单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3,.,4,函数的应用,(,一,),函数的概念与性质,3.4函数的应用(一)函数的概念与性质,函数的应用(一)函数的概念与性质课件-人教高中数学A版必修一,利用,具体函数模型解决实际问题,1,.,常见的数学模型有哪些,?,提示,:,利用具体函数解决实际问题是我们需要关注的内容,具体函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,希望同学们能重点运用一次函数、二次函数、幂函数和分段函数等常见函数来解决问题,.,下面是几种常见的函数模型,:,(,1),一次函数模型,:,f,(,x,),=kx+b,(,k,b,为常数,k,0);,(3),二次函数模型,:,f,(,x,),=ax,2,+bx+c,(,a,b,c,为常数,a,0);,注意,:,二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见,.,(4),幂函数模型,:,f,(,x,),=ax,n,+b,(,a,b,n,为常数,a,0,n,1);,(5),分段函数模型,:,这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛,.,利用具体函数模型解决实际问题(3)二次函数模型:f(x)=a,2,.,数学模型可以用下面的图表来表示解决过程,.,2.数学模型可以用下面的图表来表示解决过程.,3,.,做一做,假设,某种商品靠广告销售的收入,R,与广告费,A,之间满足关系,R=a,广告效应,D=R-A,则当,A=,时,取得最大的广告效应,.,解析,3.做一做解析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,一次函数模型,的应用,例,1,某,厂日生产文具盒的总成本,y,(,元,),与日产量,x,(,套,),之间的关系为,y=,6,x+,30 000,而出厂价格为每套,12,元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒,(,),A,.,2 000,套,B.3 000,套,C.4,000,套,D.5 000,套,解析,:,因利润,z=,12,x-,(6,x+,30,000),所以,z=,6,x-,30,000,由,z,0,解得,x,5,000,故至少日生产文具盒,5,000,套,.,答案,:,D,反思感悟,一次函数,模型的应用,利用一次函数求最值,常转化为求解不等式,ax+b,0(,或,0),.,解答时,注意系数,a,的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练一次函数模型的应用解,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,变式训练,1,商店,出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个,20,元,茶杯每个,5,元,该商店推出两种优惠办法,:,(,1),买,一个茶壶赠一个茶杯,;,(,2),按,总价的,92%,付款,.,某顾客需购买茶壶,4,个,茶杯若干个,(,不少于,4,个,),若购买茶杯,x,(,个,),付款,y,(,元,),试分别建立两种优惠办法中,y,与,x,之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠,?,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练 1商店出售,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,解,:,由优惠办法,(1),可得函数解析式为,y,1,=,20,4,+,5(,x-,4),=,5,x+,60(,x,4,且,x,N,),.,由优惠办法,(2),可得,y,2,=,(5,x+,20,4),92%,=,4,.,6,x+,73,.,6(,x,4,且,x,N,),.,y,1,-y,2,=,0,.,4,x-,13,.,6(,x,4,且,x,N,),令,y,1,-y,2,=,0,得,x=,34,.,所以,当购买,34,个茶杯时,两种优惠办法付款相同,;,当,4,x,34,时,y,1,34,时,y,1,y,2,优惠办法,(2),更省钱,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:由优惠办法(1),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,二次函数模型的应用,例,2,某水果批发商销售每箱进价为,40,元的苹果,假设每箱售价不得低于,50,元且不得高于,55,元,.,市场调查发现,若每箱以,50,元的价格销售,平均每天销售,90,箱,.,价格每提高,1,元,平均每天少销售,3,箱,.,(1),求平均每天的销售量,y,(,箱,),与销售单价,x,(,元,/,箱,),之间的函数关系式,;,(2),求该批发商平均每天的销售利润,w,(,元,),与销售单价,x,(,元,/,箱,),之间的函数关系式,;,(3),当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润,?,最大利润是多少,?,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练二次函数模型的应用,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,解,:,(1),根据题意,得,y=,90,-,3(,x-,50),化简,得,y=-,3,x+,240(50,x,55,x,N,),.,(2),因为该批发商平均每天的销售利润,=,平均每天的销售量,每箱销售利润,.,所以,w=,(,x-,40)(,-,3,x+,240),=-,3,x,2,+,360,x-,9,600(50,x,55,x,N,),.,(3),因为,w=-,3,x,2,+,360,x-,9,600,=-,3(,x-,60),2,+,1,200,所以当,x,60,时,w,随,x,的增大而增大,.,又,50,x,55,x,N,所以当,x=,55,时,w,有最大值,最大值为,1,125,.,所以当每箱苹果的售价为,55,元时,可以获得最大利润,且最大利润为,1,125,元,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)根据题意,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,反思感悟,二次函数模型的应用,构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟 