单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,第三节 向量的数量积与向量积,第八章 向量代数 空间解析几何,若有一质点在常力,(,大小与方向均不变,),F,的作用下，,则位移 ，,1,.,数量积的定义及其性质,规定两向量,a,b,的正方向之间不超过,180,的夹角为向量,a,与,b,的夹角，,记作,(,a,b,),，,或,(,b,a,).,由点,A,沿直线移动到点,B,，,由,物理学可知，,力,F,所做的功为,F,A,s,B,一、两向量的数量积,定义,1,两向量,a,、,b,的模及其夹角余弦的连乘积,，,称为向量,a,、,b,的,数乘积,或,点积,，,记为,a,b,，,即,由,数量积的定义，,上述作功问题可以表示为,W,=,F,s.,a,b,a,b,(a,),b,a,b,a,(b,),称为向量,a,在向量,b,上的,投影,，,记为,a,b,定义,2,即,类似地,所以，两向量的数量积也可以用投影表示为,交换律,结合律,分配律,由,数量积的定义可知,所以,当,a,、,b,均为,非零向量，,当,a,、,b,中至少有一个是零向量时，,我们规定零向量与任何向量都垂直,.,即,a,与,b,垂直,.,则,cos,(,a,b,)=0.,(,2,),若两个非零向量,a,、,b,互相垂直，,即,a,b,.,即有,a,b,=,0,；,反之，,且,a,b,=0,时，,则,cos,(,a,b,)=0,，,这样，两个向量互相垂直的充要条件是,由,这个结论可得,a,b,=0,.,即,因此，,两向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和,.,利用数量积的运算规律有：,2,.,数量积的坐标计算式,均,为,非零向量，,3,.,两非零向量夹角余弦的坐标表示式,由,两向量的数量积定义可知,:,例,1,已知,a,=,i,+,j,，,b,=,i,+,k,，,求,a,b,及,a,b,.,解,由,公式可得,且与,a,垂直，,因为它在,x y,坐标面上，,向量,a,=,4,i,+3,j,+7,k,垂直,例,3,求,在,x y,坐标面上与,的单位向量,.,解,设,所求的向量为,b,=,x,y,z,.,所以,z,=0.,又,因为,b,是单位向量,所以,即有,解之得,故,所求向量,正是,a,向量分别在,i,，,j,，,k,上的投影，,例,4,求,a,i,a,j,及,a,k,.,解,因为,i,=,1,0,0,j,=,0,1,0，,k,=,0,0,1，,所以,这就是说，向量,a,的坐标,a,i,，,a,j,，,a,k,为简便起见，今后我们常称它们依次是,a,在,x,，,y,，,z,轴上的投影,.,它的正方向由右手法则确定,，,定义,3,设有两向量,a,，,b,，,若向量,c,满足,:,(,2,),c,垂直于,a,，,b,所确定的平面,，,则称向量,c,为,a,与,b,的,向量积,，,记为,a,b,，,即,c,=,a,b,.,因此向量积也称为,叉积,.,二、两向量的向量积,由向量积的定义可知，,a,b,的模等于以,a,、,b,为邻边的平行四边形面积,.,向量积具有下列运算规律：,由向量积的定义可知,:,(,1,),i,j,=,k,，,j,k,=,i,，,k,i,=,j,;,(,2,),两个非零向量,a,，,b,互相平行的充分必要条件是,a,b,=,0,.,c,=,a,b,a,b,所以,sin(,a,b,)=0.,当,a,，,b,中至少有一个为零向量时，,事实上，,若,a,/,b,，,则,(,a,b,)=0,或,，,即有,因此,a,b,=,0,.,当,a,、,b,为非零向量，,反之，,且,a,b,=,0,时，则,sin(,a,b,)=0.,从而断定,(,a,b,)=0,或,，,即,a,/,b,.,我们规定零向量与任何向量平行,.,这样，,两个向量平行的充要条件是这两个向量的向量积为,0,.,由此可知,:,利用向量积的运算规律有：,2,.,向量积的坐标计算式,为了便于记忆，我们借用行列式记号，,将上式表示为：,由于两个向量,a,，,b,平行的充要条件是,a,b,=0,，,因此,，,可将,a,，,b,平行的充要条件表示为,:,当,b,x,，,b,y,，,b,z,全不为零时，有,我们约定相应的分子为零，例如,:,当,b,x,，,b,y,，,b,z,中出现零时，,应理解为,:,由公式得,解,例,5,求以,A,(,2,2,0,),，,B,(,1,0,1,),，,C,(,1,1,2,),为顶点的,ABC,的面积,.,例,6,解,由向量积的定义可知,ABC,的面积,故,ABC,的面积,若,a,b,=,c,，,则,c,同时垂直于,a,和,b,，,例,7,求,同时垂直于向量 和,解,由向量积的定义可知，,因此，与,c,a,b,平行的单位向量应有两个：,和,且,所以,a,=,-,(,b,+,c,),从而,例,8,已知,a,+,b,+,c,=,0,，,求证,证明,因为,a,+,b,+,c,=,0,，,同理可证,所以有,c,b,b,a,=,