Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,解析函数的无穷次可导性,问题:,(1)解析函数是否有高阶导数?,(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?,回答:,(1)解析函数有各高阶导数.,(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.,第1页，共22页。,形式上，,以下将对这些公式的正确性加以证明。,第2页，共22页。,1.解析函数的高阶导数,定理3.3,在定理3.1条件下,函数,f,(,z,)在区域,D,内有各阶导数,并且有,注上式也可写成,该公式在求积分是常用到,第3页，共22页。,第4页，共22页。,因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。,这一点与实变量函数有本质的区别.,设以z为心，以d为半径的圆盘完全在D内，并且在这个圆盘内取z+h，使得0|h|d，那么当 时,解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?,(1)解析函数是否有高阶导数?,但在一个区域内的解析函数，即只设有一阶导数的函数却具有任意阶导数。,解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?,这一点与实变量函数有本质的区别.,至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,1条件下,函数f(z)在区域D内有各阶导数,并且有,因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。,根据复周线Cauchy积分定,先证明结论关于n=1时成立。,2 解析函数的无穷可微性,设函数f(z)在z平面上区域D内解析,则f(z)在D内有各阶导数,并且它们也在D内解析.,先证明结论关于,n,=1时成立。,是,D,内另一点。,证明,只需证明，当,h,趋近于0时，下式也趋近于0,第5页，共22页。,根据复周线Cauchy积分定,2 解析函数的无穷可微性,因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。,这一点与实变量函数有本质的区别.,可见 复变函数在一区域内有导数是很强的条件，由它可逐步推出柯西-黎曼方程，柯西定理，柯西公式及解析函数有任意阶导数。,(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.,(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.,(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.,2 解析函数的无穷可微性,这一点与实变量函数有本质的区别.,(1)解析函数是否有高阶导数?,因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。,(1)解析函数是否有高阶导数?,现在估计上式右边的积分。设以,z,为心，以,d,为半径的圆盘完全在,D,内，并且在这个圆盘内取,z+h,，使得0,|h|d,，那么当 时,设,|f,(,z,)|在,C,上的一个上界是,M,，并且设,C,的长度是,L,，于是我们有,因此当,h,趋近于0时，要证的积分趋于0。,第6页，共22页。,至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,依次类推,利用数学归纳法可证,证毕,注3.高阶导数公式的作用:,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,第7页，共22页。,例1,解,第8页，共22页。,例2,解,由柯西古萨基本定理得,由柯西积分公式得,第9页，共22页。,第10页，共22页。,例3,解,第11页，共22页。,根据复合闭路定理和高阶导数公式,第12页，共22页。,第13页，共22页。,例4,解,分几种情况,第14页，共22页。,同理有,第15页，共22页。,根据复周线Cauchy积分定,理和高阶导数公式,第16页，共22页。,2 解析函数的无穷可微性,定理3.4,设函数,f,(,z,)在z平面上区域,D内解析,则,f,(,z,)在,D,内有各阶导数,并且它们也在D内解析.,证明,第17页，共22页。,在数学分析中，我们知道一个在区间内有导数的实变函数f(x)在这区间内不一定有二阶导数。但在一个区域内的解析函数，即只设有一阶导数的函数却具有任意阶导数。,可见 复变函数在一区域内有导数是很强的条件，由它可逐步推出柯西-黎曼方程，柯西定理，柯西公式及解析函数有任意阶导数。,第18页，共22页。,课堂练习,答案,第19页，共22页。,四、小结与思考,高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明,了,解析函数的导数仍然是解析函数,这一异常重,要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本,质区别.,高阶导数公式,第20页，共22页。,思考题,解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?,第21页，共22页。,思考题答案,这一点与实变量函数有本质的区别.,放映结束，按Esc退出.,第22页，共22页。,