单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,向量方法部分,1向量方法部分,学海无涯,2,空间,向量,空间,向量,的运,算,空间,向量,基本,定理,空间,向量,的坐,标运,算,加减,和数,乘运,算,共线,向量,共面,向量,空间,向量,的数,量积,知识结构,夹角和距离,平行和垂直,学海无涯2空间向量空间向,学海无涯,3,1,、空间直角坐标系,以单位正方体,的顶点,O,为原点，分别以射线,OA,，,OC,，,的方向,为正方,向，以线段,OA,，,OC,，,的,长为单位长，建立三条数轴：,x,轴,y,轴,z,轴,这时我们建立了一,个,空间直角坐标系,C,B,A,D,OABC,?,?,?,?,?,xyz,O,?,D,O,?,D,O,?,C,D,B,A,C,O,A,B,y,z,x,O,为坐标原点，,x,轴,y,轴,z,轴叫坐标轴，通过每两个坐,标轴的平面叫坐标平面,一、基本概念,学海无涯31、空间直角坐,学海无涯,4,x,o,右手直角坐标系,y,z,空间直角坐标系,Oxyz,横轴,纵轴,竖轴,1,1,1,学海无涯4xo右手直角坐,学海无涯,5,2,、空间直角坐标系中点的坐标,有序实数组（,x,y,z,）叫做点,M,在此,空间,直角坐标系中的坐标，,记作,M,（,x,y,z,）,其中,x,叫做点,M,的横坐标，,y,叫做点,M,的,纵坐标,z,叫做点,M,的竖坐标,点,M,（,X,，,Y,，,Z,）,学海无涯52、空间直角坐,学海无涯,6,如果表示向量,n,的有向线段所在的直线垂,直于平面,称这个向量垂直于平面,记作,n,这时向量,n,叫做平面,的法向量,.,4,、平面的法向量,n,ur,/,/,若,则,称,是,直,线,的,方,向,向,量,a,l,al,r,r,r,3,、直线的方向向量,学海无涯6如果表示向量n,学海无涯,7,1,、假设平面法向量的坐标为,n=(x,y,z).,2,、根据,n,a=0,且,n,b=0,可列出方程组,1,1,1,2,2,2,0,0,x,x,y,y,z,z,x,x,y,y,z,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,、取某一个变量为常数,(,当然取得越简单越好,),便得到平面法向量,n,的坐标,.,a,n,b,5,、平面法向量的求法,设,a=(x,1,y,1,z,1,),、,b=(x,2,y,2,z,2,),是平面,内的两个不共线,的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若,n,a,且,n,b,则,n,.,换句话说,若,n,a=0,且,n,b=0,则,n,.,可按如下步骤求出平面的法向量的坐标,学海无涯71、假设平面法,学海无涯,8,例、已知,A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).,求平,面,ABC,的法向量,(,4,6,1,),(,4,3,2,),A,B,A,C,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,4,6,0,4,3,2,0,x,y,z,x,y,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,解：平面,ABC,的法向量为,:,(,3,4,1,2,),n,?,r,得,4,3,z,x,z,y,?,?,?,?,?,得,12,z,?,令,(,3,4,1,2,),A,B,C,n,?,?,r,平,面,的,法,向,量,(,),n,xyz,?,r,学海无涯8例、已知A(2,学海无涯,9,例、在棱长为,2,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,O,是面,AC,的中心,求面,OA,1,D,1,的法向量,.,解：以,A,为原点建立空间直角坐标系,O-xyz,（如图），,则,O,（,1,，,1,，,0,），,A,1,（,0,，,0,，,2,），,D,1,（,0,，,2,，,2,），,设平面,OA,1,D,1,的法向量的法向量为,n=(x,y,z),由,=,（,-1,，,-1,，,2,），,=,（,-1,，,1,，,2,）得,1,O,A,uuur,1,O,D,uuuu,r,2,0,2,0,x,y,z,x,y,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,0,x,z,y,?,?,?,?,?,解得,取,z=1,得平面,OA,1,D,1,的法向,量的坐标,n=(2,0,1),A,B,O,z,y,A1,C1,B1,A,x,C,D,D1,学海无涯9例、在棱长为2,学海无涯,10,5,、两法向量所成的角与二面角的关系,l,1,n,2,n,?,?,l,1,n,2,n,?,?,设,n,1,、,n,2,分别是二面角两个半平面,、,的法向量，,由几何知识可知，二面角,-L-,的大小与法向量,n,1,、,n,2,夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为,求两个平面法向量的夹角,.,学海无涯105、两法向量,学海无涯,11,二、基本公式：,1,、两点间的距离公式（线段的长度）,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,2,1,21,A,B,A,B,x,x,y,y,z,z,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,2,、向量的长度公式（向量的模）,2,2,2,2,a,a,x,y,z,?,?,?,?,r,r,学海无涯11二、基本公式,学海无涯,12,1,2,1,2,1,2,a,b,x,xy,yz,z,?,?,?,r,r,3,、向量的坐标运算公式,1,1,1,2,2,2,(,)(,),a,x,y,z,b,x,y,z,?,?,r,r,若,那,么,121,2,12,(,),a,b,x,x,y,y,z,z,?,?,?,?,?,r,r,1,1,1,(,),a,x,y,z,?,?,?,r,学海无涯12121212,学海无涯,13,1,2,1,2,12,|,|,(),?,?,?,?,?,?,?,?,?,r,r