单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、单调性,二、奇偶性,三、周期性,四、有界性,第三节 函数的几种特性,一、单调性第三节 函数的几种特性,1,一、单调性,定义1.2,设函数,y=f,(,x,)在数集,X,(,X,可以是,f,(,x,)的定义域也可以是定义域的一部分).如果对于任意的 ,当 时，均有,则称函数,y=f,(,x,)在区间,X,上,单调增加,(或,单调减少,)的.,则称函数,y=f,(,x,)在区间,X,上,严格单调增加,(或,严格单调减少,).,如果对于区间,X,上任意两点 ，当 均有,一、单调性定义1.2 设函数y=f(x)在数集X(X可以,2,严格单调增加,的函数的图形是沿,x,轴正向上升的；,改图P9图1.6,严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的；改图P9图1.,3,严格单调减少,的函数的图形是沿,x,轴正向下降的；,改图P9图1.7,严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；改图P9图1.,4,例如，函数 内是严格单调增加的.,例如，函数,5,函数 内是严格单调减少的，在区间 上是严格单调增加的,而在区间 内则不是单调函数.,函数,6,二、奇偶性,定义1.3,设函数,y=f,(,x,)的定义域,D,是关于原点对称的，即当 时，有 .,则称,f,(,x,)为,偶函数,，偶函数的图形关于,y,轴对称；,如果对于任意的 ，均有,二、奇偶性定义1.3 设函数y=f(x)的定义域D是关于,7,如果对任意的 ,均有,就称函数,f,(,x,)为,奇函数,.奇函数的图形关于坐标原点对称.,如果对任意的 ,均有就称函数f(x)为奇,8,例1,讨论下列函数的奇偶性:,解,是奇函数,当,即不是奇函数,也不是偶函数,例1 讨论下列函数的奇偶性:解是奇函数当即不是奇函数,也不,9,在常见的函数中，sin,x,是奇函数，cos,x,是偶函数.,当,n,为偶数时，函数 是偶函数;,当,n,为奇数时，函数 是奇函数.,在常见的函数中，sin x是奇函数，cos x是偶函数.当n,10,定义1.4,设函数,y=f,(,x,),其定义域为,D,如果存在正常数,T,使得对于定义域内的任何,x,均有,f,(,x+T,)=,f,(,x,),显然，若,T,是周期函数,f,(,x,)的周期，则,kT,也是,f,(,x,)的周期,(,k,=1,2,3 )，通常我们说的周期函数的周期就是指,最小周期,.,三、周期性,成立，则称函数,y=f,(,x,)为,周期函数,，,T,为,f,(,x,)的,周期,.,定义1.4 设函数y=f(x),其定义域为D,如果,11,例如，函数,y,=sin,x,及,y,=cos,x,都是以 为周期的周期函数；,函数,y,=tan,x,及,y,=cot,x,都是以 为周期的周期函数.,例如，函数y=sin x及y=cos x都是以 为周,12,四、有界性,定义1.5,设函数,y=f,(,x,)在数集,X,上有定义,如果存在正数,M,，使得对于任意的 ，都有不等式,成立，则称,f,(,x,)在,X,上有界,，并称,M,为,f,(,x,)在,X,上的一个界.,当函数,y=f,(,x,)在区间,a,b,上有界时，函数,y=f,(,x,)的图形恰好位于直线,y=M,和,y=,之间.,四、有界性定义1.5 设函数y=f(x)在数集X上有定义,13,定义1.6,如果,f,(,x,)在,X,上不是有的界，称,f,(,x,)在,X,上无界.即如果对于任意一个给定的正数,M,总存在 ,使得,如果,M,为,f,(,x,)在,X,上的一个界，易知比,M,大的任何一个正数都是,f,(,x,)的界.,定义1.6 如果f(x)在X上不是有的界，称f(x)在X,14,这里取,=1.,函数,y,=sin,x,的图形位于直线,y,=1与,y,=1之间.,例如，函数,f,(,x,)=sin,x,在 内是有界的.,这是因为对于任意的 ，,都有 成立，,这里取=1.例如，函数f(x)=sinx在 内是有,15,应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的特点，还要注意自变量的变化范围,.,例如，函数 在区间(1,2)内是有界的.,事实上，若取,=1，则对于任何,而 在区间(0,1)内是无界的.,应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的特点，还要注意自变,16,