文 科 数 学,*,文 科 数 学,1,简单微分方程及其应用,第六章 应用举例,2,线性规划简介,3,关于对策论的话题,4,库存与生产批量的最优,控制,文 科 数 学1 简单微分方程及其应用第六章 应用举例,文 科 数 学,用,数学方法,解决,实际问题,的能力包括：,.,将实际问题归结为一个,数学问题,（,数学建模,）；,.,选择合适的数学方法加以,求解,；,.,对所得结果用适当的方法进行,验证,；,.,将结果,应用,于实际问题（对某些现象加以解释、作出预测、用于设计等）。,文 科 数 学 用数学方法解决实际问题的能力包括：,文 科 数 学,1,简单微分方程及其应用,一、微分方程的基本概念,二、可分离变量的微分方程,三、齐次方程,四、牛顿冷却定律与破案问题,五、马尔萨斯人口模型及其修正,六、,放射性碳的蜕变与考古问题,文 科 数 学1 简单微分方程及其应用 一、微分方程的基,文 科 数 学,微积分,研究的对象是,函数,，但许多实际问题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，,而可根据问题的性质和所给条件，列出一个,含有未知函数导数的关系式,，这就是,微分方程,。,在中学数学中：,前两个方程中只含未知量,x,的,代数运算,，称为,代数方程,；后一个方程中含未知量,x,的,超越运算,，称为,超越方程,。这些方程的,共同点,是：未知量,x,均为,数值,。,一、微分方程的基本概念,文 科 数 学 微积分研究的对象是函数，但许多实际问题,文 科 数 学,在大学数学中,：,此处,y,作为未知量已不是数值，而是另一变量,x,的,函数,，因此称为,函数方程,。但二者又有区别，后一个方程含有未知函数的,导数或微分运算,，称为,微分方程,。,含有,未知函数,及其,导数或微分,的方程称为,微分方程,。,定义,1,常微分方程,偏微分方程,方程中仅含,一个,自变量,分类,方程中所含自变量,多于一个,文 科 数 学 在大学数学中：,文 科 数 学,方程含有未知函数的,一阶导数,，两边对,x,积分,再由条件得,C,=1,，因此所求曲线方程为,一条曲线通过点,(1,2),，在该曲线上任意点处,解,：,设所求曲线方程为,y,=,y,(,x,),，则有如下关系式,(,C,为任意常数,),的切线斜率为,2,x,，求该曲线的方程。,例,1,文 科 数 学方程含有未知函数的一阶导数，两边对 x 积分,文 科 数 学,方程含有未知函数的,二阶导数,，两边对,x,积分,两边对,x,再次积分,列车在直路上以,20m/s,的速度行驶,制动时获得加速度,a,=,-,0.4m/s,2,求制动后列车的运动规律。,解,：,设列车在制动后,t,秒行驶了,s,米,，即,求,s=s,(,t,),(,C,1,C,2,为任意常数,),例,2,文 科 数 学方程含有未知函数的二阶导数，两边对 x 积分,文 科 数 学,再由条件得,C,1,20,C,2,0,，,因此所求运动规律为,方程中所含未知函数导数的,最高阶数,称为微分方程的,阶,。,n,阶常微分方程的,一般形式,定义,2,(,隐式,),(,显式,),文 科 数 学再由条件得 C120,C20，因此所求,文 科 数 学,将函数及其导数或微分代入微分方程，能使其成为,恒等式,，这样的,函数,称为该微分方程的,解,，其,图形,称为,积分曲线,。,定义,3,通解,特解,解中所含,独立,的任意常数的个数与,方程的阶数相同,分类,不含任意常数的解,例,1,通解,：,特解,：,例,2,文 科 数 学 将,文 科 数 学,确定通解中任意常数的,条件,称为微分方程的,定解条件,。,n,阶微分方程的,初始条件,（或,初值条件,）,初值问题,：求微分方程满足初始条件的特解这样一,个,问题,。,定义,4,例,1,通解,：,特解,：,例,2,文 科 数 学 确,文 科 数 学,已知曲线上点,P,(,x,y,),处的法线与,x,轴交点为,解,：,如图所示，点,P,(,x,y,),处的法线方程为,令,Y,=0,，得,Q,点的横坐标为,即,Q,，,且线段,PQ,被,y,轴平分，求所满足的微分方程。