单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,5,章 不定积分,5.1,原函数与不定积分的概念,一、原函数与不定积分,通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数,y,f(x),出发，去求它的导数,f(x),那么，我们能不能从一个函数的导数,f,(x),出发，,反过来去求它是哪一个函数,(,原函数,),的导数呢,?,定义,已知,f(x),是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数,F(x),，使得在该区间上的任何一点,x,处都有,F(x),f(x),，那么称函数,F(x),为函数,f(x),在该区间上的一个原函数。,第5章 不定积分5.1 原函数与不定积分的概念,例,1,求下列函数的一个原函数：,f(x),2x f(x),cosx,解：,(x,2,),2x,x,2,是函数,2x,的一个原函数,(sinx),cosx,sinx,是函数,cosx,的一个原函数,这里为什么要强调是一个原函数呢,?,因为一个函数,的原函数不是唯一的。,例如在上面的中，还有,(x,2,1),2x,，,(x,2,1),2x,所以,x,2,、,x,2,1,、,x,2,1,、,x,2,C(C,为任意常数,),都是函数,f(x),2x,的原函数。,例1 求下列函数的一个原函数：,定理,5.1,设,F(x),是函数,f(x),在区间,I,上的一个原函数，,C,是一个任意常数，那么，,F(x),C,也是,f(x),在该区间,I,上,的原函数,f(x),该,在区间,I,上的全体原函数可以表示,为,F(x),C,证明：,F(X),C,F(x),(C),f(x),F(x),C,也是,f(x),的原函数,略,定理5.1,这说明,函数,f(x),如果有一个原函数,F(x),，那么它,就有无穷多个原函数,，,它们都可以表示为,F(x),C,的,形式。,定义,5.2,函数,f(x),的全体原函数叫做函数,f(x),的不定积分，,记作,f(x)dx,，,其中叫做积分号，,f(x),叫做被积函数，,x,叫做积,分变量。,求函数,f(x),的不定积分就是求它的全体原函数，,因此，,f(x)dx,F(x),C,其中,C,是任意常数，叫做积分常数。,这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，,例,2,求下列不定积分,x,5,dx sinxdx,解：,是,x,5,的一个原函数,cosx,是,sinx,的一个原函数,例2 求下列不定积分,二、不定积分的几何意义,设,F(x),是函数,f(x),的一个原函数，则曲线,y,F(x),称为,f(x),的一条积分曲线，曲线,y,F(x),C,表示把曲,线,y,F(x),上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分,的几何意义是指由,f(x),的全体积分曲线组成的积分曲,线族。,例,4,求斜率为,2x,且经过点,(1,0),的曲线。,解：设所求曲线为,y,f(x),，则,f,(x),2x,，,故,y,x,2,C,，,曲线过点,(1,0),以,x,1,、,y,0,代入得,0,1,2,C,，,解得,C,1,，,因此，所求曲线为,y,x,2,1,。,二、不定积分的几何意义,三、基本积分公式,由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本,求导公式反推，可得基本积分公式,dx,x,C x,dx,(-1),e,x,dx,e,x,C,sinxdx,cosx,C cosxdx,sinx,C,sec,2,xdx,tanx,C,csc,2,xdx,cotx,C,三、基本积分公式,说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数,的指数加,1,，再把指数的倒数放在前面做系数。,注意,不能认为,arcsinx,arccosx,，他们之间,的关系是,arcsinx,2,arccosx,不定积分-(公式大全)课件,四、不定积分的性质,f(x)dx,f(x),该性质表明，如果函数,f(x),先求不定积分再求导，,所得结果仍为,f(x),F(x)dx,F(x),C,该性质表明，如果函数,F(x),先求导再求不定积分，,所得结果与,F(x),相差一个常数,C,kf(x)dx,kf(x)dx(k,为常数,),该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以,提到积分号的前面,f(x)g(x)dx,f(x)dxg(x)dx,该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于,这两个函数的不定积分的和或差,四、不定积分的性质,五、基本积分公式的应用,例,7,求,(9x,2,8x)dx,解：,(9x,2,8x)dx,9x,2,dx,8xdx,33x,2,dx,42xdx,3x,3,4x,2,C,例,11,求,3,x,e,x,dx,五、基本积分公式的应用,5.2,不定积分的计算,一、直接积分法,对被积函数进行简单的恒等变形后直接用,不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定,积分的方法称为直接积分法。,运用直接积分法可以求出一些简单函数的,不定积分。,5.2 不定积分的计算,一、第一换元法,(,凑微分法,),如果被积函数的自变量与积分变量不相同，,就不能用直接积分法。,例如求,cos2xdx,，被积函数的自变量是,2x,，,积分变量是,x,。,这时，我们可以设被积函数的自变量为,u,，,如果能从被积式中分离出一个因子,u,(x),来，,那么根据,f(u)u(x)dx,f(u)du,F(u),C,就可以求出不定积分。,这种积分方法叫做,凑微分法,。,不定积分-(公式大全)课件,讲解例题,例,2,求,2sin2xdx,解：设,u,2x,，则,du,2dx,2sin2xdx,sin2x,2dx,sinudu,cosu,C,cos2x,C,注意：最后结果中不能有,u,，一定要还原成,x,。