单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七节,一、利用直角坐标计算,二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第七章,第七节一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积,1,一、利用直角坐标计算二重积分,且在,D,上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若,D,为,X,型区域,则,若,D,为,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积,2,说明:,(1)若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域,为计算方便,可,选择积分序,必要时还可以,交换积分序,.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-型域或,Y,-型域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,3,例1.,计算,其中,D,是直线,y,1,x,2,及,y,x,所围的闭区域.,解法1.,将,D,看作,X,型区域,则,解法2.,将,D,看作,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所,4,例2.,计算,其中,D,是抛物线,所围成的闭区域.,解:,为计算简便,先对,x,后对,y,积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简,5,例3.,计算,其中,D,是直线,所围成的闭区域.,解:,由被积函数可知,因此取,D,为,X,型域:,先对,x,积分不行,说明:,有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解:由被积函数,6,例4.,交换下列积分顺序,解:,积分域由两部分组成:,视为,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y型,7,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆,r,=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线,=常数,分划区域,D,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆 r=常,8,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应有,在,内取点,即机动 目录 上页 下页 返回 结束 对,9,设,则,特别,对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设则特别,对机动 目录 上页 下页 返回,10,若,f,1 则可求得,D,的面积,思考:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答:,问,的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f 1 则可求得D 的面积思考:下列各图中域 D 分,11,例5.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,12,注:,利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当,D,为 R,2,时,利用例5的结果,得,故式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反,13,例6.,求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:,设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,14,内容小结,二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:若积分,15,则,极坐标系情形:,若积分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则极坐标系情形:若积分区域为机动 目录 上页,16,计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定,17,思考与练习,1.设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y,互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习1.设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换,18,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,