,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十一章 曲线回归,第一节 曲线的类型与特点,第二节 曲线方程的配置,第三节 多项式回归,曲线回归,(,curvilinear regression,),或非线性回归,(,non-linear regression,),：两个变数间呈现曲线关系的回归。,曲线回归分析或非线性回归分析,：以最小二乘法分析曲线关系资料在数量变化上的特征和规律的方法。,曲线回归分析方法的主要内容有：,确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规律；,估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数，如回归参数、极大值、极小值和渐近值等；,为生产预测或试验控制进行内插，或在论据充足时作出理论上的外推。,第一节 曲线的类型与特点,一、指数函数曲线,二、对数函数曲线,三、幂函数曲线,四、双曲函数曲线,五、,S,型曲线,一、指数函数曲线,指数函数方程有两种形式：,图,11.1,方程 的图象,二、对数函数曲线,对数函数方程的一般表达式为：,图,11.2,方程,=,a,+,b,ln,x,的图象,三、幂函数曲线,幂函数曲线指,y,是,x,某次幂的函数曲线，其方程为：,图,11.3,方程 的图象,四、双曲函数曲线,双曲函数因其属于变形双曲线而得名，其曲线方程一般有以下,3,种形式：,图,11.4,方程 的图象,五、,S,型曲线,S,型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故又称生长曲线。,Logistic,曲线方程为：,第二节 曲线方程的配置,一、曲线回归分析的一般程序,二、指数曲线方程 的配置,三、幂函数曲线方程的配置,四、,Logistic,曲线方程的配置,一、曲线回归分析的一般程序,曲线方程配置,(,curve fitting,),：,是指对两个变数资料进行曲线回归分析，获得一个显著的曲线方程的过程。,由试验数据配置曲线回归方程，一般包括以下,3,个基本步骤：,1,根据变数,X,与,Y,之间的确切关系，选择适当的曲线类型。,2,对选定的曲线类型，在线性化后按最小二乘法原理配置直线回归方程，并作显著性测验。,3,将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程，并对有关统计参数作出推断。,表,11.1,常用曲线回归方程的直线化方法,应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下,3,点：,(1),若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置，需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和 最小的当选。,(2),若转换无法找出显著的直线化方程，可采用多项式逼近，,(3),当一些方程无法进行直线化转换，可采用最小二乘法拟合。,二、指数曲线方程 的配置,(111),两边取对数,：,(112),令,，,可得直线回归方程,：,(113),若,与,x,的线性相关系数,：,(114),显著，就可进一步计算回归统计数：,(115),三、幂函数曲线方程 的配置,(116),当,y,和,x,都大于,0,时可线性化为,：,(117),若令,，,即有线性回归方程,：,(118),若,线性相关系数：,(119),显著，回归统计数：,(1110),四、,Logistic,曲线方程的配置,（,a,、,b,、,k,均,0,）,(1111),K,可由两种方法估计：,如果,y,是累积频率，则显然,k,=,100,%,；,如果,y,是生长量或繁殖量，则可取,3,对观察值 （,x,1,，,y,1,）、（,x,2,，,y,2,）、和（,x,3,，,y,3,），代入,(11,11),得：,若令 ，解得：,移项，取自然对数得：,(1113),(1112),令,，,可得直线回归方程,：,(1114),和,x,的相关系数,：,(1115),回归统计数,a,和,b,由下式估计：,(1116),第三节 多项式回归,一、多项式回归方程,二、多项式回归的假设测验,一、多项式回归方程,(,一,),多项式回归方程式,多项式回归,(,polynomial regression,),：当两个变数间的曲线关系很难确定时，可以使用多项式去逼近。,二次多项式，其方程为：,(1117),三次多项式的方程式为：,(1118),多项式方程的一般形式为：,(1119),(,二,),多项式方程次数的初步确定,多项式回归方程取的次数：散点所表现的曲线趋势的峰数谷数。若散点波动较大或峰谷两侧不对称，可再高一次。,(,三,),多项式回归统计数的计算,可采用类似于多元线性回归的方法求解多项式回归的统计数。,令 ，,，,(1119),可化为：,(1120),可采用矩阵方法求解。即由,和,求得,、,和,(),-1,，,并由,b,=,(),-1,(),获得相应的多项式回归统计数,。,(,四,),多项式回归方程的估计标准误,y,的总平方和,SS,y,可分解为回归和离回归两部分：,SS,y,=,U,k,+,Q,k,(1121),k,次多项式的离回归标准误可定义为：,即是多项式回归方程的估计标准误。,(11,22),(1123),二、多项式回归的假设测验,多项式回归的,假设测验包括三项内容,：,总的多项式回归关系是否成立？,能否以,k,-1,次多项式代替,k,次多项式，即是否有必要配到,k,次式？,在一个,k,次多项式中，,X,的一次分量项、二次分量项、,、,k,-1,次分量项能否被略去,(,相应的自由度和平方和并入误差,),？,(,一,),多项式回归关系的假设测验,多项式回归,(,U,k,),由,X,的各次分量项的不同所引起，具有：。,离回归,(,Q,k,),：与,X,的不同无，具有 。,可测验多项式回归关系的真实性。,(1124),相关指数,：,，,k,次多项式的回归平方,和占,Y,总平方和的比率的平方根值，可用来表示,Y,与,X,的多项式的相关密切程度。,决定系数：在,Y,的总变异中，可由,X,的,k,次多项式说明的部分所占的比率。,(1125),(,二,),k,次多项式必要性的假设测验,若,k,次多项式的,k,次项不显著，可由（,k,-,1,）次方程描述,Y,与,X,的曲线关系。,有必要测验多项式增加一次所用去的,1,个自由度，对于离回归平方和的减少,(,或回归平方和的增加,),是否,“,合算,”,。因此由：,(1127),可测验,k,次多项式的适合性。,(,三,),各次分量项的假设测验,偏回归平方和：,(1128),此 具有 ，故由：,可测验,i,次分量是否显著。,(1129),