单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/3/14,0,单击此处编辑母版标题样式,#,1.4,角平分线,第,1,课时,1.4 角平分线第1课时,1,定理,:,角平分线上的点到角的两边的距离相等,已知：,OC,是,AOB,的平分线，点,P,在,OC,上，,PD OA,，,PE OB,，垂足分别是,D,、,E.,求证：,PD=PE.,A,O,B,P,E,D,C,证明：,PDOA,PEOB,ODP=OEP,=90,在,RtODP,和,Rt OEP,中,ODP=OEP,DOP,EOP,OP=OP,RtODP Rt OEP(AAS),PD=PE,定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等已知：OC是AOB,2,角平分线的性质,定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,A,O,B,P,E,D,1,2,1=2,PD OA,，,PE OB,PD=PE.,提示,:,这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一,.,C,角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号,3,例,.,已知：如图，,ABC,中，,C,=90,，,AD,是,ABC,的角平分线，,DE,AB,于,E,，,F,在,AC,上,BD,=,DF,.,求证：,CF,=,EB,.,证明：,AD,平分,CAB,DE,AB,，,C,90,（已知）,CD,DE,(,角平分线的性质,),.,在,Rt,CDF,和,Rt,EDB,中,CD,=,E,D,（已证）,DF,=,DB,（已知）,Rt,CDF,Rt,EDB,(HL).,CF,=,EB,（全等三角形的对应边相等）,.,C,F,A,E,D,B,例.已知：如图，ABC中，C=90，AD是ABC的,4,思考分析,你能写出,角平分线的性质,定理,的逆命题吗,?,逆命题：,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上,.,请你证明它是不是真命题,?,思考分析 你能写出角平分线的性质逆命题：请你证明它是不是,5,已知,:,如图,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分别是,D,E.,求证,:,点,P,在,AOB,的平分线上,.,O,B,A,P,D,E,逆命题：,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上,.,证明：,PDOA,PEOB,ODP=OEP=90,在,RtODP,和,Rt OEP,中,DP=EP,OP,OP,RtODP Rt OEP(HL),AOP=BOP,，点,P,在,AOB,的平分线上,.,角平分线的判定,已知:如图,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足,6,O,B,A,P,D,E,逆定理：,在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,.,几何语言：,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分别是,D,E,点,P,在,AOB,的平分线上,提示,:,这个结论是经常用来证明,点在直线上,(,或,直线经过,某一,点,),的根据之一,.,也叫平分线的判定,定理,OBAPDE逆定理：在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,7,例,1,已知:如图,在AB,C,中,BAC=,60度，点,D,在,BC,上，,AD=10,，且D,E=DF,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.求,DE,的长,.,A,B,C,D,E,F,证明,:,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.,D,E=DF,AD,是,BAC,的平分线,又,2BAC=60，,BAD=30.,在Rt,ADE中，AED=90,AD=10,DE=AD=x10=5,例1 已知:如图,在ABC中,BAC=60度，点D在BC,8,例,2,如图,BD=CD,CE,AB,BF,AC.,求证,:,BAD=,CAD.,分析,:,要证明点,D,在,BAC,的平分线上,只需证明点,D,到,BAC,两边的距离相等,可以由,BDE,CDF,得到,.,证明,:,CE,AB,BF,AC,BED=,CFD=,90,.,EBD,FCD,(AAS),.,DE=DF.,点,D,在,BAC,的平分线上,(,在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,),.,BAD=,CAD.,例2如图,BD=CD,CEAB,BFAC.EBD,9,练习,如图，在四边形,ABDC,中，,D,ABD,90,，点,O,为,BD,的中点，且,AO,平分,BAC,.,求证：,OC,平分,ACD,.,证明：如图，过点,O,作,OE,AC.,AO,平分,BAC,，,ABD,90,，,OE,OB.,又,点,O,为,BD,的中点，,OB,OD,，,OE,OD,，,OC,平分,ACD.,练习如图，在四边形ABDC中，DABD90，点O,10,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,用数学语言表示为：,QDOA,，,QEOB,，,QD,QE,点,Q,在,AOB,的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,QDOA,QEOB,点,Q,在,AOB,的平分线上,QD,QE,本课小结,角平分线的性质定理,角平分线的判定定理,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用数学语言,11,1.,如图,在,ABC,中,C=90 AD,是,BAC,的平分线,DEAB,于点,E,点,F,在,AC,上,BD=DF.,求证,:(1)CF=EB;,(2)AB=AF+2EB.,证明,:(1)AD,是,BAC,的平分线,DEAB,DCAC,DE=DC.,在,RtDCF,和,RtDEB,中,RtCDFRtEDB(HL).,CF=EB.,课外作业,1.