,解：设,u,x,2,1,，则,du,2xdx,讲解例题,解：设,u,x,2,，则,du,2xdx,设,u,cosx,，则,du,-sinxdx,不定积分-(公式大全)课件,当计算熟练后，换元的过程可以省去不写,。,例 求,sin,3,xcosxdx,解：,sin,3,xcosxdx,sin,3,xd(sinx),sin,4,x,C,当计算熟练后，换元的过程可以省去不写。,二、第二换元积分法,例如，求 ，把其中最难处理的部分换,元，令 则原式 ，再反解,x,u,2,1,，,得,dx,2udu,，代入,这就是,第二换元积分法,。,二、第二换元积分法,(1),如果被积函数含有 ，可以用,x,asint,换元。,(2),如果被积函数含有 ，可以用,x,atant,换元。,不定积分-(公式大全)课件,(3),如果被积函数含有 ，可以用,x,asect,换元。,不定积分-(公式大全)课件,以下结果可以作为公式使用：,tanxdx,ln|secx|,C,cotdx,ln|cscx|,C,secxdx,ln|secx,tanx|,C,cscxdx,ln|cscx,cotx|,C,以下结果可以作为公式使用：,5.3,分部积分法,一、分部积分公式,考察函数乘积的求导法则：,u(x),v(x),u(x),v(x),u(x),v(x),两边积分得,u(x),v(x),u(x)v(x)dx,u(x)v(x)dx,于是有,u(x),v(x)dx,u(x),v(x),u(x),v(x)dx,或表示成,u(x)dv(x),u(x),v(x),v(x)du(x),这一公式称为,分部积分公式,。,5.3 分部积分法,二、讲解例题,例,1,求,xe,x,dx,解,:,令,u(x),x,，,v(x),e,x,则原式为,u(x),v(x)dx,的形式,(e,x,),e,x,v(x),e,x,，,由分部积分公式有,xe,x,dx,x,e,x,e,x,dx,xe,x,e,x,C,例,2,求,xcos2xdx,解：令,u(x),x,，,v(x),cos2x,，则,v(x),sin2x,于是,xcos2xdx,xsin2x,sin2xdx,xsin2x,cos2x,C,二、讲解例题,有时，用分部积分法求不定积分需要连续使,用几次分部积分公式才可以求出结果。,例,5,：求,x,2,e,-2x,dx,解：令,u(x),x,2,，,v(x),e,-2x,，则,v(x),于是,有时，用分部积分法求不定积分需要连续使,由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的,次数可以降低一次。如果所得到的积分式还需要用分,部积分法解，那么，可以再用分部积分公式做下去。,为了简化运算过程，下面介绍,:,三、分部积分法的列表解法,例如：求,x,2,sinxdx,x,2,sinx,求导,+,积分,2x -cosx,x,2,sinxdx,-x,2,cosx-2x(-cosx)dx,由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的x2sinx,分部积分法的列表解法,例如：求,x,2,sinxdx,x,2,sinx,求导,积分,2x,-cosx,x,2,sinxdx,-x,2,cosx,2xcosxdx,-x,2,cosx,2xsinx,-2sinxdx,求导,积分,-sinx,-x,2,cosx,2xsinx,2cosx,C,求导,积分,+cosx,分部积分法的列表解法求导积分2x-cosxx2s,例,4,：求,xlnxdx,x lnx,求导 积分,1,?,这说明把,lnx,放在右边用分部积分法解不下去。,把,lnx,放在左边用分部积分法解,：,lnx x,求导,+,积分,-,例4：求xlnxdx,一般原则,对数函数、反三角函数、幂函数应放在左边，,指数函数、三角函数应放在右边。,有些单独一个函数的不定积分也要用分部,积分法解。,例,3,：求,lnxdx,lnx 1,求导,+,积分,-x,=xlnx,dx=xlnx,x,C,一般原则=xlnxdx=xlnxxC,例,6,求,arcsinxdx,arcsinx,1,求导,+,积分,-x,例,7,1,求导 积分,x,例6求arcsinxdx,例,8,求,e,x,sin3xdx,解：,e,x,sin3xdx,e,x,sin3x,3e,x,cos3xdx,e,x,sin3x,3e,x,cos3x,9e,x,sin3xdx,移项得,e,x,sin3xdx,e,x,(si3nx,3cos3x),C,5.4,有理函数积分法,一、有理函数的定义,有理函数是指分子、分母都是多项式的分,式函数，形如,例8 求exsin3xdx,二、真分式的部分分式分解,设分子的次数为,n,，分母的次数为,m,。,当,n,m,时，该分式称为真分式；,当,nm,时，该分式称为假分式。,假分式可以写成多项式与真分式的和。,这里主要讲解真分式的部分分式分解。,例分解 成部分分式,解：因为分母含有,(x,1),的三重因式，所以设,二、真分式的部分分式分解,等式右边通分后得,比较等式两边分子各项的系数得,1,解得：,1,3,2,0,2,3,0,1,1,2,这种方法称为待定系数法,等式右边通分后得,几种简单分式的积分法,一、,几种简单分式的积分法,二、,1.,当分子不含一次项时,因为分母中,p,2,-4q,0,，所以分母可以配方成,(x-m),2,+n,2,，,再进一步，还可以化成,二、,不定积分-(公式大全)课件,2.,当分子含有一次项时，可将分子凑成分母的导数与另一常数之和再分别积分。,2.当分子含有一次项时，可将分子凑成分母的导数与另一常数之和,三、分母可以因式分解的有理函数,1.,若被积函数是假分式，先把它分解成一个多项式与一个真分式之和,2.,对于真分式，先将分母因式分解，再用待定系数法化为部分分式之和,3.,对每个最简分式分别求不定积分。,三、分母可以因式分解的有理函数,再如前面举过的例子,求,再如前面举过的例子,作业,P.253 1,，,2,，,4,P.267 2(23)(25),P.273 1,8,P.279 1,4,9,作业,40,以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！,40,