,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,光滑离散函数导数,在过程评价中的应用,课件制作,:,华东师范大学附属东昌中学 费宗翔,资料来源,:,教育过程系统测评方法与实践,一、信息,对信息有不同的定义：,“,消息就是信息,”,，或,“,有用消息就是信息,”,等。华东师大,信息科技,教材定义为,“,信息指数据、消息中包含的意义,”,。本书定义：没有差异就没有世界，,差异就是信息,。,二、信息是有密度的,电子数字计算机中的信息，都以离散脉冲表示。教育教学评价中，也碰到大量离散数据。数据表达了某种实际意义，例如身高、体重、成绩、人数差异，因此是信息。,信息密度定义,定义：设 为信息密度尺度，简称为信息密度，记,映射,测度,则信息密度,二、信息是有密度的,将黑点看成一个个数据,信息密度低,信息密度高,二、信息是有密度的,有离散序列,若取其中：,n,个数,则信息密度,故当离散序列中的数据全部用上时，信息密度最大。,5,个数,2,个数,连续函数有导数、微分和微分方程。近,20,年来，离散函数在导数、微分和微分方程建模上的成功突破，大大提高了实用数学模型的精度（有的高达,99%,以上）。,三、离散数据的导数,1,连续函数的导数,一元函数,y=,x(t,),的导数一般形式定义为,定义：当函数在一点的左极限等于右极限并等于该点的函数值时，函数在该点连续。,这是函数 的图像，该函数在点,p,处连续可导。,p,2,光滑离散函数的导数,当,k,足够大时，,k,时刻的函数值,x(k,),小于,k,时刻以前所有（离散）函数值之和，即,时，称,x(k,),为光滑离散函数。,定义：光滑离散函数的导数定义为,3,比较光滑离散函数和连续函数的导数,光滑离散函数的导数为,一元函数,y=,x(t,),的导数为,离散函数信息密度,足够大时：,t=1,由光滑离散函数导数的定义知，导数是,x(k,),和,x(k-1),的二元组合，并称之为导数偶对，记为（,x(k,),，,x(k-1),）。光滑离散函数的导数，是偶对导数的映射,4,光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,k,不同，偶对就不同，导数,dx/dt,也不同。事实上，每一个,dx/dt,都是在一定的背景值,(k,),下得到的，故称,(k,),为,k,时刻导数,dx/dt,的背景值。,4,光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,4,光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,连续函数导数是在,t 0,条件下定义的。当,t,足够小时，导数偶对,x(t,),和,x(t-,t,),几乎重合。,背景值,(t,),到偶对,x(t,),和,x(t-1),具有,平射性,。,t 0,时,(t,)=,x(t,)=x(t-1),连续函数,光滑离散函数的导数，尽管时间间隔,t,足够小，甚至也可以写成,t,0,，但是时区测度,mx(k,),，,x(k-1)=1,的性质却始终没变，对应的背景值,(k,),，应该取,x(k,),和,x(k-1),中的哪一个，也始终存在，并成了问题的关键。,4,光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,定理：当以偶对（,x(t,),，,x(t-1),）的,均值生成,z1(k),为背景值,(k,),时，,(k,),到偶对（,x(t,),，,x(t-1),）具有,平射性,。,三、过程评价中的应用,过程评价：根据学生在学习过程中记录下的一系列数据，对学生的学习效果和成绩给予评定。即，根据已知数据，推测出整体发展情况和最终结果。,例如：下图中，红点表示某一学生在学习过程中的一些已记录数据。,数据较少，信息密度较低，构不成光滑离散函数，较难推测出学生的学习情况。,数据多，信息密度高，构成光滑离散函数，能比较准确的掌握学生的学习情况。,三、过程评价中的应用,我们知道，连续函数的导数的几何意义是在函数图像上某点的斜率,(k),。,k0,是减函数，,f(x+,x,)0,是增函数，,f(x+,x,),f(x,),，学生成绩处于上升阶段；,k0,时，若,k,值不断增加，学生成绩突飞猛进。,k0,时，若,k,值不断减小，成绩迅速下滑。,三、过程评价中的应用,在光滑离散函数中，如何选取一点测斜率呢？,根据前面介绍的,平射行,原理，选取偶对（,x(t,),，,x(t-1),）的均值生成,z1(k),为背景值,(k,),，并从该点测斜率，可得出准确的发展情况。,谢谢！,