,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,18.2.3,正方形,第十八章 平行四边形,第,1,课时 正方形的性质,18.2.3 正方形第十八章 平行四边形第1课时,学习目标,1.理解正方形的概念,.,2.,探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、,矩形、菱形之间的联系和区别,.(,重点、难点,),3,.会应用正方形,的性质解决相关,证明及计算,问题,.,（难点）,学习目标1.理解正方形的概念.,导入新课,观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，,在,生活中无处不在,.,情景引入,你还能举出其他的例子吗？,导入新课观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无,讲授新课,矩 形,问题,1,：,矩形怎样变化后就成了正方形呢,?,你有什么,发现？,问题引入,正方形的性质,正方形,讲授新课 矩 形问题1：,问题,2,菱形怎样变化后就成了正方形呢,?,你有什么,发现？,正方形,问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么正方形,邻边相等,矩形,正方形,菱 形,一个角是直角,正方形,正方形定义：,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形,.,归纳总结,邻边相等矩形正方形 菱 形一个角是直角正,已知：如图,四边形,ABCD,是正方形,.,求证：正方形,ABCD,四边相等,四个角都是直角,.,A,B,C,D,证明：四边形,ABCD,是正方形,.,A,=90,AB,=,AC,（正方形的定义）,.,又正方形是平行四边形,.,正方形是矩形（矩形的定义）,正方形是菱形,(,菱形的定义,).,A,=,B,=,C,=,D,=90,AB=BC,=,CD,=,AD,.,证一证,已知：如图,四边形ABCD是正方形.ABCD证明：四边形A,已知：如图,四边形,ABCD,是正方形,.,对角线,AC,、,BD,相交于点,O,.,求证,：,AO,=,BO,=,CO,=,DO,AC,BD,.,A,B,C,D,O,证明：正方形,ABCD,是矩形,AO,=,BO,=,CO,=,DO,.,正方形,ABCD,是菱形,.,AC,BD,.,已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点,思考,请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考,.,正方形是不是轴对称图形,?,如果是,那么对称轴有几条,?,对称性：,.,对称轴：,.,轴对称图形,4,条,A,B,C,D,思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考,矩形,菱形,正,方,形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形,.,所以矩形、菱形有的性质,正方形都有,.,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：,性质：,1.,正方形的四个角都是直角,四条边相等,.,2.,正方形的对角线相等且互相垂直平分,.,归纳总结,矩形菱形正平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是,例,1,求证,:,正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形,.,A,D,C,B,O,已知,:,如图,四边形,ABCD,是正方形,对角线,AC,、,BD,相,交于点,O,.,求证,:,ABO,、,BCO,、,CDO,、,DAO,是全等的,等腰直角三角形,.,证明,:,四边形,ABCD,是正方形,AC,=,BD,AC,BD,AO,=,BO,=,CO,=,DO,.,ABO,、,BCO,、,CDO,、,DAO,都,是等腰直角三角形,并且,ABO,BCO,CDO,DAO,.,典例精析,例1 求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全,例,2,如图，在正方形,ABCD,中，,BEC,是等边三角形，,求证：,EAD,EDA,15,.,证明：,BEC,是等边三角形，,BE,=,CE,=,BC,EBC,=,ECB,=60,，,四边形,ABCD,是正方形，,AB,=,BC,=,CD,ABC,=,DCB,=90,，,AB,=,BE,=,CE,=,CD,ABE,=,DCE,=30,，,ABE,，,DCE,是等腰三角形，,BAE,=,BEA,=,CDE,=,CED,=75,，,EAD,=,EDA,=90,-75,=15,.,例2 