单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,24.2.2,直线与圆的位置关系,(3),24.2.2 直线与圆的位置关系(3),（,2,）直线,l,和,O,相切,（,1,）直线,l,和,O,相离,（,3,）直线,l,和,O,相交,dr,d=r,dr,d,o,r,l,d,o,r,l,o,d,r,l,1.,直线和圆的位置关系,（2）直线l 和O相切 （1）直线l 和O相离,(1),若直线与圆的一个,公共点已指明,，,则连接这点和圆心，然后说明直线垂直于经过这点的半径；,连半径，证垂直,(2),若直线与圆的,公共点未指明,，,则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径,作垂直，证相等,2.,证明直线是圆的切线有如下两种方法,:,(1)若直线与圆的一个公共点已指明，2.证明直线是圆的切线有,画一画,O,P,O,P,1.,已知,O,上有一点,P,你能过点,p,作出,O,的切线吗,?,2.,已知,O,外有一点,P,你还能过点,P,点作出,O,的切线吗,?,画一画O PO,o,o,p,1.,连结,OP,2.,以,OP,为直径作,O,，,与,O,交于,A,、,B,两点。,A,B,即直线,PA,、,PB,为,O,的切线,如图，已知,O,外一点,P,，你能用尺规过点,P,作,O,的切线吗？,通过作图你能发现什么呢？,观察,实验,1.,过圆外一点作圆的切线可以作两条,2.,点,A,和点,B,关于直线,OP,对称,说明,经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，,叫做这点到圆的切线长。,切线长是一条线段,oop1.连结OP2.以OP为直径作O，AB即直线,如图，过圆外一点有两条直线,PA,、,PB,与,O,相切。,在经过圆外一点的圆的切线上，,这点和切点之间,的线段长，叫做这点到圆的,切线长,。,A,B,P,O,。,切线与切线长的区别与联系：,（,1,）,切线是一条与圆相切的直线；,（,2,）,切线长是指,切线上,某一点与切点间的线段的长。,如图，过圆外一点有两条直线PA、PB与O相切。在经过圆外一,o,p,A,B,如图，,PA,、,PB,是,O,的切线，,A,、,B,为切点。如果连结,OA,、,OB,、,OP,，图中的,PA,与,PB,，,APO,与,BPO,有什么关系？,探究,PA,、,PB,是,O,的切线，,A,、,B,为切点,OAPA,，,OBPB,又OAOB，OPOP,RtAOPRtBOP,PA,PB,，,APO,BPO,结论,切线长定理：,从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,opAB如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点。如果连,o,p,A,B,符号语言,PA,、,PB,是,O,的切线，,A,、,B,为切点,PA,PB,，,APO,BPO,猜想,如图，若连接,AB,，则,OP,与,AB,有什么关系？,分析,PA,、,PB,是,O,的切线，,A,、,B,为切点,PA,PB,，,APO,BPO,OPAB,，且,OP,平分,AB,C,D,归纳,从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。,AD,与,BD,相等吗？,opAB符号语言 PA、PB是O的切线，PAPB，,我们学过的切线，常有 五个 性质：,1,、切线和圆只有一个公共点；,2,、切线和圆心的距离等于圆的半径；,3,、切线垂直于过切点的半径；,4,、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；,5,、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6,、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,六个,我们学过的切线，常有 五个 性质：6、从圆外一点引圆的两,例,1,已知,，,如图，,PA,、,PB,是,O,的两条切线，,A,、,B,为切点,.,直线,OP,交,O,于点,D,、,E,，交,AB,于,C.,（,1,）写出图中所有的垂直关系；,（,2,）写出图中所有的全等三角形,.,（,3,）如果,PA=4 cm,PD=2 cm,求半径,OA,的长,.,A,O,C,D,P,B,E,解：,(1)OAPA,OBPB,OPAB,(2)OAP OBP,OCAOCB,ACPBCP.,(3),设,OA=x cm,则,PO=PD+x=2+x(cm),在,RtOAP,中，由勾股定理，得,PA,2,+OA,2,=OP,2,即,4,2,+x,2,=(x+2),2,解得,x =3 cm,所以，半径,OA,的长为,3 cm.,利用切线长定理进行计算,例1已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直,P,O,A,B,c,如图，P为,O,外一点，PA、PB分别切,O,于A、B两点，OP交,O,于C，若PA6，PC2 ，求,O,的半径OA及两切线PA、PB的夹角。,解：,连接,OA,、,AC,，则,OAAP,在,RtAOP,中，设,OA,x,则,OP,x,2,OA,2,PA,2,OP,2,即,x,2,6,2,（,x,2 ）,2,解得,x,2,，即,OA,OC,2,OP,4,在,RtAOP,中，,OP,2OA,APO,30,PA,、,PB,是,O,的切线,APB,2APO,60,O,的半径为,2,，两切线的夹角为,60,POABc如图，P为O 外一点，PA、PB分别切O,利用切线长定理进行证明,A,B,C,D,E,O,2,1,例,2,如图，已知：在,ABC,中，,B,90,，,O,是,AB,上一点，以,O,为圆心，,OB,为半径的圆交,AB,于点,E,，切,AC,于点,D,。求证：,DEOC,证明：连接,，为的半径,是的切线,是的切线，是切点,，,是的直径,，即,利用切线长定理进行证明ABCDEO21例2如图，已知：在,例,1、已知,：,PA，PB分别切O于A、B，CD切O于E,PO=13,AO=5,则,PCD周长为,_,切线长定理的应用,解：,PA,是切线,APAO,又,PO=13，AO=5,AP=12,又,PB,是切线,PB=PA=12,又,CD,是切线,DA=DE，CE=CB,PCD,周长,=PD+PC+CD,=PD+PC+DE+CE,=PA+PB,=24,E,例1、已知：PA，PB分别切O于A、B，CD切O于E,P,练习,1,、,如图，,PA,、,PB,分别切圆,O,于,A,、,B,，并与,O,的切线,DC,分别相交于,C,、,D,，已知,PA=7cm,，则,PCD,的周长等于,_,切线长定理的应用,练习切线长定理的应用,。