单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,空白演示,在此输入您的封面副标题,空白演示在此输入您的封面副标题,2020,高中数学竞赛,辅导课件,（联赛版）,基础微积分,2024/11/15,2,2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2023,第二十六讲,常系数非齐次线性方程的 待定系数法,一、,二、欧拉方程,三、常微分方程应用例题,第二十六讲常系数非齐次线性方程的 待定系数法一、二、欧拉方程,2024/11/15,4,观察有,解,写出特征方程,2023/10/24观察有解写出特征方程,2024/11/15,5,2023/10/25,2024/11/15,6,二阶常系数非齐次线性方程的待定系数法,解非齐次方程的关键是求一个解,有哪些方法,?,(2),变动任意常数法,(1),待定系数法,(1),的关键：根据右端,f,(,x,),根据特征根,正确地设出,特解形式,一、,2023/10/26二阶常系数非齐次线性方程的待定系数法 解,2024/11/15,7,(1),n,次多项式的导数是,(,n-,1),次多项式,(2),指数函数的导数仍为指数函数,这种方法适用于,f(x),的几种特殊情况,主要是利用三条法则,2023/10/27(1)n次多项式的导数是 (n-1,2024/11/15,8,考虑方程,2023/10/28考虑方程,2024/11/15,9,不行！,2023/10/29不行！,2024/11/15,10,2023/10/210,2024/11/15,11,(*),式两端都是关于,x,的多项式,欲使两端相等,首先必须使,两端多项式的次数相等,.,2023/10/211(*)式两端都是关于x的多项式,2024/11/15,12,m,次多项式,根据,r,与,特征根的关系,分三种情况,:,2023/10/212m 次多项式 根据r与特征根的关系,2024/11/15,13,2023/10/213,2024/11/15,14,解,特征方程,特征根,2023/10/214解特征方程特征根,2024/11/15,15,代入方程,整理,2023/10/215代入方程整理,2024/11/15,16,比较系数,2023/10/216比较系数,2024/11/15,17,解,特征方程,特征根,2023/10/217解特征方程特征根,2024/11/15,18,2023/10/218,2024/11/15,19,现在讨论下列微分方程,考虑方程,注意到,2023/10/219 现在讨论下列微分方程考虑方程注意到,2024/11/15,20,解法一,设该方程的一个解为,代入方程得到,考虑方程,特征根,2023/10/220解法一设该方程的一个解为代入方程得,2024/11/15,21,比较系数得到,整理得,取,z,的,虚部,得到原方程一个解,2023/10/221比较系数得到整理得取 z 的虚部,得到,2024/11/15,22,解法二,设方程的一个解为,代入方程,比较系数,定出,a,和,b,思考题,1:,思考题,2:,2023/10/222解法二 设方程的一个解为代入方程,2024/11/15,23,2023/10/223,2024/11/15,24,2023/10/224,2024/11/15,25,二、欧拉方程,欧拉方程是一种变系数方程,作变量代换,2023/10/225二、欧拉方程欧拉方程是一种变系数方程作,2024/11/15,26,代入欧拉方程，得,即,常系数二阶线性非齐次,2023/10/226代入欧拉方程，得即常系数二阶线性非齐次,2024/11/15,27,解,代入方程，得,特征方程为,特征根,方程,(1),的通解,原方程的通解,2023/10/227解代入方程，得特征方程为特征根方程,2024/11/15,28,三、常微分方程应用例题,2023/10/228三、常微分方程应用例题,2024/11/15,29,解,2023/10/229解,2024/11/15,30,初值问题,:,特征方程,2023/10/230初值问题:特征方程,2024/11/15,31,通解,不振动,通解,不振动,2023/10/231通解不振动通解不振动,2024/11/15,32,通解,利用初始条件，求出特解,衰减振动,以上均属于自由振动,即无外力！,2023/10/232通解利用初始条件，求出特解衰减振动以上,2024/11/15,33,强迫振动,(,有外力,),记,初值问题,:,2023/10/233强迫振动(有外力)记初值问题:,2024/11/15,34,稳态量,通解,实际问题中，一般阻尼较小,2023/10/234稳态量通解实际问题中，一般阻尼较小,2024/11/15,35,稳态量,(1),稳态量是与外力有相同周期的简谐,震动,.,2023/10/235稳态量(1)稳态量是与外力有相同周,2024/11/15,36,共振频率,共振有利也有弊！,机械结构,建筑结构,无线电通讯,选矿共振筛,2023/10/236共振频率 共振有利也有弊！机械,