,*,高斯公式,物理意义,-,通量,与,散度,小结 思考题 作业,flux,divergence,第六节 高斯,(Gauss),公式,通量,与,散度,第十章 曲线积分与曲面积分,高斯,Gauss,K.F.(17771855),德国数学家、物理学家、天文学家,高斯公式物理意义-通量与散度小结 思考题 作业 fl,2,格林公式,把平面上的,闭曲线积分,与,本节的,高斯公式,表达了空间闭曲面,上的,曲面积分,与曲面所围空间区域上的,三重积分,的关系,.,所围区域的,二重积分,联系,起来,.,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,2 格林公式把平面上的闭曲线积分与本节的高斯公,3,一、高 斯 公 式,高斯公式也称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基公式,.(,俄,)1801 1861,具有,则有公式,一阶连续偏导数,或,高斯公式,外侧,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,3一、高 斯 公 式高斯公式也称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯,4,证明思路,分别证明以下三式,从而完成定理证明,.,只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明,.,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,4 证明思路 分别证明以下三式,从而完成定理证明.只证其中第,5,证,设空间区域,母线平行于,z,轴的柱面,.,即边界面,三部分组成,:,(,取下侧,),(,取上侧,),(,取外侧,),高斯,(Gauss),公式 通量与散度,5证设空间区域母线平行于z轴的柱面.即边界面三部分组成:(,6,由,三重积分,的计算法,投影法,(,先一后二法,),高斯,(Gauss),公式 通量与散度,6由三重积分的计算法投影法(先一后二法)高斯(Gauss)公,7,由,曲面积分,的计算法,取,下,侧,取,上,侧,取,外,侧,一投,二代,三定号,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,7 由曲面积分的计算法取下侧,取上侧,取外侧 一投,二代,三,8,于是,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,8于是高斯(Gauss)公式 通量与散度,9,同理,合并以上三式得,自己证,高斯公式,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,9同理合并以上三式得自己证高斯公式高斯(Gauss)公式,10,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,若区域,的边界曲面,与任一平行于坐标轴,的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的,曲面把,分为有限个闭区域,使得每个闭区域满,足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两,个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正,好抵消,.,因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正,确的,.,10高斯(Gauss)公式 通量与散度若区域的边界曲面与任,11,由两类曲面积分之间的关系知,高斯公式为计算,(,闭,),曲面积分提供了,它能简化曲面积分的计算,.,一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系,.,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,Gauss,公式的实质,11由两类曲面积分之间的关系知高斯公式为计算(闭)曲面积分提,12,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,使用,Guass,公式时应注意,:,使用,Guass,公式时易出的差错,:,(1),搞不清,是对什么变量求偏导,;,(2),不满足高斯公式的条件,用公式计算,;,(3),忽略了,的取向,注意是,取闭曲面的,外侧,.,高斯公式,12高斯(Gauss)公式 通量与散度使用Guass公式时应,二、简单的应用,解,二、简单的应用解,高斯公式-通量与散度ppt课件,15,解,球,例,2,外侧,.,因,是闭曲面,可利用,高斯公式,计算,.,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,15解 球 例2外侧.因是闭曲面,可利,16,例,3,解,外侧,.,?,能否直接用,点,(,x,y,z,),在曲面上,然后再用,高斯公式,.,可先用曲,面方程将被积,因被积函数中的,函数化简，,高斯公式,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,16例3解 外侧.?能否直接用点(x,y,z)在曲面上,然,17,有时可作,辅助面,(,将辅助面上的积分减去,).,化为闭曲面的曲面积分,然后利用,高斯公式,.,对有的,非闭曲面,的曲面积分,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,17有时可作辅助面,(将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲,18,例,4,计算曲面积分,之间,下侧,.,的法向量的方向余弦,.,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,部分的,解,空间曲面,在,xOy,面上的,曲面,不是,为利用高斯公式,投影域为,补,构成,封闭曲面,使用,高斯公式,.,封闭曲面,18例4计算曲面积分之间下侧.的法向量的方向余弦.