单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,马尔科夫预测法,第一节 基本原理,一、基本概念,1.,随机变量、随机函数与随机过程,一变量,x,，,能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称,x,为随机变量。,假定随机变量的可能值,x,i,发生概率为,P,i,即,P(,x,=,x,i,)=P,i,对于,x,i,的所有,n,个可能值，有离散型随机变量分布列：,P,i,=1,对于连续型随机变量，有,P(x)dx,=1,在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定是时间）的变化而变化,.,如测量大气中空气温度变化,x=x(h),随高度变化。这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以时间,t,作参变量的随机函数称为随机过程。,也就是说：随机过程是这样一个函数，在每次试验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先未知的时间函数。,2,、马尔科夫过程,随机过程中，有一类具有“无后效性性质”，即当随机过程在某一时刻,to,所处的状态已知的条件下，过程在时刻,tto,时所处的状态只和,to,时刻有关，而与,to,以前的状态无关，则这种随机过程称为马尔科夫过程。,即是：,i,to,为确知,i,t,(tto),只与,i,to,有关，这种性质为无后效性，又叫马尔科夫假设。,简例：设,x(t),为大米在粮仓中,t,月末的库存量，则,x(t)=x(t,1)y(t)+G(t),t,月的转出量,第,t,1,月末库存量,G(t),为当月转入量,x(t),可看作一个马尔科夫过程。,3,、马尔科夫链,时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。例：蛙跳问题,假定池中有,N,张荷叶，编号为,1,，,2,，,3,N,，,即蛙跳可能有,N,个状态（状态确知且离散）。,青蛙所属荷叶，为它目前所处的状态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有关，而与以前的状态无关（无后效性成立）,1,2,3,4,P,33,P,22,P,44,P,41,P,42,P,31,P,32,写成数学表达式为：,P(x,t+1,=j|,x,t,=i,t,x,t-1,=,i,t,1,x,1,=i,1,),=P(x,t+1,=j|,x,t,=i,t,),定义：,P,ij,=P(x,t+1,=j|x,t,=i),即在,x,t,=i,的条件下，使,x,t+1,=j,的条件概率，是从,i,状态一步转移到,j,状态的,概率,，因此它又称一步状态转移概率。,由状态转移图，由于共有,N,个状态，所以有,二状态转移矩阵,1.,一步状态转移矩阵,系统有,N,个状态，描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵,P,11,P,12,P,1N,定义为,P,21,P,22,P,2N,:,P,N1,P,N2,P,NN,这是一个,N,阶方阵，满足概率矩阵性质,1,）,P,ij,0,i,j=1,2,N,非负性性质,2,）,P,ij,=,1,行元素和为,1,i=1,2,N,NN,P=,如：,W,1,=1/4,1/4,1/2,0,W,2,=1/3,0,2/3,W,3,=1/4,1/4,1/4,1/2,大于,1,W,4,=1/3,1/3,-1/3,0,2/3,不是非负,3,）若,A,和,B,分别为概率矩阵时，则,AB,为概率矩阵。,概率向量,非,概率向量,2.,稳定性假设,若系统的一步状态转移概率不随时间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同，称该系统是稳定的。,这个假设称为稳定性假设。,蛙跳问题属于此类，后面的讨论均假定满足稳定性条件。