单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,蚌埠学院 高等数学,第四节 隐函数求导与参数方程求导,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,第二章,11/15/2024,1,第四节 隐函数求导与参数方程求导一、隐函数的导数二、由参数方,显函数:,因变量是由其自变量的某个算式来表示.,比如：,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题2,:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,问题1,:隐函数是否可导?,例如,可确定,y,是,x,的函数,但此隐函数不能显化.,11/15/2024,2,显函数:因变量是由其自变量的某个算式来表示.一、隐函数的导,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(,含导数 的方程,),解,11/15/2024,3,隐函数求导方法:两边对 x 求导(含导数 的方程)解1,例,2.,解,11/15/2024,4,例2.解10/8/20234,例,3.,求椭圆,在点,处的切线方程.,解:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,11/15/2024,5,例3.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对 x,对数求导法,1.方法:,2,.适用范围:,先在 两边取对数,然后利用隐函,数的求导方法求出,y,的导数,.,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数.,例如幂指函数：,两端对,x,求导：,11/15/2024,6,对数求导法1.方法:2.适用范围:先在,例,3.,解,等式两边取对数得,也可这样求:,11/15/2024,7,例3.解等式两边取对数得也可这样求:10/8/20237,例,4.,解,等式两边取对数得,11/15/2024,8,例4.解等式两边取对数得10/8/20238,另例,两边取对数,两边对,x,求导,11/15/2024,9,另例两边取对数两边对 x 求导10/8/20239,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(,此时看成,x,是,y,的函数,),关系,11/15/2024,10,二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,11/15/2024,11,若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.,?,例,4.,设,且,求,已知,解:,练习:,P111,题,8(1),解:,注意:,11/15/2024,12,?例4.设,且求已知解:练习:P111 题8(1)解,例,5.,抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻,t,的运动速度的大小和方向.,解:,先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体,速度大小,再求,速度方向,(即轨迹的切线方向):,设,为切线倾角,则,11/15/2024,13,例5.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射,最远距离,速度的方向,11/15/2024,14,抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量达到最高点的时刻高,例,6.,设由方程,确定函数,求,解:,方程组两边对,t,求导,得,故,11/15/2024,15,例6.设由方程确定函数求解:方程组两边对 t 求导,另例,.,解,所求切线方程为,另例.,解,11/15/2024,16,另例.解 所求切线方程为另例.解10/8/202316,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率,相关变化率问题,解法:,找出相关变量的关系式,对,t,求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,11/15/2024,17,三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变,例,7.,一气球从离开观察员,500 m,处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为,500 m,时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:,设气球上升,t,分后其高度为,h,仰角为,则,两边对,t,求导,已知,h,=500m,时,11/15/2024,18,例7.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速,思考题:,当气球升至,500 m,时停住,有一观测者以,100 mmin,的速率向气球出发点走来,当距离为,500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对,t,求导,已知,求,11/15/2024,19,思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以100 m,试求当容器内水,例8.,有一底半径为,R,cm,高为,h,cm,的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:,设时刻,t,容器内水面高度为,x,水的,两边对,t,求导,而,故,体积为,V,则,11/15/2024,20,试求当容器内水例8.有一底半径为 R cm,高为 h,内容小结,1.,隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.,对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.,参数方程求导法,极坐标方程求导,4.,相关变化率问题,列出依赖于,t,的相关变量关系式,对,t,求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,11/15/2024,21,内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导,思考与练习,1.,求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解:,化为参数方程,当,时对应点,斜率,切线方程为,11/15/2024,22,思考与练习1.求螺线在对应于的点处的切线方程.解:化为参数,2.,设,求,提示:,分别用对数微分法求,答案:,11/15/2024,23,2.设求提示:分别用对数微分法求答案:10/8/20232,3.,设,由方程,确定,解:,方程两边对,x,求导,得,再求导,得,当,时,故由,得,再代入,得,求,作业,P110 1(1),(4);2;3(3),(4);,4(2),(4);5(2);6;7(2);,8(2),(4);9(2);10;12,11/15/2024,24,3.设由方程确定,解:方程两边对 x 求导,得再求导,