,例,3,文 科 数 学已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x,文 科 数 学,二、可分离变量的微分方程,形如,或,的一阶微分方程称为,变量可分离方程,。,若,f,和,g,均是连续函数，且,g,(,y,)0,，则方程,可写成变量分离的形式,定义,1,文 科 数 学二、可分离变量的微分方程,文 科 数 学,将方程两边分别对,y,x,积分,令,则,称,为方程,的,隐式通解,或,通积分,。,这种通过,分离变量,来求解微分方程的方法称为,分离变量法,。,文 科 数 学将方程两边分别对 y,x 积分,文 科 数 学,求微分方程,的通解。,解,：,分离变量,得,，,两边积分,得,即,(,C,为任意常数,),或,说明,：,在求解过程中每一步,不一定是同解变形,，因此可能增、减解！,(,此式含分离变量时丢失的解,y,=0,),例,1,文 科 数 学求微分方程的通解。解：分离变量得，两边积分得即,文 科 数 学,求解初值问题,解,：显然,y,=0,是方程的解，但不满足初始条件。,当,y,0,时，分离变量得,两边积分得,两边取指数得,再由初始条件得,C,=1,(,C,为任意常数,),故所求特解为,练习,文 科 数 学求解初值问题 解：显然 y=0 是方,文 科 数 学,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时,(,t,=0),速度为,0,，求降落伞下落速度与时间的函数关系。,解,：,根据,牛顿第二运动定律,列出方程,初始条件为,对方程分离变量，然后积分,得,例,2,文 科 数 学 设降落伞从跳伞塔,文 科 数 学,得,利用初始条件，得,代入上式后化简，得特解,说明,：,跳伞后阶段接近于,等速运动,。,文 科 数 学说明：跳伞后阶段接近于等速运动。,文 科 数 学,三、齐次方程,形如,的一阶微分方程称为,齐次方程,。,例如,定义,1,文 科 数 学三、齐次方程,文 科 数 学,齐次方程的求解方法,令 则,y,=,ux,，从而,代入原方程得,分离变量,两边积分，得,积分后再用 代替,u,，便得原方程的通解。,文 科 数 学 齐次方程的求解方法,文 科 数 学,求解微分方程,解,：,代入原方程得,分离变量,两边积分,从而,故原方程的通解为,(,C,为任意常数,),说明,：当,C,=0,时,y,=0,也是方程的解。,例,1,文 科 数 学求解微分方程解：代入原方程得分离变量两边积分从,文 科 数 学,求解微分方程,解,：,则有,分离变量,两边积分得,代回原变量得通解,即,(,C,为任意常数,),说明,：显然,x,=0,，,y,=0,，,y=x,也是原方程的解，但在求解过程中丢失了。在通解中允许,C,=0,，则包含了,x,=0,及,y=x,两解，但解,y,=0,仍未包含在内。,外加特解：,练习,文 科 数 学求解微分方程解：则有分离变量两边积分得代回原变,文 科 数 学,在制造探照灯反射镜面时，要求点光源的光线平行反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的形状。,解,：,设光源在坐标原点，取,x,轴平行于光线反射方向，则反射镜面由曲线 绕,x,轴旋转而成。,有,OMA,=,OAM,=,，,过曲线上任意点,M,(,x,y,),作切线,MT,由,光的反射定律,：,入射角,=,反射角,从而,AO,=,OM,而,AO,于是得微分方程：,例,2,文 科 数 学 在制造探照灯反射,文 科 数 学,利用曲线的,对称性,，不妨设,y,0,，,积分得,故有,得,(,抛物线,),故反射镜面为,旋转抛物面,！,于是方程化为,(,齐次方程,),文 科 数 学利用曲线的对称性，不妨设 y 0，积分得故,文 科 数 学,顶到底的距离为,h,则将,这时旋转曲面方程为,说明,：若已知反射镜面的底面直径为,d,，,代入通解表达式得,反射镜面为,旋转抛物面,文 科 数 学顶到底的距离为 h,则将这时旋转曲面方程为说,文 科 数 学,四、牛顿冷却定律与破案问题,牛顿冷却定律,温度为,T,的物体在温度为,T,0,(,T,0,T,),的环境中，,冷却的速度与温差,T,T,0,成正比。