高斯(Ga,19,由对称性,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,先二后一法,19由对称性高斯(Gauss)公式 通量与散度先二后一法,20,故所求积分为,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,20故所求积分为高斯(Gauss)公式 通量与散度,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,高斯(Gauss)公式 通量与散度,证,利用高斯公式，即得,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,证利用高斯公式，即得高斯(Gauss)公式 通量与散度,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,高斯(Gauss)公式 通量与散度,沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件高斯(Gauss)公式 通量,我们有以下结论：,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,我们有以下结论：高斯(Gauss)公式 通量与散度,26,练习,利用,高斯公式,计算三重积分,提示,则,取,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,考虑到,选取相当自由，,26练习利用高斯公式计算三重积分提示则取高斯(Gauss)公,27,由高斯公式,极坐标,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,27由高斯公式极坐标高斯(Gauss)公式 通量与散度,28,被积函数中有抽象函数,故无法直接计算,.,?,如直接计算,分析,用,高斯公式,.,例,是锥面,所围立体的表面,计算设,f,(,u,),是有连续的导数,计算,和球面,及,外侧,.,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,28 被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.?如直接计算分,29,解,由于,故由,高斯公式,=,球,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,29解由于故由高斯公式=球高斯(Gauss)公式 通量与散,30,解,(,如图,),练习,计算曲面积分,1987,年研究生考题,计算,(10,分,),绕,y,轴旋转曲面方程为,一周所成的曲面,它的法向量与,y,轴正向的夹角,绕,y,轴旋转,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,30解(如图)练习计算曲面积分 1987年研究生考题,计算(,31,取右侧,.,有,高斯公式,柱坐标,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,31取右侧.有 高斯公式柱坐标高斯(Gauss)公式 通量与,32,取右侧,故,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,32取右侧故高斯(Gauss)公式 通量与散度,1.,通量,为向量场,设有一向量场,则称沿场中,有向曲面,某一侧的曲面积分,:,通量,.,flux,divergence,穿过曲面,这一侧的,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,二、物理意义,通量,与,散度,通量的计算公式,1.通量为向量场 设有一向量场则称沿场中有向曲面某一侧,2,.散度,设有向量场,为场中任一点,在,P,点的某邻域内作一包含,P,点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为,表示,内穿出的通量,若当,缩成,P,点时,极限,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,记为,散度,.,存在,则该极限值就称为向量场,在,P,点处的,即,2.散度设有向量场为场中任一点,在P点的某邻域内作一包含P点,散度在直角坐标系下的形式,积分中值定理,两边取极限,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,散度在直角坐标系下的形式积分中值定理,两边取极限,高斯(Ga,散度的计算公式,设,均可导,点处的散度为,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,高斯公式,可写成,散度的计算公式设均可导,点处的散度为高斯(Gauss)公式,例,向量场,1989,年研究生考题,填空,(3,分,),解,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,例向量场 1989年研究生考题,填空(3分)解高斯(Gaus,练习,设数量场,解,先求梯度,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,练习设数量场解先求梯度高斯(Gauss)公式 通量与散度,再求,的散度,.,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,设数量场,再求的散度.高斯(Gauss)公式 通量与散度设数量场,四、小结,3,物理意义,2,高斯公式的实质,1,高斯公式,(,注意使用的条件,),表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系,.,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,四、小结3物理意义2高斯公式的实质1高斯公式(注意使用,思考题,曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？高斯(Gauss,思考题解答,曲面应是分片光滑的,闭,曲面,.,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,思考题解答曲面应是分片光滑的闭曲面.高斯(Gauss)公式,练 习 题,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,练 习 题高斯(Gauss)公式 通量与散度,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,高斯(Gauss)公式 通量与散度,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,高斯(Gauss)公式 通量与散度,练习题答案,高斯,(Gauss),公式 通量与散度,练习题答案高斯(Gauss)公式 通量与散度,