章末复习与小结,第十三章 轴对称,专题选讲,知识网络,重难突破,课后习题,章末复习与小结第十三章 轴对称专题选讲知识网络重难突破课,1,知识网络,作轴对称图形的对称轴,生活中的轴对称,轴对称,画轴对称图形,关于坐标轴对称的点的坐标,的,关系,等腰三角形,等边三角形,应用,最短路径问题,含,30,角直角三角形,知识网络作轴对称图形的对称轴生活中的轴对称轴对称画轴对称图形,2,方法专题,6,两类重要的平分线,P56,方法专题,7,等腰三角形中的分类讨论,P57,方法专题,8,特殊三角形中常见辅助线的作法,P63,本章专题索引,专题选讲,方法专题,9,共顶点的等腰三角形,P65,方法专题6 两类重要的平分线 P56方法专题7,3,专题选讲,两类重要的平分线,类型 角平分线与垂直平分线的综合,例,1,如图，在,ABC,中，,BAC=90，,ABC,=2,C,，,BE,平分,ABC,交,AC,于点,E,，,AD,BE,交,BE,于点,D,，交,BC,于点,F,，有下列结论：,AC,-,BE,=,AE,；点,E,在线段,BC,的垂直平分线上；,DAE,=,C,.其中正确的有,_,（填序号即可）.,专题选讲 两类重要的平分线类型 角平分线与垂直平分线,4,专题选讲,两类重要的平分线,类型 角平分线与垂直平分线的综合,例,2,如图，已知在,ABC,中，,AD,是,BAC,的平分线，,AD,的垂直平分线交,BC,的延长线于点,F,.,求证：,BAF,=,ACF,.,专题选讲 两类重要的平分线类型 角平分线与垂直平分线,5,专题选讲,两类重要的平分线,类型 角平分线与垂直平分线的综合,证明：,AD,是,BAC,的平分线,，,BAD,=,DAC,.,FE,是,AD,的垂直平分线,，,FA,=,FD,，,FAD,=,FDA,.,BAF,=,FAD,+,BAD,ACF,=,FDA,+,DAC,BAF,=,ACF,.,专题选讲 两类重要的平分线类型 角平分线与垂直平分线,6,专题选讲,两类重要的平分线,类型 角平分线与垂直平分线的综合,例,3,如图，,ABC,的外角,DAC,的平分线交,BC,边的垂直平分线于点,P,，,PD,AB,于,D,，,PE,AC,于,E,.,求证：,BD,=,CE,.,专题选讲 两类重要的平分线类型 角平分线与垂直平分线,7,专题选讲,两类重要的平分线,类型 角平分线与垂直平分线的综合,BD=CE,.,证明：,连接,BP，CP.,点,P,在,BC,的垂直平分线上，,BP=CP,.,AP,是,DAC,的平分线，,PD,AB,，,PE,AC,.,DP,=,EP,.,在,Rt,BDP,和,Rt,CEP,中，,Rt,BDP,Rt,CEP,（,HL,）.,BP=CP,DP=EP,专题选讲 两类重要的平分线类型 角平分线与垂直平分线,8,类型一 针对腰长和底边长进行分类,等腰三角形中求周长时忽略三边关系：当腰和底不明确时需分类讨论，然后看它们,是否满足三角形的三,边关系,，不满足的要舍去.,易错提醒,专题选讲,等腰三角形中的分类讨论,例,若实数,x,y,满足|,x,-,5,|+,y,-,10=0,，则以,x,y,的值为边长的等腰三角形的周长为,_,.,25,类型一 针对腰长和底边长进行分类 等腰三角形中求周长,9,类型一 针对腰长和底边长进行分类,专题选讲,等腰三角形中的分类讨论,练一练：,已知等腰三角形,ABC,中，一腰,AC,上的中线,BD,将三角形的周长分成,9 cm,和,12 cm,两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为,_,.,6 cm,和,9 cm,或,8 cm,和,5 cm,提示：分类讨论，计算结果根据实际情况进行取舍。,类型一 针对腰长和底边长进行分类专题选讲 等腰三角形中,10,类型二 针对顶角和底角进行分类,专题选讲,等腰三角形中的分类讨论,顶角、底角不明确时求角的度数漏解：当等腰三角形的顶角、底角不明确时一般,要分情况讨论,，然后根,据“三角形的内角和为180”及“等腰三角形两底角相等”求解，注意,等腰三角形的底角只能是锐角,.,易错提醒,50,或,80,例,已知等腰三角形的一个外角为,130,，则它的顶角的度数为,_,.,类型二 针对顶角和底角进行分类专题选讲 等腰三角形中的,11,类型二 针对顶角和底角进行分类,专题选讲,等腰三角形中的分类讨论,练一练：,我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”.