如图,在ABC中,C=90 AD是BAC的平分线,12,2,如图，点,E,是,AOB,的平分线上一点，,EC,OA,，,ED,OB,，垂足分别为,C,，,D,.,求证：,(1),ECD,EDC,；,(2),OC,OD,；,(3),OE,是线段,CD,的垂直平分线,证明：,(1),点,E,是,AOB,的平分线上一点，,EC,OA,，,ED,OB,，,ED,EC,，,ECD,EDC.,(2),在,Rt,ODE,和,Rt,OCE,中，,OEOE，EDEC,Rt,ODE,Rt,OCE,(,HL,),，,OC,OD.,(3),ED,EC,，,OD,OC,，,OE,是线段,CD,的垂直平分线,2如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDO,13,3,如图，,O,是,ABC,内一点，且,O,到,ABC,三边,AB,，,BC,，,CA,的距离,OF,OD,OE,，若,ABC,60,，,ACB,50,，求,BOC,的度数,解：,O,到三边,AB,，,BC,，,CA,的距离,OF,OD,OE,，,点,O,是三角形三条角平分线的交点,ABC,60,，,ACB,50,，,OBC,30,，,OCB,25,，,BOC,180,OBC,OCB,180,30,25,125,.,3如图，O是ABC内一点，且O到ABC三边AB，BC，,14,4.,如图，在四边形OACB中,CMOA于点M,若1=2,3+4=180,求证:CA=CB.,4.如图，在四边形OACB中,CMOA于点M,若1=,15,习题,1,.,9,答案,1,.,解,如图,结论,:,三角形的三个,内角的平分线交于一点,并且,这个点到三角形的三边的距离相等,.,2,.,证明,AD,平分,BAC,且,DE,AB,DF,AC,DE=DF.,又,BD=DC,Rt,BDE,Rt,CDF,(HL),.,BE=CF.,习题1.9答案,16,3,.,证明,证法,1:,C=,90,A=,30,ABC=,60,.,DE,垂直平分,AB,EA=EB.,ABE=,A=,30,.,CBE=,ABC-,ABE=,30,=,ABE.,BE,平分,ABC.,证法,2:,C=,90,A=,30,BC=AB,DE,垂直平分,AB,BD=AB,BDE=,90,.,BC=BD,.,又,C=,90,BE=BE,Rt,BDE,Rt,BCE,(HL),.,DBE=,CBE,BE,平分,ABC.,3.证明证法1:C=90,A=30,又C=90,17,4,.,解,作法,:,如图,(1),作,AOB,的平分线,OM,;,(2),连接,CD,;,(3),作,CD,的垂直平分线交,OM,于点,P,则,P,点即为所求,.,4.解作法:如图,(1)作AOB的平分线OM;,18,1.4,角平分线,第,2,课时,三角形的内角平分线,1.4 角平分线第2课时三角形的内角平分线,19,活动,1,分别画出下列三角形三个内角的平分线,，你发现了什么？,三角形的内角平分线,发现：,三角形的三条角平分线相交于一点,.,活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三,20,活动,2,分别,过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？,发现：,过交点作三角形三边的垂线段相等,.,活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂,21,已知：如图，,ABC,的角平分线,BM,，,CN,相交于点,P,，过点,P,作三边的垂线，垂足分别是点,D,E,F.,求证：求证角,A,的平分线过点,P,且,PD,=PE=,PF,证明：过点,P,作,PD,，,PE,，,PF,分别垂直于,AB,，,BC,，,CA,，垂足分别为,D,，,E,，,F,.,BM,是,ABC,的角平分线，,点,P,在,BM,上，,PD=PE,.,同理,PE=PF,.,PD,=PE=,PF,.,点,P,在角,A,的平分线上,即三条角平分线相交于一点,即点,P,到三边,AB,，,BC,，,CA,的距离相等,.,D,E,F,A,B,C,P,N,M,求证,:,三条角平分线相交于一点,且这点三条边的距离相等,已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P作,22,P,1,P,2,P,3,P,4,l,1,l,2,l,3,练习,.,如图,直线,l,1,、,l,2,、,l,3,表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处,?,画出它的位置,.,P1P2P3P4l1l2l3练习.如图,直线l1、l2、l,23,例,1,.,如图,在,ABC,中,已知,AC=BC,C,=90,AD,是,ABC,的角平分线,DE,AB,垂足为,E,.,(1)如果,CD,=4cm,AC,的长;,E,D,A,B,C,（,1,）解：,AD,是,ABC,的角平分线,DE,AB,垂足为,E,，,DE=CD,=4cm.,AC=BC,B,=,BA,C,.,C,=90,B,=45,.,BE=DE,.,在等腰直角三角形,BDE,中，,例1.如图,在ABC中,已知AC=BC,C=90,24,(2)求证:,AB=AC+CD,.,E,D,A,B,C,（,2,）证明：由（,1,）的求解过程易知,，,Rt,ACD,Rt,AED,(HL).,AC=AE.,BE=DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD,.,例,1,.,如图,在,ABC,中,已知,AC=BC,C,=90,AD,是,ABC,的角平分线,DE,AB,垂足为,E,.,(2)求证:AB=AC+CD.EDABC（2）证明：由（1）,25,解：连接OC,M,E,N,A,B,C,P,O,D,例,2,：,如图，在直角ABC中，AC=BC,C90,，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4,若ABC的周长为32，求ABC的面积,.,解：连接OCMENABCPOD例2：如图，在直角ABC中，,26,解,:,点,P,在,AOB,的平分线上,.,理由如下,:,过点,P,分别作,PD,OA,于点,D,PE,OB,于点,E.,S,四边形,OMPG,=S,四边形,OFPN,S,四边形,OMPG,-S,四边形,OMPF,=S,四边形,OFPN,-S,四边形,OMPF,即,S,FPG,=S,MPN,.,FG=MN,PD=PE.,又,PD,OA,PE,OB,点,P,在,AOB,的平分线上,.,例,3,如图,点,F,G,是,OA,上的两点,点,M,N,是,OB,上的两点,且,FG=MN,四边形