,用微分方程可表示为,等式右端的负号是由于温度,T,(,t,),随时间,t,的增加而减少，故,dT,/,dt,21.1,，故,T,21.1 0,，分离变量,两边积分,文 科 数 学 数学建模,文 科 数 学,即,由,T,(0),32.6,，,T,(1),31.4,可求得,所以,应用,假设死者死亡时体温正常，为,37,o,C,，令上式中的,T,37,，可求出,t,-,2.95(,小时,),，即,2,小时,57,分。,从而推知死者的死亡时间大约在下午,5,点,23,分，因此张某,不能排除在嫌疑人之外,！,文 科 数 学即,文 科 数 学,五、马尔萨斯人口模型及其修正,英国人口学家,马尔萨斯,（,Malthus,：,1766,1834,）根据百余年的人口统计资料，于,1798,年提出了,人口指数增长模型,。,基本假设,：单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。,记,t,时刻时人口总数为,x,(,t,),，设单位时间内人口的增长量与当时的人口总数之比为,r,，,r,是与时间无关的常数，根据马尔萨斯假设,文 科 数 学五、马尔萨斯人口模型及其修正 英国人口学,文 科 数 学,令,t,0,，得到如下的,马尔萨斯人口模型,这是变量可分离方程，易求得此初值问题的解为,这表明,人口数量将随时间呈现指数形式增长,。,人们曾就地球过去的人口总数来检验该公式，结果表明它相当准确地反映了,1700,1961,年期间的人口总数；但当,t,+,时，则有,x,(,t,),+,，这,与客观事实显然不符,！,文 科 数 学令t 0，得到如下的马尔萨斯人口模型,文 科 数 学,马尔萨斯人口模型的修正,早在,1838,年，荷兰数学生物学家,弗胡斯特,（,Verhulst,）就指出，导致上述不符合现实情况的,根本原因,在于：,马尔萨斯人口模型,未能考虑“密度制约”因素,，即在资源给定的一个环境中，人数越多，每个人所获得的资源就越少，这将抑制生育率、增加死亡率，,因此，单位时间内人口的增长量与当时的人口总数之比不是一个常数，而是,r,乘一个,密度制约因子,，,该因子应随,x,的增大而减小，可设为,(1,x,/,k,),，其中,k,为,环境容纳量,，它反映了资源的,丰沛程度,。,文 科 数 学 马尔萨斯人口模型的修正,文 科 数 学,弗胡斯特人口模型,这也是变量可分离方程。,由于,x,(1,x,/,k,)0,，故分离变量,两边积分,从而得其通解,文 科 数 学 弗胡斯特人口模型,文 科 数 学,再由,x,(0),x,0,知,因此该初值问题的解为,这,表明,：当,t,时，,x,(,t,),k,，即,人口总数最终稳定为环境容纳量,k,。,文 科 数 学 再由 x(0)x0 知,文 科 数 学,六、放射性碳的蜕变与考古问题,考古、地质等方面的专家常用,14,C,（碳,14,，为碳,12,的同位素）测定法（简称,碳定年代法,）去估计文物或化石的年代。,根据,：宇宙射线不断轰击大气层，使之产生中子，中子与氮气作用生成具有放射性的,14,C,，后者又可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物，于是放射性,14,C,就被带到各种动植物体内。,由于,14,C,具有放射性,，因此它在,不断蜕变,。,文 科 数 学六、放射性碳的蜕变与考古问题 考古、地质,文 科 数 学,六、放射性碳的蜕变与考古问题,活着的生物通过新陈代谢不断摄取,14,C,，使体内,14,C,与空气中的,14,C,具有相同的百分比含量。,生物死后，停止摄取,14,C,，因而尸体内的,14,C,由于不断蜕变而减少。,碳定年代法,正是依据,14,C,蜕变减少量,的变化情况来判定生物的,死亡时间,。,根据,原子物理学理论,：,14,C,在,t,时刻的蜕变速度与该时刻的,14,C,含量