单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章 测量误差与平差,8,1,误差与精度,8,2,误差传播定律简介,8,3,算术平均值与加权平均值,平差,削平差异，消除不符,。,由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影响，测量误差总是不可避免的。,为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多余观测。,有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的就在于,消除,这些,矛盾,而,求得,观测量的,最可靠结果,并,评定测量成果的精度,。,测量平差采用的原理是“,最小二乘法,”。,测量平差是德国数学家高斯于,1821,1823,年在汉诺威弧度测量的三角网平差中首次提出并应用的。以后经过许多科学家的不断完善，得到发展，测量平差已成为测绘学中很重要的、内容丰富的基础理论与数据处理技术之一。,测量平差是测绘工程专业的主干课程，一般需要讲授,70,学时以上。,平差分为简易平差和严密平差。,严密平差又分为条件平差和间接平差。,在高程测量一章中水准路线闭合差的计算与分配实际上就是一种简易平差工作（消除高差不符值）。,简易平差的相关内容将结合具体的控制测量计算（如导线计算）加以介绍；对于严密平差方法，有兴趣的同学可自学。,本章主要介绍测量误差的基本知识。目的是了解测量误差产生的原因和评定精度的标准；掌握偶然误差的特性、误差传播定律及其在测量数据处理中的应用方法。,8,1,误差与精度,一、测量误差的概念,误差是指由各种原因引起的,观测值与真实值,，或,真实值与其应有值,之间存在的,差异,。,比如：三角形的内角和为,180,，观测值为,180,0030,；标尺刻划间距的真实值为,0.97cm,，其应有值即理论设计值为,1cm,。,要点：,“要测量就会有误差”，即误差与测量同在。,误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环境的影响。,观测条件与误差的关系。与误差的三个来源相对应的测量仪器、观测者和作业环境叫,观测条件,。观测条件的好坏决定误差的大小。,二,.,误差的类型,测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。,系统误差：在相同的观测条件下作多次观测,（或对某类数据进行同种处理），,如果观测结果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号，则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电测距中的加常数、剩余常数，传统的“五入”等。,偶然误差：在相同的观测条件下作多次观测,（或对同类数据进行同种处理），,如果观测结果包含的误差在大小及符号上均没有表现出一致的倾向，即从表面看没有任何规律性，则这种误差叫偶然误差。比如：水准读数估读、照准偏左或偏右等。,粗差：数值超出了某种规定范围的误差。如读错、记错等。,粗差实际上是一种不太容易发现的错误，严格来讲，粗差不应属于测量误差的范畴。,三,.,偶然误差的特性,系统误差具有倾向的一致性，即单向性、同一性，其影响具有积累性，对测量成果精度的影响很大，必须设法消除或减小，比如施加尺长改正、加常数改正、剩余常数改正、气象改正等。,偶然误差是一种随机性误差，不能直接通过加改正数的方法来消除，在观测结果中总是不可避免地包含偶然误差，因此，偶然误差是测量误差理论的主要研究对象。,偶然误差虽然从表面上看没有规律，但实际上具有统计性规律，即特性。,下面先给出真误差的定义，然后介绍偶然误差的四个特性。,任何一个被观测量，客观上总存在一个能代表其真正大小的数值，称作“真值”。,设某量的真值为,X,，已剔除了系统误差的观测值为,l,，则它们的差值叫做该观测值的真误差，简称误差，用,表示，即：,l,X,真误差,仅指偶然误差。,如果对某量作一系列的观测，得到,n,个观测值,l,i,(,i,=1,2,n,),；则有,n,个真误差,i,(,i,=1,2,n,),与之相对应。