-,*,-,*,-,*,-,-,*,-,-,*,-,-,*,-,-,*,-,-,*,-,-,*,-,-,*,-,-,1,-,第一节 定积分在几何上的应用,微元法,平面图形的面积,立体的体积,平面曲线的弧长,2024/11/16,-1-第一节 定积分在几何上的应用微元法2023/,-,2,-,一 微元法,回顾曲边梯形求面积的问题与变速直线运动的路,程问题，,当所求量,具有下列三个特点,有关的量；,（,1,）,是与一个变量,的变化区间,（,2,）,对于区间,具有可加性，,而,（,3,）可以“以匀代不匀”求部分量,的近似值,个小区间,即如果用分点,把区间,分成,相应地分成,则,个部分量,2024/11/16,-2-一 微元法回顾曲边梯形求面积的问题与变速直线,-,3,-,其中,于是,得,这里,含义是,是较,高阶无穷小,.,即,是,的,线性主部,.,一般地,如果某个实际问题具有上述的三个特点,在利用定积分求解时,可以按下述的步骤求解,:,2024/11/16,-3-其中于是得 这里含义是是较高阶无穷小.即是,-,4,-,这个方法通常叫做,微元法,或,元素法,2024/11/16,-4-这个方法通常叫做微元法或元素法2023/10/4,-,5,-,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；,功；水压力；引力和平均值等,2024/11/16,-5-应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长,-,6,-,二 平面图形的面积,1,直角坐标系平面图形的面积,S,S,2024/11/16,-6-二 平面图形的面积1 直角坐标系平面图形的面积,-,7,-,设,上连续函数,满足,则由曲线,与,所围的平面图形的面积,为,2.,2024/11/16,-7-设上连续函数满足则由曲线与所围的平面图形的面积为2,-,8,-,事实上,(1),平面图形介于,直线,之间,因此选取,作为积分,变量,作为积分,区间,;,(2),在,上任取一个区间,相应于该小,区间的平面图形可以近似看成以,为高,为底长的长方形,所以得面积的微元素,2024/11/16,-8-事实上(1)平面图形介于直线之间,因此选取作为,-,9,-,(3),以,作为定积分的被积表示式,在,作定积分得,同理由,上连续曲线,与直线,所谓的平面,图形的面积,为,2024/11/16,-9-(3)以作为定积分的被积表示式,在作定积分得同,-,10,-,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,或选,为积分变量,2024/11/16,-10-解两曲线的交点面积元素选 为积分变量或选为积分,-,11,-,例,2,求由曲线,所围的平面图形的,面积,解法,I,解方程组,得两曲线的交点为,该图形可以看成是由,围成的平面,图形与,所围成的平面图形两个,部分构成的,因此取,为积分变量,积分区间分别为,得,2024/11/16,-11-例2求由曲线所围的平面图形的面积解法I解方程组,-,12,-,解法,II,取,为积分变量,积分区间为,则,2024/11/16,-12-解法II取为积分变量,积分区间为则2023/10,-,13,-,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,2024/11/16,-13-解两曲线的交点选 为积分变量于是所求面积202,-,14,-,例,4,在曲线,上求一点,P,，使得,直线,所围成,该点的切线与曲线,的平面图形的面积最小。,解,则切线方程为,因此,设切点为,2024/11/16,-14-例4 在曲线上求一点P，使得直线所围成该点,-,15,-,因此当,时，面积最小。,所求点为,2024/11/16,-15-因此当时，面积最小。所求点为2023/10/4,-,16,-,3.,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,2024/11/16,-16-3.如果曲边梯形的曲边为参数方程,-,17,-,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于,4,倍第一象限部分面积,2024/11/16,-17-解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限,-,18,-,2,极坐标系下平面图形的面积,设由曲线,及射线,围成一曲边扇形，,求其面积，,这里,在,上连续,.,选积分变量,积分区间,在区间,上任取一小区间,相应,地得到一小的曲边扇形,它可以用半径为,中心角,为,的扇形近似代替,因此,2024/11/16,-18-2 极坐标系下平面图形的面积设由曲线及射线围成,-,19,-,同理,由连续曲线,及射线,所围的平面图形的面积为,2024/11/16,-19-同理,由连续曲线及射线所围的平面图形的面积为20,-,20,-,解,利用对称性知,2024/11/16,-20-解利用对称性知2023/10/4,1.,什么是传统机械按键设计？,传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动,PCBA,上的开关按键来实现功能的一种设计方式。,传统机械按键设计要点：,1.,合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。,2.,开关按键和塑胶按键设计间隙建议留,0.050.1mm,，以防按键死键。