,2004/11/22,3.k,步状态转移矩阵,经过,k,步转移由状态,i,转移到状态,j,的概率记为,P(,x,t+k,=j|,x,t,=i)=P,ij,(k),i,j=1,2,N,定义：,k,步状态转移矩阵为：,P,11,(k),P,12,(k),P,1N,(k),P =:,P,N1,(k),P,N2,(k),P,NN,(k),当系统满足稳定性假设时,P =P=P P,P,其中,P,为一步状态转移矩阵。,即当系统满足稳定性假设时，,k,步状态转移矩阵为一步状态转移矩阵的,k,次,方,.,k,k,k,例：设系统状态为,N=3,，,求从状态,1,转移到状态,2,的,二步状态转移概率,.,解：作状态转移图,有三个状态,解法一：由状态转移图：,1,1,2:P,11,P,12,（此三个都是经过两步完成的）,1,2,2:P,12,P,22,1,3,2:P,13,P,32,P,12,=P,11,P,12,+P,12,P,22,+P,13,P,32,=,P,1i,P,i2,1,3,2,P,13,P,32,P,11,P,12,P,12,P,22,解法二：,k=2,N=3,P,11,(2)P,12,(2)P,13,(2),P=P,21,(2)P,22,(2)P,23,(2),P,31,(2)P,32,(2)P,33,(2),P,11,P,12,P,13,P,11,P,12,P,13,=P,P=P,21,P,22,P,23,P,21,P,22,P,23,P,31,P,32,P,33,P,31,P,32,P,33,得：,P,12(2),=P,11,P,12,+P,12,P,22,+P,13,P,32,=,P,1i,P,i2,P12(2),是第一行乘以第二列的结果,例：味精销售问题,已连续统计六年共,24,个季度，确定畅销，滞销界限，即只允许出现两种状态，且具备无后效性。,设状态,1,为畅销，状态,2,为滞销,作出状态转移图,:,图中,:P,11,为当前畅销，连续畅销概率；,P,12,为当前畅销，转滞销概率；,P,22,为当前滞销，连续滞销概率；,P,21,为当前滞销，转畅销概率。,1,2,P,22,P,11,P,12,P,21,数据在确定盈亏量化界限后的统计表如下：,t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,状态,t 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24,状态,进行概率计算时，第二十四个季度为畅销，但后续是什么状态不知，故计算时不能采用，,只用于第二十三季度,统计。,有：,P,11,=7/(,7+7,)=0.5;,P,12,=7/(7+7)=0.5;,P,21,=7/(7+2)=0.78;,P,22,=2/(7+2)=0.22,则,0.5 0.5,0.78 0.22,此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的,可能性各占,一半,若本季度滞销，则下季度滞销有,78%,的把握，滞销风险,22%,P=,二步状态转移矩阵为：,0.5,0.5,0.5,0.5,0.78 0.22 0.78 0.22,0.64 0.36,0.5616 0.4384,P,11,(2),P,12,(2,),P,21,(2,),P,22,(2,),=,=,P=P=,2,2,三,.,稳态概率：,用于解决长期趋势预测问题。,即：当转移步数的不断增加时，转移概率矩阵,P,的变化趋势。,1.,正规概率矩阵。,定义：若一个概率矩阵,P,，,存在着某一个正整数,m,使,P,的所有元素均为正数（,P,ij,o,），,则该矩阵称为正规概率矩阵,k,例：,1/2 1/4,1/4,P=1/3 1/3 1/3,为正规概率矩阵,2/5 1/5 2/5,0 1 P,11,=0,1/2 1/2,但当,m=2,，,有 有,P,ij,0,它也是正规概率矩阵。,（,P,每个元素均为正数,）,但,1 0,0 1,就找不到一个正数,m,使,P,的每一个元素均大于,0,，所以它不是正规概率矩阵。,（,也就是说单位矩阵不是正规概率矩阵,）,P =,2,2,P=,m,P=,2,2.,固定概率向量（特征概率向量）,设,P,为,NN,概率矩阵,若,U=U,1,U,2,U,N,为概率向量,且满足,UP=U,称,U,为,P,的固定概率向量,例,0 1,1/2,1/2,为概率矩阵,P,的固定概率向量,U=1/3 ,2/3,检验,UP=1/3 2/3 0 1,1/2 1/2,=1/3,2/3,注,:U,是行向量。