这种仅包含偶然误差的真误差具有以下四个特性：,有界性,在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。,（,这个限值不是固定的，与观测条件有关,）,例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了,358,个三角形的全部内角，计算出每个三角形的,和角真误差,（即闭合差，三角之和与,180,之差）,。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后以,d,3,为,误差区间,统计各区间的误差个数,k,，并计算其相对个数（,k/n,，也称作频率，,n,358,）。结果列于下表：,2.,趋向性,绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。,误差分布的趋向性在统计表中十分明显。,误差分布的趋向性在频率直方图中更易看出。,偶然测量误差是随机变量，服从于标准正态分布。,对称性,绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。,同样，误差分布的对称性可从统计表和直方图中得到验证。,4.,抵偿性,偶然误差的算术平均值将随着观测次数的无限增加而趋于零,，即：,在测量平差中，方括号,用来表示求和。,第四个特性是由第三个特性即对称性导出的。,必须指出，偶然误差的以上特性，尤其是后面的三个特性，只有当观测数目较多（一般,n,为,20,以上）时才会比较明显。,精度及其衡量指标,（一）,.,精度的含义,精度是指,一组观测误差分布的密集或离散的程度,。,若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。,据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。,误差分布曲线一,误差分布曲线二,精度是一组观测成果质量高低的标志，它与观测条件的好坏密切相关。,在相同的观测条件,（观测者、仪器和外界环境）,下进行的一组观测，叫做,“,同精度观测,”,。,所有的观测值对应着同一种误差分布，因此，对于组中的每一个观测值,（即使是误差为零或误差很大的观测值），,都称为,“,同（等）精度观测值,”,；反之，则称为,“,非等精度观测,”,。,例如，同一个观测者同一天用同一台仪器对同一个三角形的内角和观测了,10,次，闭合差,w,有,+8,的，有,-2,的，也有为,0,的。,w=0,并不意味着高精度，,w=8,也不表示低精度，所有的观测结果应认为是相同精度的。,只有在不同的观测条件下所作的观测，才可以看作精度不同。,（二）,.,衡量精度的指标,除了用误差分布图表示观测精度之外，还可用简明的数字来作为衡量精度的指标。,精度的高低虽然不能用观测列中的某个误差的大小来判别，但与一组误差绝对值的平均大小有直接联系，所以常用一组误差绝对值的平均大小来作为衡量精度高低的指标。,此处的“,平均大小,”并非简单的算术平均大小，而是指,均方差,。,测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：,中误差,（,在概率统计学中叫标准差,）,在一定的观测条件下，同精度观测列中,各真误差平方的平均值的极限,叫做,中误差,m,的平方,，即：,式中：,开平方后得：,上式是中误差的,极限表达式,。在实际工作中，观测次数不可能为无穷大，所以中误差通常用其,估值表达式,计算：,中误差的大小反映出一组观测值误差的集中与离散的程度。,右图中，,m,1,较小,误差分布比较集中，说明相应的观测值精度较高；,m,2,较大，误差分布比较离散，则观测值精度较低。,数学期望,(,均,),方差,2.,极限误差,极限误差也叫容许误差，即观测中可能出现的最大误差值，用,容,表示。,由偶然误差的有界性知：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就是极限误差。,由概率论知，在误差群中，绝对值大于,2,m,的真误差个数只占误差总个数的,5,，大于,3,m,的个数仅,0.3,。,由此可见，绝对值大于,2,m,或,3,m,的真误差实际上不可能出现。