单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,等腰三角形的判定(2),*,一、复习引入,定义：,(,三线合一,),等腰三角形,有,两边相等,的三角形是,等腰三角形,。,性质,1,：,等腰三角形的,两个底角相等,。,(,等边对等角,),性质,2,：,等腰三角形的底边上的中线和高线、顶角平分线互相重合。,等腰三角形的判定(2),1,一、复习引入定义：(三线合一)等腰三角形有两边相等的三角形是,O,A,B,如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得A=B。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素,）？,问题情境：,等腰三角形的判定(2),2,OAB 如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到,探究新知,操作一,做一做,你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？,操作二,量一量，线段AB与AC的长度。,画ABC.使BC30,AB=AC,怎样用数学推理进行证明呢？,等腰三角形的判定(2),3,探究新知 操作一做一做你发现了什么结论？其他同学的结果,A,B,C,D,1,2,已知：如图,在ABC中，B=C。,求证：AB=AC,你还有其他证法吗,?,证明:,作BAC的平分线AD,1=2,在,BAD,和,CAD,中,如果一个三角形有,两个角相等,那么这两,个角所对的边也相等,B=C(,已知,),1=2(,已证,),AD=AD(,公共边,),AB=AC,(,全等三角形的对应边相等,),BAD CAD(,A.A.S.,),等腰三角形的判定(2),4,ABCD12已知：如图,在ABC中，B=C。你还有其他,证明：作,ADBC，,垂足为D,ADB=ADC=90,0,在 BAD和CAD中，,B=C(已知),ADB=ADC(已证),AD=AD(,公共边,）,BADCAD（A.A.S.）,AB=AC,（,全等三角形的对应边相等,）,已知：如图,在ABC中，B=C。,求证：AB=AC,A,B,C,D,等腰三角形的判定(2),5,证明：作ADBC，垂足为D已知：如图,在ABC中，B=,A,B,C,如果一个三角形有,两个角相等,，那么这,两个角所对的边也相等,几何语言：,B=C(已知),AB=AC(,等角对等边,),等腰三角形的判定定理：,(,简写成,“,等角对等边,”,),。,注意：在,同一个三角形,中应用哟！,等腰三角形的判定(2),6,ABC如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等,等腰三角形的性质与判定有区别吗?,性质是:1.等边 等角,2.三线合一,判定是:等角 等边,等腰三角形的判定(2),7,等腰三角形的性质与判定有区别吗?性质是:1.等边,已知,:,如图,DEBC,1=2.,求证,:BD=CE.,证明：,DEBC,1=B,2=C,1=2,AD=AE(,等角对等边,),B=C(,等量代换,),AB=AC,(,等角对等边,),AB-AD=AC-AE,即,BD=CE,B,C,E,A,D,2,1,等腰三角形的判定(2),8,已知:如图,DEBC,1=2.求证:BD=CE.,已知：如图，ADBC，BD平分ABC,求证：AB=AD,A,B,C,D,证明：,ADBC,ADB=DBC,BD,平分,ABC,ABD=DBC,ABD=ADB(,等量代换,),AB=AD(,等角对等边,),AB=AC,(,等角对等边,),等腰三角形的判定(2),9,已知：如图，ADBC，BD平分ABCABCD证明：,已知：在,ABC 中，1=3,2=4，,AD平分,BAC。求证：ADBC,A,B,C,D,1,2,3,4,证明：,1=3,2=4,1+,2=3+4,即,ABC=ACB,AB=AC,(,等角对等边,),AD,平分,BAC,BAD=CAD,AD,在等腰,ABC,的顶角的角平分线上,ADBC(,等腰三角形的“三线合一”,),等腰三角形的判定(2),10,已知：在ABC 中，1=3,2=4，AD平分BA,例：如图,上午10 时，一条船从A处出发以,20海里每小时,的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得NAC=40NBC=80求从B处到灯塔C的距离,解：,NAC=40NBC=80,C=,NBC-,NAC,=80-40,=40,C=A,BA=BC,（等角对等边）,AB=20,（,12-10,）,=40,（海里）,BC=40,（海里）,答：,B,处到达灯塔,C,的距离为,40,海里。,小试牛刀,80,40,N,B,A,C,北,等腰三角形的判定(2),11,例：如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速,在ABC中，AB=AC，ABC和ACB的平分线交于点O.过O作EFBC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系,2ABO，3ACO,O,A,B,C,E,F,若,ABAC,，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？(1)中结论还成立吗？,解：,EF=BE+CF,理由如下：,A,B,C,O,E,F,1,3,2,4,EFBC,12，34,BO、CO分别平分ABC、ACB,1ABO 4ACO,BEEO FC=FO,(,等角对等边,),EF=EO+FO,EFBE+FC,等腰三角形的判定(2),12,在ABC中，AB=AC，ABC和ACB的平分线交于点O,求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。,E,B,A,D,C,2,1,已知：如图，CAE是ABC的外角，1=2，ADBC,求证：AB=AC,分析：要证,AB=AC,，就要证,B=C,，而已知有,1=2,，只要找出,B,、,C,与,1,、,2,的关系就可以了。,等腰三角形的判定(2),13,求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个,解：,ADBC,1=B,(两直线平行，同位角相等）,2 C,(两直线平行，内错角相等）,1=2,B C(等量代换),AB=AC(,等角对等边,）,E,B,A,D,C,2,1,已知：如图，CAE是ABC的外角，1=2，ADBC。