单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,新课标高中一轮总复习,新课标高中一轮总复习,第九单元,直线、平面、简单几何体和空间向量,第九单元,第,61,讲,直线与平面的平行与垂直,第61讲直线与平面的平行与垂直,1.,理解直线与平面的位置关系，理解线面平行、线面垂直的定义,.,2.,掌握线面平行、线面垂直的判定定理及性质定理，并能灵活运用,.,3.,掌握空间的平行关系、垂直关系的互相转化定理，并能灵活应用,.,4.,规范推理、论证等解题程序，培养并提升逻辑推理能力,.,1.理解直线与平面的位置关系，理解线面平行、线面垂直的定义.,1.,对任意直线,l,和给定平面,，在平面,内必存在直线,m,使得直线,m,与,l,(),C,A.,平行,B.,相交,C.,垂直,D.,互为异面直线,若,l,则选项,D,错误,;,若,l,则选项,B,错误,;,若,l,=,P,则选项,A,错误,;,而对于任意直线,l,，平面,内必存在直线,m,与,l,或相交垂直或异面垂直，故选,C.,1.对任意直线l和给定平面，在平面内必存在直线m,使得直,2.,已知直线,a,，直线,b,，则“,a,b,”,是“,a,”,的,(),A,A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充分必要条件,D.,既不充分又不必要条件,由线面平行的判定定理可知充分条件成立，但,a,时，,a,与,b,的位置关系是平行或异面，即必要条件不成立，故选,A.,2.已知直线a，直线b，则“ab”是“a”的(,3.,设,l,、,m,、,n,均为直线,为平面,且,m,，,n,则“,l,”,是“,l,m,且,l,n,”,的,(),A,A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充分必要条件,D.,既不充分也不必要条件,由线面垂直的定义可知,l,l,m,，,l,n,，但,l,m,，,l,n,，当,m,n,时，,l,与,可能斜交，即,l,m,且,l,n,/,l,，故选,A.,3.设l、m、n均为直线,为平面,且m，n,则“l,4.,设,m,、,n,是两条不同的直线，,、,、,是三个不同的平面,.,给出下列四个命题：,若,m,n,则,m,n,;,若,m,则,m,;,若,m,n,则,m,n,;,若,m,，,n,，则,m,n,.,其中正确命题的序号是,(),A,A.B.C.D.,正确，故排除答案,B,、,C,，又知正确，故选,A.,4.设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面.给,1.,直线与平面平行,定义：直线,a,与平面,没有公共点，称直线,a,平行于平面,，记作,a,.,判定定理,:,若,外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,.,性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线,.,平面,平行,1.直线与平面平行平面平行,2.,直线与平面垂直,定义,:,直线,a,与平面,内的任意一条直线垂直,称直线,a,垂直于平面,记作,a,.,判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条,垂直，则该直线与此平面垂直,.,性质定理,:,如果两条直线同,一个平面,那么这两条直线平行,.,相交直线,垂直于,2.直线与平面垂直相交直线垂直于,3.,空间平行关系及空间垂直关系的转化，是立体几何证明中常用思路,以下是平行关系转化图：,3.