,解得,k,=-,.,t,(8)=2,-4+6,=4.,由题图可知在12时时,温度为12,此时该食品的保鲜时间为2,-6+6,=2,0,=,1小时.,到13时,该食品已过保鲜时间.,方法技巧,一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考,虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化,指数函,数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.,2-1,里氏震级,M,的计算公式为,M,=lg,A,-lg,A,0,其中,A,是测震仪记录的地震,曲线的最大振幅,A,0,是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震,仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的,震级为,级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的,倍.,答案,6;10 000,解析,由题意知,A,=1 000=10,3,A,0,=0.001=10,-3,则,M,=lg 10,3,-lg 10,-3,=3-(-3)=6.,设9级地震,5级地震的最大振幅分别为,A,9,A,5,则lg,A,9,-9=lg,A,5,-5,得lg,A,9,-lg,A,5,=4,即lg,=4,=10 000.,2-2,(2018北京东城二模,14)某种物质在时刻,t,(min)的浓度,M,(mg/L)与,t,的函数关系为,M,(,t,)=,ar,t,+24(,a,r,为常数).在,t,=0 min和,t,=1 min时,测得该物,质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L,那么在,t,=4 min时,该物质的浓度为,mg/L;若该物质的浓度小于24.001 mg/L,则最小的整数,t,的值为,.,(参考数据:lg 2,0.301 0),解析,t,=0时,M,=124,即,a,+24=124,解得,a,=100;,t,=1时,M,=64,即,ar,+24=64,r,=,即,M,(,t,)=100,+24,将,t,=4代入得,M,(4)=26.56.,由题意得100,+2424.001,即100,0.001,即,10,-5,答案,26.56;13,两边同时取以10为底的对数得,t,lg,-5,t,(lg 2-lg 5)-5,t,lg 2-(1-lg 2)-5,t,(2lg 2-1),t,min,=13.,解题思路,先由已知条件求出,M,(,t,)=,ar,t,+24的解析式,易得第一个空的答,案,第二个空的难度主要是解对数不等式.解不等式时要注意lg,0,否则,非常容易出错.,典例3,某医药研究所研发的一种新药,成年人按规定的剂量服用后,据,监测,服药后每毫升血液中的含药量,y,(单位:微克)与时间,t,(单位:小时)之,间近似满足如图所示的曲线.,考点三分段函数模型,(1),写出第一次服药后,y,与,t,之间的函数关系式,;,(2),据进一步测定,:,每毫升血液中含药量不少于,1,微克时,治疗有效,.,问,:,服药多少小时后开始有治疗效果,?,治疗效果能持续多少小时,?(,结果精确到,0.1,参考数据,:lg 20.301),解析,(1)根据题中图象知,当0,t,1时,y,=4,t,;,当,t,1时,y,=,a,0.8,t,由,t,=1时,y,=4得4=,a,0.8,所以,a,=5,即,y,=5,0.8,t,.,因此,y,=,(2)根据题意,由4,t,1(0,t,1),得0.25,t,1,由5,0.8,t,1(,t,1),得0.8,t,0.2,所以1,t,=,=,7.21.所以0.25,t,7.21,又7.21-0.25=6.96,7.0,所以服药0.25小时(即15分钟)后开始有治疗效果,治疗效果能持续7.0小时.,1.很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需,要构建分段函数模型,如出租车的收费与路程的关系.,2.求函数最值常利用基本不等式、导数、函数的单调性等.在求分段函,数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.,方法技巧,3-1,国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数大于30,则给予优惠:每多1人,机票每,张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空,公司包机费15 000元.,(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;,(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?,解析,(1)设旅行团人数为,x,由题意得0,x,75(,x,N,*,),飞机票价格为,y,元,则,y,=,(,x,N,*,),即,y,=,(,x,N,*,).,(2)设旅行社获利,S,元,则,S,=,(,x,N,*,),即,S,=,(,x,N,*,).,因为,S,=900,x,-15 000在区间(0,30上为增函数,所以当,x,=30时,S,取最大值,12 000元,又,S,=-10(,x,-60),2,+21 000的定义域为(30,75,所以当,x,=60时,S,取得最大值21 000元.,故当,x,=60时,旅行社可获得最大利润.,