二次函数模,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,变式训练,2,某自来水厂的蓄水池存有,400,吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水,60,吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t,小时内供水总量为,120,吨,(0,t,24),.,(1),从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少,?,最少存水量是多少吨,?,(2),若蓄水池中水量少于,80,吨时,就会出现供水紧张现象,请问,:,在一天的,24,小时内,有几小时出现供水紧张现象,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2某自来水厂,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,分段,函数模型的应用,例,3,某,公司生产一种产品,每年投入固定成本,0,.,5,万元,此外每生产,100,件这种产品还需要增加投资,0,.,25,万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为,500,件,当出售的这种产品的数量为,t,(,单位,:,百件,),时,销售所得的收入约为,5,t-t,2,(,万元,),.,(1),若该公司的年产量为,x,(,单位,:,百件,),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量,x,的函数,;,(2),当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大,?,分析,:,利润,=,销售收入,-,总的成本,.,由于本题中的销量只能为,500,件,但生产的数量不确定,所以模型确定为分段函数模型,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练分段函数模型的应用,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,解,:,(1),当,0,5,时,产品只能售出,500,件,.,所以,所以,当,x=,4,.,75(,百件,),时,f,(,x,),有最大值,f,(,x,),max,=,10,.,781,25(,万元,),.,当,x,5,时,f,(,x,),12,-,0,.,25,5,=,10,.,75(,万元,),.,故当年产量为,475,件时,当年所得利润最大,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)当0,5,时,函数,f,(,x,),单调递减,f,(,x,),8,.,2,-,5,=,3,.,2(,万元,),.,当,0,x,5,时,函数,f,(,x,),=-,0,.,4(,x-,4),2,+,3,.,6,当,x=,4,时,f,(,x,),有最大值为,3,.,6,万元,.,故当工厂生产,4,百台时,可,使,盈利,最大,为,3,.,6,万元,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)由题意得G,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,幂函数模型的应用,例,4,某企业拟用,10,万元投资甲、乙两种商品,.,已知各投入,x,万元,甲、乙两种商品可分别获得,y,1,y,2,万元的利润,利润曲线,P,1,:,y,1,=ax,n,P,2,:,y,2,=bx+c,如图所示,.,(1),求函数,y,1,y,2,的解析式,;,(2),为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利润,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练幂函数模型的应用,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,失误警示,造成失分的原因如下,:,(1),观察图象不仔细,弄错点的坐标而导致出错,;,(2),计算不过关,将函数解析式求错,;,(3),二次函数图象与性质理解不透彻,将函数最值求错,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练失误警示造成失分的原,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,变式训练,4,某民营企业生产,A,B,两种产品,根据市场调查和预测,A,产品的利润与投资的函数模型为,y=k,1,x,B,产品的利润与投资的函数模型为,y=k,2,x,(,利润和投资的单位为百万元,),其关系分别如图,图,所示,.,(1),分别求出,A,B,两种产品的利润与投资的函数关系式,;,(2),该企业已筹集到资金,1,千万元,并准备全部投入到,A,B,两种产品的生产中,问怎样分配这,1,千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少,?(,精确到万元,),探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练4某民营企业,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制而致错,典例,如图所示,在矩形,ABCD,中,已知,AB=a,BC=b,(,b,3,b,x=b,时,S,有最大值,ab-b,2,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练正解:设四边形EFG,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,防范措施,对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量,x,受实际问题的约束,看似一个细节失误,但会造成严重错误,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练防范措施对实际问题中,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,变式训练,如图,OAB,是边长为,2,的正三角形,记,OAB,位于直线,x=t,(,t,0),左侧的图形的面积为,f,(,t,),则函数,f,(,t,),的,解析式,为,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练如图,OA,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,随堂演练,1,.,在固定电压差,(,电压为常数,),的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度,I,(,单位,:,安,