单击此处编辑母版标题样式,*,北邮概率统计课件,概率统计,一,.,数学期望的定义,二,.,随机变量的函数的数学期望,三,.,数学期望的性质,四,.,常见分布的数学期望,数学期望,一.数学期望的定义二.随机变量的函数的数学期望三.数学期望的,设 离散型随机变量,X,的分布律为,:,P,(,X,=x,k,)=,p,k,k,=1,2,也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个,绝对收敛的级数的和,.,若正项级数,收敛，,定义,1,1.,离散型随机变量的数学期望,的和为随机变量,X,的数学期望，记为：,则称此级数,一,.,数学期望的定义,设 离散型随机变量X的分布律为:也就是说，离散型随机变量,注：,是个,(,实,),数。它,形式上,是,X,的可能取值,的加权平均值；,本质上,体现了,X,的真正的平,均，故常称 为,X,的均值；,物理上,表示了一个质点系的重心坐标。,的,计算,：当,X,的可能取值为有限时，,则计算有穷和；当,X,的可能取值为无限时，,则计算级数的和。,若,不绝对收敛，则称,不存在,注：是个(实)数。它形式上是X的可能取值的加权平均值；本质,例,4.1,某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为：,10000,元、,1000,元、,100,元、,10,元、,1,元,.,假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为：,0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的奖金额,X,的数学期望,.,例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇,解,每次摇奖摇出的奖金额,X,是一个随机变量，易知它的分布律为,X,10000 1000 100 10 1,p,k,0.0001 0.0015 0.0134 0.1 0.885,因此，,E,（,X,）,=100000.0001+10000.0015+1000.0134,+100.1+10,.,885,=5.725,.,可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足,6,元,.,这个值对商店作计划预算时是很重要的,.,解 每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知它的分布律,例,4.4,设随机变量,X,服从柯西（,Cauchy,）分布，其概率密度为,试证,E,（,X,）不存在,.,故,E,（,X,）不存在,.,证,由于,例4.4 设随机变量X服从柯西（Cauchy）分布，其概率,连续型随机变量的数学期望的引出,设,X,是连续型随机变量，其密度函数为,f,(,x,),在数轴上取很密的分点,x,0,x,1,x,2,，则,X,落在小区间,x,i,x,i,+1,),的概率是,：,小区间,x,i,x,i+1,),阴影面积近似为,2.,连续性随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望的引出 设X是连续型随机变量，其密,由于,x,i,与,x,i,+1,很接近,所以区间,x,i,x,i,+1,),中,的值可以用,x,i,来近似代替,.,这正是,的,渐近和式,.,变量,近似,，该离散型随机变量,因此,X,与以概率,取值,x,i,的离散型随机,的数学期望为：,阴影面积近似为,小区间,x,i,x,i+1,),注意到：,由于 xi 与 xi+1 很接近,所以区间 xi,x,由此启发引进如下定义,2.,设 连续型随机变量,X,的概率密度函数,为,f,(,x,),，若积分,为连续型随机变量,X,的数学期望，记为：,也就是说，连续型随机变量的数学期望是一个,绝对收敛的积分,.,定义,2,收敛，则称此,积分的值,由此启发引进如下定义2.设 连续型随机变量X的概率密度函数为,二,.,随机变量的函数的数学期望,定理,4.1,设,Y,是随机变量,X,的函数，即,Y=g,(,X,),g,(,x,)是连续函数。,二.随机变量的函数的数学期望定理4.1 设Y是随机变量,推广,：,设,Z,是随机向量（,X,Y,）的函数，即,Z=g,(,X,Y,)（,g,(,x,y,)是连续函数）,推广：设Z是随机向量（X,Y）的函数，即Z=g(X,Y),例,4,.,6,对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间,a,，,b,内，求球体积的数学期望,.,解,设随机变量,X,表示球的直径，,Y,表示球的体积，依题意，,X,的概率密度为,球体积 ，由（,4,.,6,）式得,例4.6 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间a，,X,Y,是两个随机变量，则：,X,Y,是两个相互独立的随机变量，则：,设,是常数，则：,设,是常数，,X,是随机变量，则：,三,.,数学期望的性质,X,Y是两个随机变量，则：X,Y是两个相互独立的随机变量，则,证明：,设随机变量（,X,Y,）的概率密度是,f(x,y),，,其边缘概率密度为 ，则,则性质（,3,）得证！,概率论数学期望ppt课件,若,X,和,Y,相互独立，则,故有,：,性质（,4,）得证！,若X和Y相互独立，则,例,4.9,设一电路中电流,I,（安）与电阻,R,（欧）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为,试求电压,V,=,IR,的均值,.,解,例4.9 设一电路中电流I（安）与电阻R（欧）是两个相互独,(1),(01),分布,E,（,X,）,=0(1,-,p,)+1,p,=,p,.,(2),二项分布,(3),泊松分布,(4),均匀分布,(5),指数分布,四,.,常见分布的数学期望,(1)(01)分布 E（X）=0(1-p),它,的分布律为,:,若随机变量,X,只能取,0,与,1,两个值，它的分布律为,:,则：,设随机变量,X,服从参数为,(n,p),的二项分布，,(1),分布,即,(2),二项分布,它的分布律为:若随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它,则：,时,即,:,令,:k-1=t,则：时即:,(3),泊松分布,若随机变量,X,的所有可能取值为：,而它的分布律,(,它所取值的各个概率,),为：,即,:,则,:,即,:,令：,K-1=j,(3)泊松分布若随机变量X 的所有可能取值为：,则,:,(4).,均匀分布,若连续型随机变量,X,具有概率密度,f(x),为：,即,0,其,它,即,:,则:(4).均匀分布若连续型随机变量 X 具有概率密度,(5).,指数分布,若连续型随机变量,X,具有概率密度,f(x),为：,(5).指数分布若连续型随机变量 X 具有概率密度 f(,(6).,正态分布,若随机变量,X,的,概率密度为：,即,:,则,:,(6).正态分布 若随机变量 X 的概率密度为：即:则:,即,:,结论：,正态分布中密度函数的参数 恰好就是,随机变量,X,的数学期望,.,即:结论：正态分布中密度函数的参数 恰好就是,