如图，在正方形ABCD中，BEC是等边三角形，,【变式题,1,】,四边形,ABCD,是正方形，以正方形,ABCD,的一边作等边,ADE,，求,BEC,的大小,解：当等边,ADE,在正方形,ABCD,外部时，如图,，,AB,AE,，,BAE,90,60,150.,AEB,15.,同理可得,DEC,15.,BEC,60,15,15,30,；,【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作,当等边,ADE,在正方形,ABCD,内部时，如图,，,AB,AE,，,BAE,90,60,30,，,AEB,75.,同理可得,DEC,75.,BEC,360,75,75,60,150.,综上所述，,BEC,的大小为,30,或,150.,易错提醒：因为等边,ADE,与正方形,ABCD,有一条公共边，所以边相等本题分两种情况：等边,ADE,在正方形的外部或在正方形的内部,当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图，易错提醒：因为,【变式题,2,】,如图，在正方形,ABCD,内有一点,P,满足,AP,=,AB,，,PB,=,PC,，连接,AC,、,PD,（1）求证：,APB,DPC,；,解：四边形,ABCD,是正方形，,ABC,=,DCB,=90,PB,=,PC,，,PBC,=,PCB,ABC,-,PBC,=,DCB,-,PCB,，,即,ABP,=,DCP,又,AB,=,DC,，,PB,=,PC,，,APB,DPC,【变式题2】如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,证明：四边形,ABCD,是正方形，,BAC,=,DAC,=45,APB,DPC,，,AP,=,DP,又,AP,=,AB,=,AD,，,DP,=,AP,=,AD,APD,是等边三角形,DAP,=60,PAC,=,DAP,-,DAC,=15,BAP,=,BAC,-,PAC,=30,BAP,=2,PAC,（2）,求证：,BAP,=2,PAC,证明：四边形ABCD是正方形，（2）求证：BAP=2P,例,3,如图，在正方形,ABCD,中，,P,为,BD,上一点，,PEBC,于,E,，,PF,DC,于,F,.,试说明：,AP,=,EF,.,A,B,C,D,P,E,F,解,:,连接,PC,，,AC,.,又,PE,BC,，,PF,DC,四边形,ABCD,是正方形,FCE,=90,AC,垂直平分,BD,四边形,PECF,是矩形,PC,=,EF,.,AP,=,PC,.,AP,=,EF,.,在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明,.,归纳,例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PEB,1.,正方形具有而矩形不一定具有的性质是,(),A.,四个角相等,B.,对角线互相垂直平分,C.,对角互补,D.,对角线相等,2.,正方形具有而菱形不一定具有的性质（）,A.,四条边相等,B.,对角线互相垂直平分,C.,对角线平分一组对角,D.,对角线相等,B,D,练一练,1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 (,3.,如图，四边形,ABCD,是正方形，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,，,AO,2,，求正方形的周长与面积,解：,四边形,ABCD,是正方形，,AC,BD,，,OA,OD,2.,在,Rt,AOD,中，由勾股定理，得,正方形的周长为,4,AD,，,面积为,AD,2,8.,3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O,2.,一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是,（）,A,.,2cm,2,B,.,4cm,2,C,.,6cm,2,D,.,8cm,2,A,1.,平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）,A对角线互相平分,B对角线互相垂直,C对角线相等,D对角线互相垂直且相等,A,当堂练习,2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 A1,3,在正方形,ABC,中,ADB,=,DAC,=,BOC,=,.,4.,在正方形,ABCD,中，,E,是对角线,AC,上一点，且,AE=AB,，则,EBC,的度数是,.,A,D,B,C,O,A,D,B,C,O,E,45,90,22.5,第,3,题图,第,4,题图,45,3在正方形ABC中,ADB=,DA,5.,如图，正方形,ABCD,的边长为,1cm,，,AC,为对角线，,AE,平分,BAC,，,EF,AC,，求,BE,的长,解：,四边形,ABCD,为正方形，,B,90,，,ACB,45,，,AB,BC,1cm.,EF,AC,，,EFA,EFC,90.,又,ECF,45,，,EFC,是等腰直角三角形，,EF,FC,.,BAE,FAE,，,B,EFA,90,，,AE,AE,，,ABE,AFE,，,AB,AF,1cm,，,BE,EF,.,FC,BE,.,在,Rt,ABC,中，,FC,AC,AF,(,1)cm,，,BE,(,1)cm,5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平,6.,如图在正方形,ABCD,中,E,为,CD,上一点，,F,为,BC,边延长线上一点,且,CE,=,CF,.,BE,与,DF,之间有怎样的关系？请说明理由,.,解：,BE,=,DF,且,BE,DF,.理由如下：,四边形,ABCD,是正方形.,BC,=,DC,BCE,=90.,DCF,=180,-,BCE,=90.,BCE,=,DCF,.,又,CE,=,CF,.,BCE,DCF,.,BE=DF,.,A,B,D,C,F,E,6.如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长,延长,BE,交,DE,于点,M,BCE,