求证：AB=AC,等腰三角形的判定(2),14,解：ADBCEBADC21已知：如图，CAE是ABC,A,B,C,从以上讲解我们可以得到什么结论？,已知：在ABC中，A=B=C,求证：AB=AC=BC,等腰三角形的判定(2),15,ABC从以上讲解我们可以得到什么结论？已知：在ABC中，,这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的一种方法。,推论1,：,三个角都相等,的三角形是,等边三角形,。,等腰三角形的判定(2),16,这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形,符号语言：,在,ABC,中，,A,=,B,=,C,，,ABC,是等边三角形,细心观察，探索性质,等边三角形的判定定理,1,：,三个角都相等的三角形是等边三角形,C,A,B,等腰三角形的判定(2),17,符号语言：细心观察，探索性质等边三角形的判定定理1：C,A,B,C,60,60,你又可以得到什么？,已知：在等腰ABC中，AB=AC，A=60(或者B=60）,求证：AB=AC=BC,等腰三角形的判定(2),18,ABC6060你又可以得到什么？已知：在等腰ABC中，,推论2,：,有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。,这是由判定定理推导出的又一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的另外一种方法。,等腰三角形的判定(2),19,推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。这是由判,等边三角形的判定定理,2,：,有一个角为,60,的等腰三角形是等边三角形,C,A,B,符号语言：,在,ABC,中，,BC,=,AC,，,A,=,60,ABC,是等边三角形,等腰三角形的判定(2),20,等边三角形的判定定理2：C A B 符号语言：等腰三角形,证明：,ABC,是等边三角形，,A,=,B,=,C,=,60,DE,BC,，,ADE,=,B,=,60,，,AED,=,C,=,60,A,=,ADE,=,AED,=,60,ADE,是等边三角形,ABC,是等边三角形，,DE,BC,分别交,AB,，,AC,于点,D,，,E,求证：,ADE,是等边三角形.,A,B,C,D,E,等腰三角形的判定(2),21,证明：ABC 是等边三角形，ABC 是等边三角形，D,证明：,ABC,是等边三角形，,A,=,ABC,=,ACB,=,60,DE,BC,ABC,=,D,=,60,ACB,=,E,=,60,A,=,D,=,E,=,60,ADE,是等边三角形,动脑思考，变式训练,变式,1：,若点,D,、,E,在边,AB,、,AC,的延长线上，且,DE,BC,，结论还成立吗？,A,D,E,B,C,等腰三角形的判定(2),22,证明：ABC 是等边三角形，动脑思考，变式训练变式,变式,2：,若点,D,、,E,在边,AB,、,AC,的反向延长线上，且,DE,BC,，结论依然成立吗？,证明,：,ABC,是等边三角形,BAC,=,B,=,C,=,60,DE,BC,B,=,D,=,60,C,=,E,=,60,EAD,=,D,=,E,=,60,ADE,是等边三角形,A,D,E,B,C,等腰三角形的判定(2),23,变式2：若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且D,证明：,延长,BC,到,D,，使,BD,=,AB,，连结,AD,，,A,C B,=,90,，B,AC,=,30,B,=180,-A,CB -,BAC,=180,-90-30,=,60,ABD,是等边三角形(,有一个角等于,60,的等腰三角形是等边三角形,),由等边三角形的性质可知，,AC,也是,BD,边上的中线，,已知：如图，在,Rt,ABC,中，,C,=,90,，,A,=,30,.求证：,BC,=,AB,A,B,C,D,BC,=,BD,=,AB,追问：你还能用其他方,法证明吗？,30,60,等腰三角形的判定(2),24,证明：延长BC 到D，使BD=AB，连结AD，已知：如,证明：,作,BCE,=,60,，交,AB,于,E,，连结,CE,，,AC,B,=,90,ACE,=,90,-,60,=,30,在A,BC,中,ACB,=,90,，,A,=,30,B,=90-A=,60,在,BCE,中，,BCE,=,60,B,=,60,BEC=BCE=B=60,BCE,是等边三角形,BC,=,BE,=,CE,E,A,B,C,已知：在,Rt,ABC,中，,C,=,90,，,A,=,30,.,求证：,BC,=,AB,在,ACE,中，,A,=,30,，,ACE,=,30,AEC,是等腰三角形,CE,=,AE,BC,=,BE,=,CE,=,AE,BC,=,AB,60,30,30,60,等腰三角形的判定(2),25,证明：作BCE=60，交AB于E，连结CE，EABC已,符号语言：,在,Rt,ABC,中，,C,=,90,，,A,=,30,，,动手操作，探索性质,在直角三角形中，,如果,一个锐角等于,30,，,那么它,所对的直角边,等于,斜边的一半.,A,B,C,BC,=,AB,30,等腰三角形的判定(2),26,符号语言：动手操作，探索性质在直角三角形中，如果一个锐角,5,课堂练习,练习1,如图，在,ABC,中，,C,=,90,，,A,=,30,，,AB,=,10,，则,BC,的长为,A,B,C,30,等腰三角形的判定(2),27,5课堂练习练习1如图，在ABC 中，C=90，,1,课堂练习,练习,2,如图，在,ABC,中，,ACB,=,90,，,CD,是,高，,A,=,30,，,AB,=,4,则,BD,=,.,A,B,C,D,30,4,2,6,0,30,等腰三角形的判定(2),28,1课堂练习练习2如图，在ABC 中，ACB=90,如图，已知P、Q是ABC的边BC上两点，并且BPPQQCAPAQ，求BAC的大小,X,0,X,0,2X,0,X,0,2X,0,2X,0,X,0,X,0,+X,0,+2X,0,+X,0,+X,0,=180,0,解得 X,