如果等腰三角形的“内角正度值”为,45,，那么该等腰三角形的顶角等于,_,.,30,或,90,提示：分类讨论，计算结果根据实际情况进行取舍。,类型二 针对顶角和底角进行分类专题选讲 等腰三角形中的,12,类型三 针对锐角三角形和钝角三角形进行分类,例,在,ABC,中，,AB=AC,，,AB,的垂直平分线与,AC,所在直线相交所得的锐角为,40,，则底角,B,等于（）,A.,20,B.,60,或,20,C.,65,或,25,D.,60,专题选讲,等腰三角形中的分类讨论,C,类型三 针对锐角三角形和钝角三角形进行分类例 在ABC,13,练一练：,在,ABC,中，,AB=AC,，,AB,的垂直平分线交,AB,于点,D,，交直线,AC,于点,E,，,AEB,=,70,，那么,BAC,等于（）,A.,55,或,125,B.,65,C.,55,D.,125,A,类型三 针对锐角三角形和钝角三角形进行分类,专题选讲,等腰三角形中的分类讨论,练一练：在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点,14,类型四 确定等腰三角形的数目,专题选讲,等腰三角形中的分类讨论,例,如图，在,Rt,ABC,中，,ACB,=,90,，在直线,BC,或,AC,上取一点,P,，使得,PAB,为等腰三角形，则符合条件的点,P,共有（）,A.,9,个,B.,8,个,C.,7,个,D.,6,个,B,类型四 确定等腰三角形的数目专题选讲 等腰三角形中的分,15,类型四 确定等腰三角形的数目,专题选讲,等腰三角形中的分类讨论,4,练一练：,如图，网格中的每个小正方形的边长为,1,，,A,，,B,是格点（各小正方形的顶点是格点），则以,A,，,B,，,C,为等腰三角形顶点的所有格点,C,的位置有,_,个.,类型四 确定等腰三角形的数目专题选讲 等腰三角形中的分,16,专题选讲,特殊三角形中常见辅助线的作法,类型一 利用“三线合一”作辅助线,例,如图，在,ABC,中，,AB=AC,，,D,是,BC,的中点，过,A,作,EF,BC,，且,AE=AF,，求证：,DE=DF,.,又,AE,=,AF,，,AD,垂直平分,EF,，,DE=DF,.,证明：,连接,AD,.,在,ABC,中，,AB=AC,，,D,是,BC,的中点，,AD,BC,.,EF,BC,，,AD,EF,.,专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型一 利用“三,17,专题选讲,特殊三角形中常见辅助线的作法,类型一 利用“三线合一”作辅助线,练一练：,如图，在,ABC,中，,AB=AC,，点,D,是,BA,延长线上一点，点,E,在,AC,上，且,AD,=,AE,，求证：,DE,BC,.,AM,BC,，,DE,BC,.,证明：,过点,A,作,AM,BC,于点,M,.,AB=AC,，,BAC,=,2,BAM,.,AD,=,AE,，,D,=,AED,，,BAC,=,D,+,AED,=,2,D,，,BAM,=,D,，,DE,AM,.,M,专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型一 利用“三,18,专题选讲,特殊三角形中常见辅助线的作法,类型二 作平行线构造等腰三角形,例,已知,ABC,为等边三角形，点,D,为,AC,上的一个动点，点,E,为,BC,延长线上一点，且,BD=DE,.,（1）如图1，若点,D,在边,AC,上，猜想线段,AD,与,CE,之间的关系，并说明理由；,提示：,过点,D,作,BC,的平行线.,专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型二 作平行线,19,专题选讲,特殊三角形中常见辅助线的作法,类型二 作平行线构造等腰三角形,BPD,DCE,（,AAS,），,PD,=,CE,，,AD,=,CE,.,解：,（1）,AD=CE,.