单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 正弦稳态分析,1正弦波的应用：,2周期性的非正弦沟通信号可分解为一系列的,正弦函数级数(傅立叶级数),3线性电路中，在同一频率的正弦信号鼓励下，,各电压、电流响应也将是该频率的正弦量。,4假设L、C在AC电路中，则L、C的VAR均具有,微(积)分形式，分析时是否也要建立微分方程呢？,5由于正弦量经加、减、微分、积分运算后仍为,同频率正弦量，故利用,“相量法”,，使电路方程变,为相量(复数)代数方程，且可借用DC分析方法。,7-1 正弦电压和电流,t,2,(=,T,),u,(,t,),U,m,0,-,U,m,u,一、正弦量的三个要素,可设：,正弦电压,正弦电流,正弦量可用余弦函数表示，也可用正弦函数表示，,本书用,cos,形式表示,则：,幅值,或,振幅,正弦量的,三个要素,初相位,角频率,1,.角频率,、频率,f,、周期,T,T,正弦量变化一个周期所需的时间。,f,每秒变化的周期数。,单位：赫兹,(Hz),正弦量变化一周期，,正弦,函数变化一周，即 角。,或,单位：,T,秒(s)，ms、,s、ns,f,赫兹(Hz)，kHz、MHz、GHz,rad/s,弧度/秒,t,2,(=,T,),u,(,t,),U,m,0,-,U,m,u,低频(音频)20kHz,中频 几百kHz,高频 几MHz以上,f,例：,我国工频,f,=,50Hz,，,则,2.幅值最大值与有效值,1有效值定义：假设一个周期电流i (不限于正弦),在一个周期 T 内流过某电阻 R 所产生的热量等于,大小为 I 的直流电流在这段时间 T 内流过上述 R,所产生的热量，则I 就定义为 i 的有效值。,即：,故有效值也称为,方均根,(rms)值。,写法规定：,瞬时值,用,小写字母,i,u,u,1,表示。,有效值,用,大写字母,U,、,I,、,U,1,表示,。,最大值(幅值),用,I,m,、,U,m,、,U,1m,表示。,沟通表：其A、V指示的往往为有效值，如：,220V、380V。耐压值往往指最大值。,2正弦量最大值与有效值的关系,如：,则：,同理：,因此，有：,3.初相位与相位差,相位角,，反映正弦波变化的进程，,也叫相角。,如：则,相角变化速度(,角频率,),2),初相位,：,t,=0,时的相位角，也称,初相角。,SI单位：弧度rad,常用单位：度(,DEGREE,),初相位 取决于,初始时刻的选取,，,计时起点不同，则初相不同。,从波形上看：,最大值与原点间的最近距离。,i,i,若最大值在原点右边时，,；,i,i,从波形上看：,最大值与原点间的最近距离。,若最大值在原点右边时，,；,若最大值在原点左边时，,；,通常在 的主值范围内取值。,3),相位差,两同频率正弦量的相角之差。,则,u、i,之间的相位差：,可见：,同频率,正弦量的,初相之差,。,留意：不同频率正弦量不行求相位差。,一些常见的相位关系：,u,（相位）超前于,i,，,i,滞后于,u,u,滞后于,i,，,i,超前于,u,u,、,i,同相,u,、,i,正交,u,、,i,反相,一般 在 主值,范围内取值。,两同频率正弦量的相角之差。,例：,求哪一个超前？多少度？,解：,主值范围：,i,1,滞后,i,2,150，,i,2,超前,i,1,150,又：,问,i,1,、,i,2,的有效值为多少？,补充作业：试计算以下各正弦波的相位差：,1,2,3,作业：练习册 7-1,7-2 相量法 相量图 有效值相量,一,、问题的引出：,例：已知：,求：,解：,引入描述,振幅与初相,这两个要素的“,相量,”：,使三角函数的四则及微分运算变为相量的代数运算；,使描述正弦稳态问题的微分方程变为相量的代数方程。