,P,B,A,O,（,3,）连结圆心和圆外一点,（,2,）连结两切点,（,1,）分别连结圆心和切点,想一想,常见辅助线,。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别,已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求,PEF的周长。,E,A,Q,P,F,B,O,易证,EQ=EA,FQ=FB,PA=PB,PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=,PB=PA,=12cm,周长为,24cm,例题1,已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为A,变式：,如图所示PA、PB分别切,圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于,C、D，已知PA=7cm，,(1)求PCD的周长,(2)如果P=46,求COD的度数,C,O,P,B,D,A,E,变式：如图所示PA、PB分别切C OPBDAE,如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？,A,B,C,三角形的内切圆的定义：,A,B,C,和三角形各边都相切的圆叫,三角形的内切圆,三角形叫,圆的外切三角形,定 义,如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块,思考：,如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？,I,C,A,B,D,E,F,I,与,ABC,的三边,相切,于点,D,、,E,、,F.,因此,ID=IE=IF=I,的半径,r,.,思考：如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆,问题：,作圆的关键是什么？,问题：,怎样确定圆心的位置？,问题：,圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？,A,B,C,（确定圆心和半径）,（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）,（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）,作圆，使它和已知三角形的各边都相切,已知：,ABC,（如图）,求作：和,ABC,的各边都相切的圆,问题,:,在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗,?,（不能）,任何一个三角形都只有一个内切圆,问题：怎样确定圆心的位置？问题：圆心的位置确定后怎样确定,思考：,如何作出这个圆？（尺规作图）,I,C,A,B,E,D,F,与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的,内切圆,，内切圆的圆心是三角形,三条角平分线的交点,，叫做三角形的,内心,。,三角形的内心到三角形三边的距离相等。,思考：如何作出这个圆？（尺规作图）ICABEDF与三角,3,、以,I,为圆心，,ID,为半径作,I,，,I,就是所求的圆,.,作圆，使它和已知三角形的各边都相切,已知：,ABC,（如图）,求作：和,ABC,的各边都相切的圆,A,B,C,M,N,I,D,作法：,1,、作,ABC,、,ACB,的平分线,BM,和,CN,，交点为,I.,2,、过点,I,作,IDBC,，垂足为,D.,三角形内切圆的圆心叫三角形的,内心,三角形的内心到三边的距离相等,三角形的内心是三角形角平分线的交点,三角形的内心一定在三角形的内部,三角形内心的性质,3、以I为圆心，ID为半径作I，I就是所求的圆.作圆,定义：和多边形各边都相切的圆,叫做,，这个,多边形叫做,。,多边形的内切 圆,圆的外切多边形,内切,外切,如上图，四边形,DEFG,是,O,的,四边形，,O,是四边形,DEFG,的,圆，,D,E,F,G,.O,思考,:,我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方,形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？,(,菱形，正方形一定有内切圆,),定 义,定义：和多边形各边都相切的圆多边形的内切 圆圆的外切多边形内,例2,、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P，,求证：AD+BC=AB+CD,D,L,M,N,A,B,C,O,P,证明：由切线长定理得,AL=AP,，,LB=MB,NC=MC,，,DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即,AB+CD=AD+BC,补充：,圆的外切四边形的两组对边的和相等,DLMNABCOP证明：由切线长定理得AL=AP，LB=M,明确,1.,一个三角形有且只有一个内切圆；,2.,一个圆有无数个外切三角形；,3.,三角形的内心就是三角形三条内角平,分线的交点；,4.,三角形的内心到三角形三边的距离相等。,明确1.一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切,名称,确定方法,图形,性质,内 心,（三角形内切圆的圆心）,三角形三边中垂线的交点,三角形三条,角平分线的,交点,(1)OA=OB=OC,(2),外心不一定在三角形的内部,（,1,）到三边的距离相等；,（,2,）,OA,、,OB,、,OC,分别平分,BAC,、,ABC,、,ACB,；,（,3,）内心在三角形内部,外 心,(,三角形,外接圆的,圆心,),名称确定方法图形性质 内 心（三角形内切圆的圆心,如图，在,ABC,中，点,O,是内心，（,1,）若,ABC=50,，,ACB=70,，求,BOC,的度数,A,B,C,O,（,2,）若,A=80,则,BOC=,度。,（,3,）若,BOC=100,，则,A=,度。,BOC=180,-,（,ABC,ACB,）,1,2,=180,60=120,同理,OCB=,OCA=,1,2,ACB=35,解,（,1,）,点,O,是,ABC,的内心，,ABC=25,OBC=,OBA=,1,