单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,几何学的变革,第九章,几何学的变革第九章,数学史几何学的变革下解析课件,几何，就是研究,空间,结,构及性质的一门,学科,。它是,数学中最基本的研究内容之,一，与分析、,代数,等等具有,同样重要的地位，并且关系,极为密切。,几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研,几何学发展,?,几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、,数论等等关系极其密切。,?,几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各,分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法,去探讨各数学理论。,几何学发展?几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数,9.4,射影几何的繁荣,非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间,的欧氏几何变成了某种特例,实际上，如果将,欧几里得几何,限制于其原先的涵,义,三维、平直、刚性空间的几何学,，那么,19,世,纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧”运动：,从三维到高维；从平直到弯曲；,而射影几何的发,展，又从另一个方向使“神圣”的欧氏几何再度,“降格”为其他几何的特例,9.4 射影几何的繁荣非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空,在,19,世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框,架下被研究的，其早期开拓者,德沙格（法国）、帕,斯卡（法国）,等主要是以欧氏几何的方法处理问题，,并且他们的工作由于,18,世纪解析几何与微积分发展,的洪流而被人遗忘,到,18,世纪末与,19,世纪初，蒙日（画法几何,学）等人的工作，重新激发了人们对综合射影几何,的兴趣,不过，将射影几何真正变革为具有自己独立的目,标与方法的学科的数学家，是曾受教于蒙日的,庞斯列,(J-V,.Poncelet,，,1788,1867),在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其,庞斯列曾任拿破仑远征军的工兵中尉，,1812,年,莫斯科战役法军溃败后被俘，度过了两年铁窗生,活,然而正是在这两年里，庞斯列不借助于任何,书本，,以炭代笔,，在俄国萨拉托夫监狱的墙壁上,谱写了射影几何的新篇章,庞斯列获释后对自己在狱中的工作进行了修,订、扩充，于,1822,年出版了论图形的射影性,质,，这部著作立即掀起了,19,世纪射影几何发展,的巨大波澜，带来了这门学科历史上的黄金时,期,庞斯列曾任拿破仑远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役法军溃,与德沙格和帕斯卡等不同，庞斯列并不限于考虑,特殊问题,他探讨的是一般问题：,图形在投射和截影下保持,不变的性质,，这也成为他以后，射影几何研究的主,题,由于距离和交角在投射和截影下会改变，庞斯列,选择并发展了对合与调和点列的理论而不是以交比的,概念为基础,与他的老师蒙日也不同，庞斯列采用中心投影而,不是平行投影,，并将其提,高,为研究,问,题的一,种方,法在庞斯列实现射影几何目标的一般研究中，有两,个基本原理扮演了重要角色,与德沙格和帕斯卡等不同，庞斯列并不限于考虑特殊问题他探讨的,首先是,连续性原理,，它涉及通过投影或其他方法,把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变,性用庞斯列本人的话说，就是：“如果一个图形从,另一个图形经过连续的变化得出，并且后者与前者一,样地,般，那么可以马上断定，第一个图形的任何性,质第二个图形也有”,首先是连续性原理，它涉及通过投影或其他方法把某一图形变换成另,而如果其中的一条割线,变成圆的切线，那么这个定,理仍然成立，只不过要把这,条割线的截段之积换成切线,的平方。,作为这个原理的一个例,子，庞斯列举了圆内相交弦的,截段之积相等的定理，当交点,位于圆的外部时，它就变成了,割线的截段之积的相等关系,而如果其中的一条割线变成圆的切线，那么这个定理仍然成立，只不,这个原理卡诺也曾用过，但庞斯列将它发展到,包括无穷远点的情形因此，我们总可以说两条,直线是相交的，交点或者是一个普通的点，或者,是一个无穷远处的点,(,平行线的情形,),除了无穷远元素，庞斯列还利用连续性原理,来引入,虚元素,例如两个相交的圆，其公共弦当,两圆逐渐分离并变得不再相交时，就成为虚,的,无穷远元素与虚元素,在庞斯列为达到射影几,何的一般性工作中发挥了重要作用,这个原理卡诺也曾用过，但庞斯列将它发展到包括无穷远点的情形,庞斯列强调的另一个原理是,对偶原理,射影几何,的研究者们曾经注意到，,平面图形的“点”和“线”,之间存在着异乎寻常的对称性，如果在它所涉及的定,理,中,，,将,“,点,”,换,成,“,线,”,，,同,时,将,“,线,”,换,成,“点”，,那么就可以得到一个新的定理例如考虑著,名的,帕斯卡定理：,如果将一圆锥曲线的,6,个点看成是一,个六边形的顶点，那么相对的边的交点共线,。,庞斯列强调的另一个原理是对偶原理射影几何的研究者们曾经注意,它的对偶形式则是：,如果将一圆锥曲线的,6,条切线,看成是一个六边形的边，那,么相对的顶点的连线共点。,帕斯卡定理的对偶形式是布里昂雄,(C.J.Brianchon),在,1806,年发现的，所以常被称为,布里昂雄定理,，而这离帕斯卡最初陈述他的定理,已有近二百年的光景,它的对偶形式则是：如果将一圆锥曲线的6条切线看成是一个六边形,虽然,布里昂雄,发现了,帕斯卡定理,的对偶定理，,但包括他在内的许多数学家对于对偶原理为什么行,得通仍是不清楚，事实上，布里昂雄还曾怀疑过这,个原理,庞斯列射影几何工作中很重要的一部分，就是,为建立对偶原理而发展了,配极,的一般理论他深入,研究了,圆锥曲线的极点与极线,的概念，给出了从极,点到极线和从极线到极点的变换的一般表述,虽然布里昂雄发现了帕斯卡定理的对偶定理，但包括他在内的许多数,与庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，,德国数学家,默比乌斯,(A.P.Mobius,，,1790,1868),和,普吕克,(J.Plucker,，,1801,1868),开创了射影几何研究,的解析,(,或代数,),途径,默比乌斯,在重心计算,(1827),一书中第一次引,进了,齐次坐标，,这种坐标后被普吕克发展为更一般的,形式，它相当于把笛卡儿坐标,换成,y,x,3,2,3,1,x,x,y,x,x,x,?,?,与庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