理由如下：,过点,D,作,DP,BC,，交,AB,于点,P,.,ABC,是等边三角形，,APD,也是等边三角形，,AP=PD=AD,，,APD,=,ABC,=,ACB,=,ADP,=,60,.,DB,=,DE,，,DBC,=,DEC,.,DP,BC,，,PDB,=,CBD,，,PDB,=,DEC,.,又,BPD,=,A,+,ADP,=,120,，,DCE,=,A,+,ABC,=,120,，,BPD,=,DCE,.,在,BPD,和,DCE,中，,PDB,=,DEC,BPD,=,DCE,DB=DE,P,专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型二 作平行线,20,专题选讲,特殊三角形中常见辅助线的作法,类型二 作平行线构造等腰三角形,例,已知,ABC,为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点,E,为,BC,延长线上一点，且,BD=DE,.,（2）如图2，若点,D,在,AC,的延长线上，（1）中的结论是否成立？请说明理由.,提示：,过点,D,作,BC,的平行线.,专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型二 作平行线,21,专题选讲,特殊三角形中常见辅助线的作法,类型二 作平行线构造等腰三角形,BPD,DCE,（,AAS,），,PD=CE,，,AD=CE,.,解：,过点,D,作,DP,BC,，交,AB,的延长线于点,P,.,ABC,是等边三角形，,APD,也是等边三角形，,AP,=,PD,=,AD,，,P,=,ABC,=,ACB,=,PDC,=,60,.,DB,=,DE,，,DBC,=,DEC,.,DP,BC,，,PDB,=,DBC,，,PDB,=,DEC,.,P,在,BPD,和,DCE,中，,PDB,=,DEC,，,P,=,DCE,=,60,，,DB,=,DE,，,专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型二 作平行线,22,专题选讲,特殊三角形中常见辅助线的作法,类型三 用“截长补短法”构造等腰三角形,例,如图，在,ABC,中，,BAC,=120,，,AD,BC,于点,D,，且,AB+BD=DC,，求,C,的度数.,专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型三 用“截长补,23,专题选讲,特殊三角形中常见辅助线的作法,类型三 用“截长补短法”构造等腰三角形,BAC,=,120,B,+,C,=,180-120=60,3,x,=60,x,=20,C,=,20.,解：,在,DC,上截取,DE=DB,，连接,AE,.,设,C,=,x,.,AB,+,BD,=,DC,，,DE,+,CE,=,DC,，,DE,=,DB,，,CE,=,AB,.,AD,BC,，,DB,=,DE,，,直线,AD,是,BE,的垂直平分线，,AB,=,AE,，,CE,=,AE,，,B,=,AEB,，,C,=,CAE,.,又,AEB,=,C,+,CAE,，,AEB,=,2,x,，,B,=2,x,B,+,C,=,3,x,.,E,专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型三 用“截长补,24,专题选讲,特殊三角形中常见辅助线的作法,类型四 用“延长法”构造等腰三角形,例,如图，,AB,CD,，1=2，,AD,=,AB,+,CD,.求证：,（1）,BE=CE,；,（2）,AE,DE,；,（3）,AE,平分,DAF,.,专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型四 用“延长法,25,专题选讲,特殊三角形中常见辅助线的作法,类型四 用“延长法”构造等腰三角形,（3）由（1）知,AD=AF,，由（2）知,DE=EF,，,AE,平分,DAF,.,证明：,（1）延长,AB,，,DE,交于点,F,.,AB,CD,2,=,F,.,1,=,2,，,1,=,F,，,AD=AF.,AD=AB+CD,，,AF=AB+BF,，,CD=BF,.,DCE,FBE,（,AAS,）.,BE=CE,（2）由（1）知,