单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,北京师范大学,*,第,1,章 函数、极限与连续,1.1.1,变量与区间,1.1.2,函数的概念,1.1.3,函数的特性,1.1.4,复合函数与反函数,1.1,函数,2024/11/15,1,北京师范大学,第1章 函数、极限与连续1.1.1 变量与区间1.1,北京师范大学,2,1.1.1,变量与区间,1.,集合,具有某种特定性质的事物的,总体,，组成,这个集合的事物称为该集合的,元素,.,有限集合,无限集合,一般集合,2024/11/15,北京师范大学21.1.1 变量与区间1.集合具有某种特定性,北京师范大学,3,数集分类,:,N-,自然数集,Z-,整数集,Q-,有理数集,R-,实数集,数集间的关系,:,例如,不含任何元素的集合称为,空集,.,例如,规定,空集为任何集合的子集,.,2024/11/15,北京师范大学3数集分类:N-自然数集Z-整数集Q,北京师范大学,4,2.,区间,指介于某两个实数之间的全体实数,.,这两个实数叫做区间的,端点,.,称为开区间,称为闭区间,2024/11/15,北京师范大学42.区间指介于某两个实数之间的全体实数.这两个,北京师范大学,5,称为半闭区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义：,两端点间的距离,(,线段的长度,),称为区间的,长度,.,2024/11/15,北京师范大学5称为半闭区间,称为半开区间,有限区间无限区间区,北京师范大学,6,3.,邻域,2024/11/15,北京师范大学63.邻域2023/10/7,北京师范大学,7,4.,常量与变量,在某过程中数值保持不变的量称为,常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的,.,通常用字母,a,b,c,等表示常量,而数值变化的量称为,变量,.,常量与变量的表示方法：,用字母,x,y,t,等表示,变,量,.,2024/11/15,北京师范大学74.常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为,北京师范大学,8,5.,绝对值,运算性质,:,绝对值不等式,:,2024/11/15,北京师范大学85.绝对值运算性质:绝对值不等式:2023/1,北京师范大学,9,例 圆内接正多边形的周长,圆内接正,n,边形,O,r,),1.1.2,函数的概念,2024/11/15,北京师范大学9例 圆内接正多边形的周长圆内接正n 边形O,北京师范大学,10,2024/11/15,北京师范大学102023/10/7,北京师范大学,11,2024/11/15,北京师范大学112023/10/7,北京师范大学,12,因变量,自变量,D,叫做这个函数的,定义域,函数值的全体组成的数集：,称为函数的值域,.,2024/11/15,北京师范大学12因变量自变量D叫做这个函数的定义域函数值的全,北京师范大学,13,自变量,因变量,对应法则,f,函数的两要素：,定义域,与,对应法则,.,约定,:,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（,自然定义域,）,.,2024/11/15,北京师范大学13自变量因变量对应法则f函数的两要素：定义域与,北京师范大学,14,定义：,若自变量在定义域内任取一个数值时，对应的值不唯一，称其为,多,值函数，,否则,单,值函数。,多值函数,可化为若干单值函数。,2024/11/15,北京师范大学14定义：若自变量在定义域内任取一个数值时，对应,北京师范大学,15,(1),符号函数,几个特殊的函数举例：,1,-1,x,y,o,2024/11/15,北京师范大学15 (1)符号函数几个特殊的函数举例,北京师范大学,16,取整函数,y=,x,x,表示不超过 的最大整数,1 2 3 4 5,-2,-4,-4-3-2-1,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,阶梯曲线,2024/11/15,北京师范大学16取整函数 y=x 1 2 3 4,北京师范大学,17,有理数点,无理数点,1,x,y,o,(3),狄利克雷函数,Dirichlet18051859,德国数学家。在数论、分析和数学物理方程等领域有杰出贡献，为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。,2024/11/15,北京师范大学17有理数点无理数点1xyo(3)狄利克,北京师范大学,18,(4),取最值函数,y,x,o,y,x,o,2024/11/15,北京师范大学18(4)取最值函数yxoyxo2023/,北京师范大学,19,在自变量的不同变化范围中,对应法则用,不同的,式子来表示的函数,称为,分段函数,。