,3.,要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防按键手感不良。,传统机械按键结构层图：,按键,开关键,PCBA,1.什么是传统机械按键设计？传统的机械按键设计是需要手动按压,-,22,-,解,由对称性知总面积,=4,倍第一象限部分面积,2024/11/16,-22-解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积2023,-,23,-,例,8,求由曲线,所围成的平,面图形,(,如图所示阴影部分,),的面积,.,解,解方程组,得,取积分变量,积分区间,因此,2024/11/16,-23-例8 求由曲线所围成的平面图形(如图所示阴,-,24,-,三 立体的体积,1,已知平行截面面积的立体的体积,设空间某立体是由一曲面和过,且垂直于,轴,的两平面围成,如果已知该立体上且垂直于,个截面面积,轴的各,求此立体体积,.,其中,为区,间,上连续函数,.,取,为积分变量，,为积分区间，,在,任取,一小区间,可以近似地看,成以,为底，,为高的柱体，,截下的物体,相应,所以,2024/11/16,-24-三 立体的体积1 已知平行截面面积的立,-,25,-,设空间某立体是由一曲面和过,且垂直于,轴,的两平面围成,如果已知该立体上且垂直于,个截面面积,轴的各,求此立体体积,.,其中,为区,间,上连续函数,.,取,为积分变量，,为积分区间，,在,任取,一小区间,可以近似地看,成以,为底，,为高的柱体，,截下的物体,相应,所以,2024/11/16,-25-设空间某立体是由一曲面和过且垂直于轴的两平面围成,-,26,-,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,2024/11/16,-26-解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积2023,-,27,-,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,2024/11/16,-27-解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积2023,-,28,-,2,旋转体体积,设空间物体是由连续曲线,与直线,及,轴围成的平,面图形绕,轴旋转一周而得,的,求此物体的体积,.,取,为积分变量,为积分区间,在,上任取,一点,相应物体的截面是以,为半径的圆,因此其,面积为,所以所求的物体体积为,2024/11/16,-28-2 旋转体体积设空间物体是由连续曲线与直线及轴,-,29,-,同理,空间物体是由连续曲,线,与直,及,轴围成的平,面图形绕,轴旋转一周而得,的,线,此物体的体积为,2024/11/16,-29-同理,空间物体是由连续曲线与直及轴围成的平面图形,-,30,-,例,11,求由曲线,直线,及,轴所围平,面图形绕,轴旋转一周所得立体的体积,.,解,绕,轴旋转,取,为积分变量,为积分,区间,则,绕,轴旋转,取,为积分变量,0,2,为积分区间,相应的截面面积为,因此,对,上任一,2024/11/16,-30-例11求由曲线直线及轴所围平面图形绕轴旋转一周所,-,31,-,例,12,求由曲线,及,在点,处的切线和,平面图形绕,立体的体积,.,解,在点,处切线方程,为,轴围成的,轴旋转一周所得,2024/11/16,-31-例12求由曲线及在点处的切线和平面图形绕立体的体,-,32,-,解,由对称性得旋转体的体积,的参数方程为,2024/11/16,-32-解由对称性得旋转体的体积的参数方程为2023/1,-,33,-,例,14,求由连续曲线,直线,及,轴所围的曲边梯形,绕,轴旋转一周所得立,体体积,.,解,取,为积分变量,为积分区间,在,上,任取小区间,相应的曲边梯形可以近似地看,成底长为,高为,的矩形,其绕,轴旋转一周,所得的旋转体体积为,所以,2024/11/16,-33-例14求由连续曲线直线及轴所围的曲边梯形绕轴旋转,-,34,-,四 平面曲线弧长,2024/11/16,-34-四 平面曲线弧长2023/10/4,-,35,-,1,直角坐标表示的平面曲线的弧长,设曲线弧为,其中,在,上有一阶连续导数,取积分,变量为,在,上任取小,区间,以对应小切,线段的长代替小弧段的长度,.,小切线段的长为,弧长元素,弧长,2024/11/16,-35-1 直角坐标表示的平面曲线的弧长,-,36,-,解,所求弧长为,例,16,解求曲线,的全长,.,解,定义域为,2024/11/16,-36-解所求弧长为例16解求曲线的全长.解定义域为20,-,37,-,2,参数方程所表示的平面曲线的弧长,设曲线弧的参数方程为,其中,在,上具有连续导数,且,则,所以,2024/11/16,-37-2 参数方程所表示的平面曲线的弧长设曲线弧的参,-,38,-,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,2024/11/16,-38-解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长,-,39,-,3,极坐标方程表示的平面曲线的弧长,设曲线弧为,其中,在,上具有连续导数,.,弧长,2024/11/16,-39-3 极坐标方程表示的平面曲线的弧长,-,40,-,解,2024/11/16,-40-解2023/10/4,