,a,b,x,x,y,y,z,z,R,1,1,1,2,2,2,|,|,x,y,z,a,b,x,y,z,?,?,?,r,r,4,、两个向量平行的条件,5,、两个向量垂直的条件,1,2,1,2,1,2,0,?,?,?,?,?,r,r,a,b,x,x,y,y,z,z,或,学海无涯13121212,学海无涯,14,1,2,3,1,2,3,1,2,3,3,3,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,y,y,y,y,z,z,z,z,7,、重心坐标公式,6,、中点坐标公式,1,2,1,2,1,2,2,2,2,x,x,x,y,y,y,z,z,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,学海无涯14123123,学海无涯,15,9,、直线与平面所成角公式,|,|,s,in,|,|,|,|,P,M,n,P,M,n,?,?,?,?,u,u,u,u,u,r,u,r,u,u,u,u,u,r,u,r,(,PM,l,?,M,?,?,n,r,为,?,的法向量,),8,、直线与直线所成角公式,|,|,c,o,s,|,|,|,|,A,B,C,D,A,B,C,D,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,10,、平面与平面所成角公式,1,2,1,2,c,o,s,|,|,|,|,n,n,n,n,?,?,?,?,u,r,u,u,r,u,r,u,u,r,(,为二面角两个半平面的法向量）,1,n,u,r,2,n,u,u,r,学海无涯159、直线与平,学海无涯,16,11,、点到平面的距离公式,|,|,|,|,PM,n,d,n,?,?,u,u,u,u,r,r,r,（,PM,为平面,的斜线,为平面,的法向量）,n,r,?,?,12,、异面直线的距离公式,|,|,|,|,AB,n,d,n,?,?,uuu,r,r,r,（,A,B,为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）,n,r,学海无涯1611、点到平,学海无涯,17,利,用,向,量,求,角,直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角（二面角）,利,用,向,量,求,距,离,点到直线的距离,点到平面的距离,直线到平面的距离,平行到平面的距离,直线到直线的距离,三、基本应用,学海无涯17利用向量求角,学海无涯,18,利,用,向,量,证,平,行,利,用,向,量,证,垂,直,直线与直线垂直,直线与平面垂直,平面与平面垂直,直线与直线平行,直线与平面平行,平面与平面平行,学海无涯18利用向量证平,学海无涯,19,设直线,l,m,的方向向量分别为,a,b,r,r,，平面,l,m,?,a,r,b,r,a,b,?,?,?,r,r,；,线面平行,?,?,?,u,r,v,r,u,v,.,?,?,?,r,r,线线平行,l,?,?,a,r,u,?,r,0,a,u,?,?,?,r,r,；,面面平行,?,?,的法向量分别为,u,v,r,r,，则,四、基本方法,1,、平行问题,学海无涯19设直线,lm,学海无涯,20,?,?,的法向量分别为,u,v,r,r,，则,设直线,l,m,的方向向量分别为,a,b,r,r,，平面,线线垂直,线面垂直,?,?,?,u,v,.,0,?,?,?,v,u,l,m,?,a,r,b,r,0,a,b,?,?,?,r,r,；,l,?,?,a,r,u,r,a,u,?,?,?,r,r,；,面面垂直,、垂直问题,学海无涯20,?的法向,学海无涯,21,设直线,l,m,的方向向量分别为,a,b,r,r,，平面,?,?,两直线,l,m,所成的角为,?,(,0,2,?,?,),cos,a,b,a,b,?,?,?,r,r,r,r,；,直线,l,与平面,?,所成的角为,?,(,0,2,?,?,),sin,a,u,a,u,?,?,?,r,r,r,r,；,平面,?,与平面,?,所成的角为,?,(,0,?,?,),u,v,u,v,cos,.,?,?,?,r,r,r,r,的法向量分别为,u,v,r,r,，则,、角度问题,学海无涯21设直线,lm,学海无涯,22,、距离问题,（）点到点的距离、点到平面的距离、直线,到直线的距离直接用公式求解。,（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平,面到平面的距离转化为点到平面的距离求,解。,学海无涯22、距离问题,学海无涯,23,例：,0,9,0,R,t,A,B,CB,C,A,A,B,C,?,?,?,?,中,，,现,将,沿,着,1,1,1,A,B,C,A,B,C,?,平,面,的,法,向,量,平,移,到,位,置,，,已,知,1,1,1,1,1,1,1,，,取,、,的,中,点,、,，,B,C,C,A,C,C,A,B,A,C,D,F,?,?,1,1,B,D,A,F,求,与,所,成,的,角,的,余,弦,值,.,C,A,1,A,B,1,B,1,C,1,D,1,F,题型一：线线角,五、典型例题,学海无涯23例：090,学海无涯,24,A,1,A,B,1,B,C,1,C,1,D,1,F,x,y,z,所以：,题型一：线线角,A,1,A,B,1,B,1,C,1,D,1,F,(,1,0,0,),(,0,1,0,),A,B,解：以点,C,为坐标原点建立空间,直角坐标系,如图所示，,不妨设,则,1,1,CC,?,C,xyz,?,C,1,1,1,1,1,(,0,1,),(,1,),2,2,2,F,D,),1,2,1,2,1,(,),1,0,2,1,(,1,1,?,?,?,?,D,B,F,A,?,?,1,1,1,1,|,|,3,0,1,0,|,|,|,|,A,F,B,D,A,F,B,D,?,?,?,r,r,r,r,1,1,c,o,s,A,F,B,D,?,?,u,u,u,r,u,u,u,u,r,|,|,所以,与,所成角的余弦值为,1,B,D,1,A,F,3,0,1,0,学海无涯24A1AB1B,学海无涯,25,例,.,在,三,棱,柱,中,，,底,面,是,正,三,角,形,，,底,面,，,求,证,：,A,B,C,A,B,C,A,A,A,B,C,A,C,A,B,B,C,A,B,?,?,?,?,.,2,(,3,0,0,)