家默比乌斯,齐次坐标,成为代数地推导包括对偶原理在内许多,射影几何基本结果的有效工具,但这种代数的方法遭,到了,以庞斯列为首的综合派学者,的反对，,19,世纪的射,影几何就是在综合的与代数的这两大派之间的激烈争,论中前进的,支持庞斯列的数学家还有斯坦纳,(J.Steiner),、沙,勒,(M.Chasles),和施陶特,(K.G.C.von,Staudt),等，其中,施陶特的工作对于确立射影几何的特殊地位有决定性,的意义,齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内许多射影几何基本结果的,到,1850,年前后，数学家们对于射影几何与欧,氏几何在一般概念与方法上已作出了区别，但对,这两种几何的逻辑关系仍不甚了了即使是综合,派的著作中也依然在使用长度的概念，例如作为,射影几何中心概念之一的交比，就一直是用长度,来定义的，但长度在射影变换下会发生改变，因,而不是射影概念,到1850年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与,施陶特在,1847,年出版的位置几何学中提出一套方案，,通过给每个点适当配定一个识别标记,(,也称作坐标,),而给交比作,了重新定义如果四点的“坐标”记为,，那么交,比就定义为,4,3,2,1,x,x,x,x,.,4,2,3,2,4,1,3,1,x,x,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,这样施陶特不借助长度概念就得以建立射影几何的基,本工具，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长,度等度量概念无关的全新学科。,施陶特在1847年出版的位置几何学中提出一套方案，通过给,9.5,几何学的统一,在数学史上，罗巴切夫斯基被称为,“,几何学,上的哥白尼,”,这是因为非欧几何的创立不只是,解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，,更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的,最深刻的革命,9.5 几何学的统一在数学史上，罗巴切夫斯基被称为“几何学上,在,19,世纪，占统治地位的是欧几里得的绝对空,间观念非欧几何的创始人无一例外地都对这种传,统观念提出了挑战,首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极,其深远的影响,在19世纪，占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念非欧几何的,“,我越来越深信我们不能证明我们的欧几里得,几何具有物理的必然性，至少不能用人类的理智一,一给出这种证明或许在另一个世界中我们可能得,以洞悉空间的性质，而现在这是不可能达到的”,高斯早在,1817,年就在给朋友的一封信中写道：,“我越来越深信我们不能证明我们的欧几里得几何具有物理的必然性,高斯曾一度把他的非欧几何称为,“星空几何”，,而从罗巴切夫斯基到黎曼，他们也都相信天文测量,将能判断他们的新几何的真实性，认为欧氏公理可,能只是物理空间的近似写照,他们的预言，在,20,世纪被爱因斯坦的相对论,所证实正是,黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提,供了最恰当的数学表述,，而根据广义相对论所进行,的一系列天文观测、实验，也证实了,宇宙流形,的非,欧几里得性,高斯曾一度把他的非欧几何称为“星空几何”，而从罗巴切夫斯基到,其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一,种几何学即欧几里得几何学的局面,19,世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公,设、公理，产生了各种新而又新的几何学，除了,上述几种非,欧几何、黎曼几何,外，还有如,非阿基米德几何、非德沙格几,何、非黎曼几何、有限几何等等,，加上与非欧几何并行发展,的,高维几何、射影几何，微分几何,以及较晚出现的拓扑学等，,19,世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景,在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在,联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们,追求的一个目标,其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几,统,几何学的第一个大胆计划是由,德,国,数,学,家,克,莱,因,(F.Klein,，,1849-,1925),提出的,1872,年，克莱因被聘为,爱尔朗根大学的数学教授，按惯例，,他要向大学评议会和哲学院作就职演,讲，克莱因的演讲以爱尔朗根纲领,著称，正是在这个演讲中，克莱因基,于自己早些时候的工作以及挪威数学,家李,(S.Lie),在群论方面的工作，阐述,了几何学统一的思想：,克莱因,统几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因(F.Klei,所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群,保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学,只是研究与特定的变换群有关的不变量,这样一,来，不仅,19,世纪涌现的几种重要的、表面上互不,相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何,一种分类也对应于几何学的一种分类,克莱因用群的观点来研究几何学。他的,基本观点是，每种几何都由变换群所刻划，,并且每种几何所要做的实际就是在这种变换,群下考虑其不变量。,所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学,例如,(,就平面的情况,),，欧几里得几何研究的是,长度、角度、面积等这些在平面中的,平移和旋转下,保持不变的性质,平面中的平移和旋转,(,也称刚性,运动,),构成,个变换群,刚性平面变换,可以用代数,式表示出来：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,23,22,21,13,12,11,a,y,a,x,a,y,a,y,a,x,a,x,其中,这些式子构成了一个群的元素，而将,这种元素结合在一起的“运算”就是依次进行这种类型的变,换容易看出，如果在进行上述变换后紧接着进行第二个变换：,1,21,12,22,11,?,?,a,a,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,23,22,21,13,12,11,b,y,b,x,b,y,b,y,b,x,b,x,其中,那么相继