,2024/11/15,北京师范大学19 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的,北京师范大学,20,例,1,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压,U,与时间 的函数关系式,.,解,单三角脉冲信号的电压,2024/11/15,北京师范大学20例 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如,北京师范大学,21,是一个分段,函数，其表达式为,2024/11/15,北京师范大学21 是,北京师范大学,22,例,2,解,故,2024/11/15,北京师范大学22例 2解故2023/10/7,北京师范大学,23,M,-M,y,x,o,y=f,(,x,),D,有界,1,函数的有界性,:,1.1.3,函数的特性,无界,M,-M,y,x,o,D,y=f,(,x,),2024/11/15,北京师范大学23M-Myxoy=f(x)D有界1函数的有界,北京师范大学,24,2,函数的单调性,:,x,y,o,设 在,上有定义，若对点集 上的任意,若不等式改为,两点 及 ，当 时，恒有,成立，则称 为点集 上的,增函数,；,则称 为点集,上的,严格增函数,.,2024/11/15,北京师范大学242函数的单调性:xyo设,北京师范大学,25,设 在,上有定义，若对点集 上的任意,若不等式改为,两点 及 ，当 时，恒有,成立，则称 为点集 上的,减函数,；,则称 为点集,上的,严格减函数,.,x,y,o,2024/11/15,北京师范大学25设 在 上有定义，若,北京师范大学,26,3,函数的奇偶性,:,偶函数,y,x,o,x,-,x,2024/11/15,北京师范大学263函数的奇偶性:偶函数yxox-x2023,北京师范大学,27,奇函数,y,x,o,x,-,x,2024/11/15,北京师范大学27奇函数yxox-x2023/10/7,成立，则称 为 上的,周期函数,，称为函数,北京师范大学,28,4,函数的周期性,:,（注：通常周期是指,最小正周期,）,正数 使得对于任意 ，有 ，且,设 在点集 上有定义，若存在不为零的,的,周期,.,2024/11/15,成立，则称 为 上的周期函数，称为函,北京师范大学,29,例,3,解,单值、有界、偶函数,周期函数，但无最小正周期,单调，但非严格单调函数,2024/11/15,北京师范大学29例 3解单值、有界、偶函数周期函数，但无最小,北京师范大学,30,1.,复合函数,1.1.4,复合函数与反函数,2024/11/15,北京师范大学301.复合函数1.1.4 复合函数与反,北京师范大学,31,注意,:,1.,不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的,;,2.,复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,.,2024/11/15,北京师范大学31注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复,北京师范大学,32,2024/11/15,北京师范大学322023/10/7,北京师范大学,33,2024/11/15,北京师范大学332023/10/7,北京师范大学,34,D,W,D,W,2.,反函数,2024/11/15,北京师范大学34DWDW2.反函数2023/10/7,北京师范大学,35,直接函数与反函数的图形关于直线,对称。,2024/11/15,北京师范大学35 直接函数与反函数的图形关于直线,北京师范大学,36,思考题,2024/11/15,北京师范大学36思考题2023/10/7,北京师范大学,37,思考题解答,设,则,故,2024/11/15,北京师范大学37思考题解答设则故2023/10/7,北京师范大学,38,思考题,2024/11/15,北京师范大学38思考题2023/10/7,北京师范大学,39,思考题解答,不能,2024/11/15,北京师范大学39思考题解答不能2023/10/7,北京师范大学,40,课堂练习题,2024/11/15,北京师范大学40课堂练习题2023/10/7,北京师范大学,41,2024/11/15,北京师范大学412023/10/7,北京师范大学,42,四,、,火车站行李收费规定如下：,20,千克以下不收费，,20,50,千克每千克收费,0.20,元，超出,50,千克超出部分每千克,0.30,元，试建立行李收费,f,(,x,)(,元,),与行李重量,x,（千克）之间的函数关系,.,2024/11/15,北京师范大学42四、火车站行李收费规定如下：20千克以下不,北京师范大学,43,课堂练习题答案,2024/11/15,北京师范大学43课堂练习题答案2023/10/7,北京师范大学,44,2024/11/15,北京师范大学442023/10/7,