因此一般用两倍或三倍中误差作为偶然误差的极限值，即：,容,2,m,，或,容,3,m,3,.,相对误差,真误差和中误差都是绝对误差。有时，仅用绝对误差还不能完全表达观测精度的高低。,例如，分别丈量了,1000,米和,10,米的两段距离，观测值的中误差均为,0.01,米，虽然从表面上看，两者的观测精度相同，但就“单位长度”而言，两者的精度并不相同,（且实现的难度也不相同），,显然前者的相对精度比后者要高。,为此，通常又采用另一种衡量精度的指标，即“,相对中误差,”，它是中误差（绝对值）与相应的观测值之比，为一“不名数”，无量纲，常用分子为,1,的分式表示：,相对误差仅可用作线量（即长度）观测精度的衡量指标，在角度测量中没有意义。,8,2,误差传播定律简介,在实际工作中经常会遇到这样的情况：某一个量的大小并不是直接测定，而是由一个或一系列的观测量通过一定的函数关系间接计算出来的（比如,EDM,测高）。很显然，观测值误差必然会,“传递”给函数,，使其函数也包含误差。,阐述观测量函数的中误差与观测量本身的中误差之间关系的定律，叫,误差传播定律,。,独立观测值的概念,设,x,、,y,为两个观测值，如果它们之间没有任何联系，并且都是直接观测量，则称它们是“独立观测值”，它们之间是“互相独立”的。比如，三角高程测量中的斜距和垂直角，三角形中的两个内角等。,与此对应，若两个观测值之间存在一定的联系，或包含同一因素，则它们就不是“互相独立”的。如方向观测法中各方向的归零方向值（零方向相同）。,一般函数形式的误差传播定律,：,设有一般函数,:,式中，,x,1,、,x,2,、,x,n,为互相独立的观测值，相应的中误差分别为,m,x,1,、,m,x,2,、,m,xn,；,Z,是各观测值的函数。经推导,(,教材,P150,），函数,Z,的中误差计算式为：,是函数,Z,对各观测值（变量）的偏导数，它们都是观测值的函数，将观测值代入后便都是常数。,例如，,h=,S,sin,，则,1,、和差函数,:,2,、倍乘函数：,函数表达式：,函数中误差为：,函数中误差为：,函数表达式：,上述一般函数形式的误差传播定律可以用于各种函数。,几种常用函数形式的误差传播律,3,、线性函数：,函数表达式：,根据误差传播律有：,求观测值函数中误差的步骤,(1).,列出函数式；,(2).,对函数式求全微分；,(3).,套用误差传播定律，写出函数中误差公式；,(4).,计算各偏导数之值；,(5).,将偏导数值和观测值中误差之值代入公式计算函数的中误差。,例,:,对一个三角形，观测了,A,、,B,两个角：,A=64,21,06,8.0,，,B=,703540,6.0,。,试求第三个角,C,及其中误差。,C=45,o,03,14,10,解：,由题意可得,:,A+B+C=180,于是,：,C=180,A,B=45,03,14,根据误差传播定律，有,:,关于误差传播定律，要求大家一定掌握“一般形式的函数中误差计算式”，它是“,通式,”。,需要指出的是，当函数与观测值的量纲不一致时，应注意量纲的统一。例如,函数,h,=,S,sin,，,h,与,的量纲不同，按误差传播定律求,h,的中误差时，需注意各误差的单位：,关键是角度中误差平方这一项须,除以,2,。,206265,8,3,算术平均值与加权平均值,一、算术平均值及其中误差,1.,算术平均值,设对某未知量进行了,n,次等精度独立观测。,n,个观测值为,：,其算术平均值为：,2.,观测值中误差计算式,设,观测量的真值为,X,，,各观测值的真误差为：,由于真值,X,一般未知，故,i,亦为未知，无法直接采用,8,1,中介绍的估值式求中误差，必须寻找别的途径。,对,n,个真误差计算式求和，然后取平均，有：,于是：,对上式左右两边取极限：,由此可见，当,n,为无穷大时，,n,个观测值的算术平均值趋向于其真值。,当,n,为有限时，算术平均值是一个接近于真值的近似值。,测量中将接近于真值的近似值称为观测量的,最可靠值,或,最或然值,。,为了介绍观测值中误差计算式，有必要引入,“,观测值改正数,”,的概念。,某个观测量的,最或然值与其观测值之差,叫做,观测值的改正数,，用,V,表示。显然，有,n,个观测值就有,n,个改正数。,改正数,V,又叫做“,最或然误差,”。,由上可知，对