单击此处编辑母版标题样式,返回,3.4 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组,二、非齐次线性方程组,返回,一、齐次线性方程组,即,AX,=0,平凡解,：,X,=0(,零解,),设,A,=(,1,2,n,),则下列命题等价：,1,o,1,2,n,线性相关;,2,o,AX,=0有非零解,;,1.AX=0 解的判定条件,（1）若R(A)n,则AX=0有非零解；,（2）若R(A)n,则AX=0只有零解.,注：,若,A为方阵,，则,（1）若det(A)=0,则AX=0有非零解；,（2）若det(A)0,则AX=0只有零解.,2.解的性质,（解向量）,（1）,AX,=0 的两个解向量的和仍为,AX,=0的解.,（2）,AX,=0 的一个解向量的常数倍仍为,AX,=0的解.,（3）,AX,=0 的解向量的线性组合仍为,AX,=0的解.,W,=,X,R,n,|,AX,=0,为R,n,的子空间,（1）定义：,W,的一组基,.,1,o,1,2,s,线性无关;,则称,1,2,s,为,AX,=0 的一个基础解系.,2,o,AX,=0的任一解向量均可由,1,2,s,线性表出,定理1,设R(,A,)=,r,n,则,AX,=0有基础解系且所含向量个数为,n-r,即,dim,W,=,n-r,这里,n,为方程组,未知数个数.（,具体举例说明）,3.解空间,4.基础解系,（最大无关,组,）,（2）构成条件：,（3）求法（,含在证明中,）：,例1,求方程组的基础解系,解:,(2)得同解方程组,(,x,3,x,4,为,自由未知量,),(3)求基础解系（对自由未知量取值）,（,求得两个解,）,（,证明这样的解构成基础解系,）,设,1,2,n-r,为,AX,=0 的一个基解系，则,AX,=0 的解,，,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n-r,n-r,k,1,k,2,k,n-r,R,.,（1）,AX,=0 的基解系一般不惟一，但其任一基解系中所含向量个数必为,n,(未知数个数,)-R(,A,).,AX,=0,的,通解,（2）,若,AX,=0有非零解，则必有无穷多个解.,5.通解,注,：,6.,AX,=0的,解法（四步）,（2）写出同解方程组,（,基本未知量、自由未知量,）,（3）求基础解系,（,对自由未知量取值,）,（4）写出通解,例1,求方程组的通解,解,(2)得同解方程组,(,x,2,x,4,为,自由未知量,),(3)基础解系为,(4)通解为,例2,解,解,r(,A,)=3 =,n,只有零解,X,=0,例3,解,解,得同解方程组,(,x,3,为自由未知量),基础解系为,方程组通解为,例4,证明：与,AX,=0基础解系等价的线性无关的向量组也是该方程组的基础解系.,证,两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等.,设,1,2,s,是,AX,=0基础解系，,1,2,s,与之等价.,1,2,s,可由,1,2,s,线性表出，所以是,AX,=0的解；,AX,=0的任一解,X,可由,1,2,s,线性表出，,故，,1,2,s,是,AX,=0的基础解系.,又,1,2,s,可由,1,2,s,线性表出，所以,X,可由,1,2,s,线性表出,；,例5,设,n,阶矩阵,A,B,满足,AB,=O,证明：,R(,A,),+,R(,B,),n.,证,设,B,=(,b,1,b,n,),则,AB,=,A,(,b,1,b,n,)=(,A,b,1,Ab,n,)=O,A,b,i,=0,i,=1,n,.,b,i,(,i,=1,n,)为,AX=,0的解，所以可由基础解系,1,2,n-r,(,r=R,(,A,)线性表出.,所以,R(,B),=秩(,b,1,b,n,)秩(,1,2,n-r,)=,n,-R(,A,).,即 R(,A,),+,R(,B,),n.,第二章 2.5,例5,设,A,为,n,阶矩阵(,n,2,)，证明,证,若R(,A,),=,n,:,R(,A,),n-,1,:,det,A0，,A,中所有,n,-1阶子式均为零,，,二、非齐次线性方程组,即,AX,=,b,设,A,=(,1,2,n,),即,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,=,b,AX,=,b,有解,b,可由,1,2,n,线性表出,(,AX,=0,称为,AX,=,b,的,导出组,),1.,AX,=,b,的,导出组,2.,AX,=,b,解的判定,（1）若 ,AX,=,b,无解,（2）若 ,AX,=,b,有解，且,当 ，,AX,=,b,唯一解；,当 ，,AX,=,b,无穷解,.,2.解的性质,：,性质1,设,1,2,为,AX,=,b,的解,则,1,-,2,为其导出组,AX,=0的解.,证,A,(,1,-,2,)=,A,1,-A,2,=,b b,=0,所以，,1,-,2,为,AX,=0的解.,性质2,设,为,AX,=,b,的解,为,AX,=0的解，则,+,为,AX,=,b,的解.,证,A,(,+,)=,A,+A,=,b+,0=,b,所以，,+,为,AX,=,b,的解.,AX=b,的,特解,：,AX=b,的任一解.,性质3,设,0,为,AX,=,b,的一个特解,则,AX,=,b,的任一解,可表为,=,0,+,(,为,AX,=,0,的一个解),对于,AX,=,b,的任一个特解,0,当,取遍它的导出组的全部解时，,=,0,+,就给出,AX=b,的全部解,.,性质3的证明,=,0,+(,-,0,),为,AX,=0的解，设为,为了求,AX,=,b,的通解（全部解），只需求其一个特解,0,以及导出组的全部解即可：,设,0,为,AX,=,b,的一个特解，,1,2,n-r,为其,导出组的基础解系，则,AX,=,b,的通解,为,X,=,0,+,k,1,1,+,k,n-r,n-r,k,1,k,n-r,R,3.,AX,=,b,的通解,（2）写出同解方程组（基本未知量、自由未知量）,（4）求导出组的基础解系（对自由未知量取值）,（3）求特解（自由未知量取0）,（5）写出通解,4.,AX,=,b,解的求法（,五步,）,例6,解,解:,有无穷多解,（2）得同解方程组,(3)求非齐次的,特解,:,取,x,3,=0,得,0,=(3,2,0),T,(4)求,导出组,的基础解系,:,取,x,3,=1,得,=(1,-2,1),T,（5）,AX,=,b,的通解为：,X,=,0,+,k,k,R,例7,解,解,无解,例8,解,解,(1),=1时，,有无穷多解,得同解方程组,x,1,=1-,x,2,x,3,导出组基础解系：,1,=(-1,1,0),T,2,=(-1,0,1),T,非齐次特解：,0,=(1,0,0),T,原方程组通解：,X,=,0,+,k,1,1,+,k,2,2,k,1,k,2,R,(2),=-2时，,无解,(3),1,-2时，,有惟一解：,1.,证,思考题【略】,已知四元齐次方程组 及另一,四元齐次方程组 的通解为,2.,解,3.,解,方法1,方法2,（更简单）：,线性无关，所以为,AX,=0的基础解系.,为,AX,=,b,的解.,