单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九节 定积分的物理应用举例,本节要点,定积分的一个重要应用就是在物理上的应用.本节重,一、变力沿直线所作的功,二、水压力,三、引力,点讨论定积分在物理学上的应用.主要内容有:,一、变力沿直线所作的功,从物理学中知道，如果物体在作直线运动的过程中受,到,常力,的作用，并且力作用的方向与位移的方向一,致，则当物体移动了距离 时，力 对物体所作的功为,如果物体在运动过程中受到变力的作用，如何求出相,应的功？,例1 把一个带电量为 的点电荷放在 轴的坐标原,点 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用,力.由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电,场中离原点 为 的地方，那么电场对它的作用力为,处沿 移动到 处 时，求电场力 所作的功.,（是常数）.当这个单位正电荷从电场从,对它所作的功近似于,从而功元素为,解 取 为积分变量，在 区间中取一小区间,当单位电荷从 移动到 时，电场力,于是所求的功为,例2 内燃机动力的产生可简化为如下,的模型：把汽缸看作为一个圆柱形容,器，在圆柱形容器中盛有一定的气体，,在等温条件下，由于气体的膨胀，把,容器中的一个活塞从一点处推移到另,一点处，经过一定的机械装置将活塞,的这直线运动的动力传播出去，如果,活塞的面积为 计算活塞从点 移到,点 的过程中气体压力所作的功.,与体积 的乘积是常数 即有,因 所以,于是作用在活塞上的力为,解 取坐标系如图所示，活塞的位置用坐标 来表示，,由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强,因而总功为,取 为积分变量，取小区间 ，则作功元素为,例3 一圆柱形蓄水池高5米，底半径为3米，池内盛满了,解,取 为积分变量，,取代表性的一个小区间,那么这一层薄水的重力为,将这一层水抽出水池所作的功为,水，要把池内的水全部吸出，需作多少功？,于是，功为,例4 一球形储液箱半径为,R,，并盛满了密度为,k,的液体，,解 取 为积分变量，,取代表性的一个小区间,那么这一层液体的重力为,将这一层液体抽出所作的功为,要把储液箱内的液体全部抽出，需作多少功？,于是，功为,例5 用铁锤将一铁钉击入木板，,设木板对铁钉的阻力与击入,木板的深度成正比.在第一,次时，将铁钉击入木板一厘,米，如果铁锤每次打击铁钉,所作的功相等，问铁钉在第,次时将铁钉击入多少？,解 设木板对铁钉的阻力为,木板阻力系数为,则由条件得，,第一次锤击时所作的功为,设第 次锤击时所作的功为,此时铁钉深度为,则,由题意，每次锤击时所作的功相等，即有,所以第 次锤击时击入的深度为,H2R的水池底部，要将此球取出水面，需要作多少功？,解,总的作功两局部组成，,表示将球提升至球的上端与水面,例6 一个半径为,R,，比重 的球，沉入深度为,H,相齐时需要作的功，,它等于克服球重与浮力之差作的功，,球重为,浮力为,球提升的高度为,所以,表示将球完全提出水面作的功，,它等于克服球重与在水中局部的,球受到的浮力之差作的功，,球重为,当球提升了 高度时，在水下部分的球的高度为,在水下局部的球受到的浮力为,漏掉，问起重机每工作一次要克服重力作多少功？,例7 用一个机械抓斗从,30m,的深井中挖泥，每次抓斗泥,中的泥土重为,2000N,，抓斗自重,400N,，缆绳的重量为,50N/m,，抓斗提升速度为,3m/s,，提升过程中泥土以,20N/s,解,总的作功由三局部组成，,表示克服抓斗自重所作的功，,表示克服缆绳重量所作的功，,表示将泥土从井底提升至井口所作的功，,表示克服抓斗自重所作的功，,表示克服缆绳重量所作的功，,取小区间,缆绳剩余长度为,表示将泥土从井底提升至井口所作的功，,注意抓斗在提升过程中泥土以,20N/s,漏掉，,由于抓斗提升速度为,3m/s,，,所以抓斗提升至,x,高度时所需时间为,x,/3,s,，,在 高度抓斗中泥土重为,所以,二、水压力,侧所受到的水压力.,从物理学中知道，水深 处的压强为 其中,是水的比重，为重力.如果有一块面积为 的平板水,平地置于深度为 处，则平板一侧所受的水压力为,如果平板并非水平地置于水中，我们来得到此时平板一,计算闸门的一侧所受的水压力.,处所受到的水的压强近似等于,例8 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边的长,分别为 和 高为 较长的底边与水平面相齐，,解 建立坐标系如图.取 为积分变量，变化范围为,在 中任取一个小区间,而闸门上对应该小区间的窄条各点,窄条的宽度近似为,因而这一窄条一侧所受到的水压力近似为,于是所求的水压力为,例9 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设,桶的底面半径为 求桶的一端面上的水压力.,解 建立坐标系如图.,取 为积分变量，,取小区间,压强为,小矩形的宽为,那么小矩形片所受到的水压力为,例10 有一个长为,a,，底宽为,b,的薄板放入长方体水箱中，,取 为积分变量，,取小区间,压强为,斜放小矩形的面积为,薄板与箱底夹角为 （如图），求薄板一侧受到的水,压力。,建立坐标系如图.,解 水箱深为,那么小矩形片所受到的水压力为,从而矩形片受到的水压力为,例11 有一个半径为,2,m,的球放入水中，中心位于水下,3,m,求球面受到的水压力.,解 建立坐标系如图.,取 为积分变量，,取小区间,压强为,位于 间的球面面积为,压力元素为,整个球面受到压力为,三、引力,由物理学知道，质量分别为 相距为 的两质点,其中 为引力系数，引力的方向沿这两质点的连线方向.,间的引力大小为,质点 的引力.,质量为 则引力元素为,例12 有一长度为 、线密度为 的均匀细棒，在其中垂,线上距棒 单位处有一质量为 的质点 计算该棒对,解 建立坐标系如图：取 为,积分变量，在区间,上，将小段近似看成一个质点，,从而在水平方向的分力元素为,于是得到引力在水平方向的分力为,由对称性，引力在铅直方向分力,这细棒对质点的引力.,解 建立坐标系如图.取 为积分变量，,在 中取小区间,那么,例13 设有一半径为 中心角为 的圆弧型细棒，其线,密度为常数 在圆心处有一质量为 的质点 试求,各个分力为,于是,由对称性得,