,二复数及其运算,复数的四种表示形式,1).代数形式直角坐标形式,a 称为,A,的实部,b,称为,A,的,虚部,均为实数，复矢量,在实、虚轴上的投影,+1,+,j,O,A,+1,+,j,O,A,2).三角形式,复矢量与实轴的夹角,称为,A,幅角的主值。,则,“复矢量”的长度,称为,A,的模,；,与代数形式的关系,+1,+,j,O,A,3).指数形式,欧拉公式：,4).极坐标形式,复数代数形式与极坐标形式的计算器互换,例1：将-3-,j,4,b,显示“-126.8698”,另一种：3 +/-,a,4 +/-,b,2,ndF,显示“5”,某一种计算器：3 +/-INV RP 4 +/-=显示“5”,X Y 或 显示“-126.8698”,手工方法：,复数的四则运算,1、加、减法,宜用代数形式,例：,+,j,+1,A,B,o,a,1,a,2,b,1,b,2,A+B,a,1,+a,2,b,1,+b,2,A-B,2、乘、除法宜用极坐标形式,例：,+,j,+1,A,B,o,AB,A/B,例：,求,解：原式,例：,求,解：原式,三,旋转因子与旋转向(矢)量,e,j,=1,称为,旋转因子,。,A,1,e,j,=|,A,1,|,1,+,即把,A,1,逆时针旋转,角度。,一些特殊的旋转因子：,j=,e,j,/,2,，,j为90,的旋转因子；,-,1=,e,j,，,-,1为180,的旋转因子；,e,j,t,为按,角速度,逆时针旋转的旋转因子。,复数与旋转因子,e,j,t,的乘积称为,旋转矢量,。,如：,A,1,e,j,t,表示将,A,1,按角速度,逆时针旋转的,旋转矢量。,四利用相量表示正弦沟通量,设,欧拉公式,令：,复指数函数,(,*,),显然，上式的实部恰好是正弦电流,i,(,t,)，,(,*,),即：,(,*,),式中,为取“实部”的运算符。,称为正弦量i(t)的“幅值相量”。最大值相量,复变量旋转矢量的实部。,(,*,),为什么引用相量来表示正弦量呢？,在单一频率正弦电源鼓励的电路中，各局部电压、,电流都是与电源频率一样的正弦量，因而在分析时，常常只需确定振幅或有效值和初相位两个要素。,旋转矢量动画,为什么引用相量来表示正弦量呢？,称为电流振幅相量,振,幅相量正弦量，但有对应关系；,振幅,相量反映了,振幅,与初相位两个要素；,旋转因子,e,j,t,反映另一个要素,。,而复数 的模是正弦电流的,振幅,，幅角是正弦电流,的初相角。,确定时，由 就可以确定一个正弦电流。,将,定义为“,有效值相量,”，简称相量。,O,+1,+,j,+1,+,j,O,a,b,I,解：,或,相量,可用图表示，这种图称为,相量图，如图,所示,例：,已知,求：,、,，,并作相量图。,解：,五、,正弦量运算对应到相量运算,1、一样频率正弦量的加减运算。,设：,求：,例4：f 1000Hz，,求：i(t),解：,可见：,两个同频率正弦量相加仍为同频率的正弦量。,令：,则,上式对任何时刻,t,均成立，,同理 若,结论：正弦量的加减对应为其相量间的加减，,从而简单的三角运算转化为复数的代数运算。,则,例：,求：,解：,推论,：,KCL,：,KVL,：,+,j,+1,O,基尔霍夫定律的相量形式,2正弦量的微分、积分运算,设：,则：,即：,的相量为,类似地：,的相量为,即：,相量的模为原相量的,倍，初相超前于原相量,90，,上式表明：正弦量的一阶导数仍为一个同频率的正弦量，,其相量等于原正弦量的相量乘以,作业：练习册,7-2；7-3；7-4,