,P=,3.,正规概率矩阵的性质,定理一 设,P,为,NN,正规概率矩阵，则,A,.P,有且只有一个固定概率向量,（唯一性）,U=U,1,U,2,U,N,且,U,的所有元素均为正数,U,i,0,B,.NN,方阵,P,的各次方组成序列,P,P,P,P,趋于方阵,T,，,且,T,的每一个行向量都是固定概率向量,U,。,即,U,1,U,2,U,N,U,lim,P,k,=T=:=:,U,1,U,2,U,N,U,这个方阵,T,称稳态概率矩阵。,2,3,k,这个定理说明：无论系统现在处于何种状态，在经过足够多的状态转移之后，均达到一个稳态。,因此，欲求长期转移概率矩阵，即进行长期状态预测，只要求出稳态概率矩阵,T,；,而,T,的每个行向量都是固定概率向量，所以只须求出固定概率向量,U,就行了,!,定理二：设,X,为任意概率向量,，则,XT=U,即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为固定概率向量。,U,1,U,2,U,N,XT=X :=U,1,X,i,U,1,X,i,U1X,i,U,1,U,2,U,N,=,U,1,U,2,U,N,=,U,X,i,=1,例：若,0.4 0.3,0.3,P=0.6 0.3 0.1,求,T,0.6 0.1 0.3,解：设,U=U,1,U,2,U,3,=U,1,U,2,1,U,1,U,2,由,UP=U,有,0.4 0.3,0.3,U,1,U,2,1,U,1,U,2,0.6 0.3 0.1 =,U,1,U,2,U,3,0.6 0.1 0.3,即,-0.2U,1,+0.6=U,1,U,1,=0.5,0.2U,1,+0.2U,2,+0.1=U,2,U,2,=0.25,-0.2U,2,+0.3=U,3,U,3,=0.25,U=0.5 0.25 0.25,则,0.5 0.25,0.25,T=0.5 0.25 0.25,0.5 0.25 0.25,说明：,不管系统的初始状态如何，当系统运行时间较长时，转移到各个状态的概率都相等。（列向量各元素相等）,即 各状态转移到,1,状态都为,0.5;,2,状态都为,0.25;,3,状态都为,0.25,第二节,市场占有率预测,商品在市场上参与竞争，都拥有顾客，并由此而产生销售，事实上，同一商品在某一地区所有的,N,个商家（或不同品牌的,N,个同类产品）都拥有各自的顾客，产生各自销售额，于是产生了市场占有率定义：,设某一确定市场某商品有,N,个不同品牌（或,N,个商家）,投,入销售，第,i,个商家在第,j,期的市场占有率,Si(j)=xi(j)/x i =1,2,N,其中,xi(j),为第,i,个商家在第,j,期的销售额（或拥有顾客数）,x,为同类产品在市场上总销售额（或顾客数）,市场占有率所需数据可通过顾客抽样调查得到。,一般地,首先考虑初始条件,设当前状态（即,j=0,）,为,S(0,)=S,1,(0)S,2,(0),S,N,(0),第,i,个商家,S,i,(,0,)=x,i,(,0,),/x,x,i,(,0,),=S,i,(,0,)x,即当前第,i,个商家市场占有率与初始市场占有率及市场总量有关,.,同时假定满足无后效性及稳定性假设,.,由于销售商品的流通性质,有第,i,个商家第,j,期销售状为,x,i,(k)=x,1,(0)P,1i,(k)+x,2,(0)P,2i,(k)+,+,x,N,(0)P,Ni,(k),=xS,1,(0)P,1i,(k)+xS,2,(0)P,2i,(k)+,+,xS,N,(0)P,Ni,(k),P,1i,(k),=xS,1,(0)S,2,(0),S,N,(0),P,2i,(k),:,P,Ni,(k),有：,S,i,(k)=x,i,(k)/x P,1i,(k),=S,1,(0)S,2,(0),S,N,(0),P,2i,(k),:,P,Ni,(k),故可用矩阵式表达所有状态,:,S,1,(k),S,2,(k),S,N,(k)=,S,1,(0),S,2,(0),S,N,(0)P,即,S