空间平行关系及空间垂直关系的转化，是立体几何证明中常用思,题型一 线面平行的判定与应用,例,1,已知正方形,ABCD,、,ABEF,构成如图的一个空间图形，,M,、,N,分别是,AE,、,DB,上的点，且,AM,=,DN,.,证明：,MN,平面,EBC,.,题型一 线面平行的判定与应用例1 已,证明线面平行常用的方法,:,一是判定定理，关键是在平面,EBC,上找一条直线与,MN,平行；二是先证明面面平行，再证明线面平行,.,(,方法一,),过,M,作,MM,1,BE,于,M,1,过,N,作,NN,1,BC,于,N,1,，连接,M,1,N,1,，,证明线面平行常用的方法:一是判,则有,MM,1,AB,且,=,NN,1,CD,且,=.,又,AB CD,，,AM,DN,故,MM,1,NN,1,，所以,MN,M,1,N,1,.,又,MN,平面,EBC,M,1,N,1,平面,EBC,，,所以,MN,平面,EBC,.,则有MM1AB,且 =,NN1C,(,方法二,),如图，连接,AN,并延长与,BC,(,或,BC,的延长线,),交于点,Q,，连接,EQ,.,因为,AD,BQ,，,所以,=.,而,AM,=,DN,ME,=,NB,，,所以,=.,在,AEQ,中，,=,所以,MN,EQ,.,又,MN,平面,EBC,EQ,平面,EBC,，,所以,MN,平面,EBC,.,(方法二)如图，连接AN并延长与BC(或BC的延长线)交于点,(,方法三,),如图，过,M,作,MK,AB,于,K,过,N,作,NK,1,AB,于,K,1,，,则有,MK,EB,，故,=,NK,1,AD,，故,=.,而,AM,=,DN,AE,=,DB,，,所以,=,，,所以,K,与,K,1,重合,.,(方法三)如图，过M作MKAB于K,过N作NK1AB于K,考虑平面,MNK,与平面,EBC,.,由,MK,EB,MK,平面,EBC,EB,平面,EBC,得,MK,平面,EBC,.,由,NK,AD,，得,NK,BC,.,又,NK,平面,EBC,BC,平面,EBC,，,所以,NK,平面,EBC,.,又,MK,NK,=,K,所以平面,MNK,平面,EBC,而,MN,平面,MNK,，所以,MN,平面,EBC,.,考虑平面MNK与平面EBC.,本题呈现了证明线面平行的一般方法，前两种证法本质上都是利用判定定理，但找与,MN,平行的直线操作不一样，证法二是先证面面平行，再利用面面平行的性质来说明线面平行,.,本题证明平行关系用的是比例关系，更有一般性,.,若,M,、,N,是所在边的中点，直接利用中位线定理更简捷,.,本题的背景是几何体中的局部“场景”，但所用的证明方法非常有代表性,.,本题呈现了证明线面平行的一般,如图，已知四棱锥,P,-,ABCD,的底面,ABCD,是平行四边形,点,M,是,PC,的中点,点,G,是,DM,上的任意一点,过点,G,和直线,AP,的平面交平面,BDM,于,GH,求证：,AP,GH,.,如图，已知四棱锥P-ABCD的,连接,AC,、,BD,，,AC,BD,=,O,，则,O,为,AC,中点，连接,OM,.,又,M,为,PC,的中点，所以,MO,PA,.,又,PA,平面,MDB,，,MO,平面,MDB,，,所以,PA,平面,MDB,.,又,PA,平面,PAHG,，平面,PAHG,平面,MDB,=,HG,，,故,PA,HG,.,连接AC、BD，ACBD=O，则O为AC,题型二 线面垂直的判定与应用,例,2,如右图，四面体,P,-,ABC,中，已知,PA,=,BC,=6,PC,=,AB,=10,AC,=8,PB,=2 ,F,是线段,PB,上一点,CF,=,点,E,在线段,AB,上且,EF,PB,，求证：,(1),BC,平面,PAC,；,(2),PB,平面,CEF,.,题型二 线面垂直的判定与应用例2 如右,证明线面垂直只需转化为证,BC,与平面,PAC,中两条相交直线垂直,.,(1),在,PBC,中，,PC,2,+,BC,2,=10,2,+6,2,=136=,PB,2,所以,BC,PC,.,而在,ABC,中,BC,2,+,AC,2,=6,2,+8,2,=100=,AB,2,，,所以,BC,AC,.,又因为,PC,、,AC,平面,P,AC,且,PC,AC,=,C,，,所以,BC,平面,PAC.,证明线面垂直只需转化为证BC与平,(2),在,Rt,PCB,中，设斜边,PB,上的高为,h,所以,S,Rt,PCB,=610=,h,2,，,所以,h,=.,又因为,CF,=,所以斜边上的高为,CF,所以,CF,PB,.,又,EF,PB,且,EF,CF,=,F,故,PB,平面,CEF,.,(2)在RtPCB中，设斜边PB上的高为h,1.,证明线面垂直常转化为证明“线线垂直”或“面面垂直”,.,2.,巧妙运用“等面积法”或“等体积法”求解立体几何问题，有时会收到意想不到的效果,.,1.证明线面垂直常转化为证明“线线,在直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中，,AC,=,BC,=,BB,1,=1,，,AB,1,=.,（,1,）,求证：,BC,1,AB,1,；,（,2,）,求三棱锥,A,1,-,AB,1,C,的体积,.,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A,(1),证明,:,在直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,CC,1,底面,ABC,，所以,CC,1,AC,.,AB,2,=,AB,1,2,-,BB,1,2,=(),2,-1,2,=2=,AC,2,+,BC,2,，,所以,AC,CB,，所以,AC,平面,BCC,1,B,1,.,而,BC,1,平面,BCC,1,B,1,，所以,AC,BC,1,.,又,BC,=,BB,1,所以四边形,BCC,1,B,1,为正方形，,所以,BC,1,B,1,C,，,所以,BC,1,平面,ACB,1,.,又,AB,1,平面,ACB,1,，,所以,BC,1,AB,1,.,(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1,(2),V,锥,A,1,-,AB,1,C,=,V,柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,-,V,锥,C,-,A,1,B,1,C,1,-,V,锥,B,1,-,ABC,=,S,ABC,BB,1,-,S,A,1,B,1,C,1,CC,1,-,S,ABC,BB,1,=,S,ABC,BB,1,=11,=.,(2)V锥A1-AB1C=V柱ABC-A1B1C1-V锥C-,如图，已知点,P,是三角形,ABC,所在平面外一点，且,PA,=,BC,=1,截面,EFGH,分别平行于,PA,、,BC,(,点,E,、,F,、,G,、,H,分别在棱,AB,、,AC,、,PC,、,PB,上,).,(1),求证：四边形,EFGH,是平行四边形且周长为定值；,(2),设,PA,与,BC,所成的角,为,，求四边形,EFGH,的面,积的最大值,.,如图，已知点P是三角形ABC所在平面外,已知线面关系,可联想线面平行的性质定理,.,(1),证明：因为,PA,平面,EFGH,，,平面,PAB,平面,EFGH,=,HE,平面,PAC,平面,EFGH,=,GF,所以,HE,PA,GF,.,同理，,HG,BC,EF,所以四边形,EFGH,是平行四边形,.,设,EH,=,x,(0,x,1),则,=,x,所以,=1-,x,=,，故得,HG,=1-,x,.,所以周长,=2(,EH,+,HG,)=2(,x,+1-,x,)=2,，为定值,.,已知线面关系,可联想线面平行的性质定理,(2),由,(1),知,PA,HE,BC,EF,.,所以,HEF,(,或其补角,),是,PA,与,BC,所成的角,.,因为,HE,=,x,(0,x,1),EF,=1-,x,，,所以,S,EFGH,=,HEEF,sin,HEF,=,x,(1-,x,)sin,=sin,-(,x,-),2,.,所以,当,x,=,即,E,、,F,、,G,、,H,为所在边的中点时，四边形,EFGH,的面积有最大值,sin,.,立体几何中的最值问题往往要借助函数来求解,.,(2)由(1)知,PAHE,BCEF.,1.,解决线面平行、面面平行,(,或线面垂直、面面垂直,),问题，要切实把握转化的思想和方法,.,1.解决线面平行、面面平行(或线面垂直、面面垂直)问题，要切,同时，要注意平行与垂直间的相互关系：两条平行线中有一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直；同时垂直于一个平面的两条直线相互平行；同时垂直于一条直线的两个平面平行,.,2.,证明直线和平面平行的方法有：,依定义采用反证法；判定定理法,(,线线线面,),；面面平行的性质,(,面面线面,).,同时，要注意平行与垂直间的相互