单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/9/14,#,第十章微分方程与差分方程,10.1 微分方程的基本概念,10.2 一阶微分方程,10.3 高阶微分方程,10.4 差分方程的基本概念,10.5 一阶常系数线性差分方程,10.6 二阶常系数线性差分方程,10.7 微分方程与差分方程在经济学中的应用,微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中,往,往很难直接得到所研究变量之间的函数关系,但却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的关系,从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程,即微,分方程,.,微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途,径和桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具,.,在自然科学,生物科学以及经济与管理科学中的许多,问题都可以建立起微分方程的数学模型,.,例如,物体的,冷却、人口的增长、电子波的传播等,.,微分方程是一门独立的数学学科,有完整的理论体系,.,本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常见的微,分方程求解方法.,本章还介绍差分方程的一些基本概念,及一阶、二阶常系数线性差分方程求解方法,.,最后将简,单地介绍微分方程和差分方程在经济学中的应用,.,10.1 微分方程的基本概念,一,.,引例,二,.,微分方程的概念,一,.,引例,例,1,已知曲线通过点,(0,1),且在该曲线上的任一点,处的切线斜率为,求该曲线方程,.,解,设所求曲线的方程为,y,=,f,(,x,),根据导数的几何意,义知道,未知函数,应满足关系式,并且满足下列条件,将方程,(1,0.1.1,),两端积分,得,将,代入方程,得,C=,1.,故所求曲线方程为,例,2,某种商品的需求量,Q,对价格,p,的弹性为-,1.5,p.,已知该商品的最大需求量为,800(,即,p,=0,时的需求量,),求,需求量,Q,与价格,p,的函数关系,.,解,设所求的函数关系为,Q=Q(p),则由题意可知，它应满足,由,（10.1.4）,，得,C,=800,.,即得所求函数关系为,将,(1,0.1.3,),式整理积分，得,上述两个例子,有一个共同特点：,它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数导,数的方程的求解问题,.,数学上,人们把这种方程称为微,分方程,.,定义,1,0.1.1,含有未知函数的导数,(,或偏导数,),的方程,称为,微分方程,.,当未知函数是一元函数时,称为,常微分方程,;,当,未知函数是多元函数时,称为,偏微分方程,.,微分方程有时也,简称,方程,.,二,.,微分方程的概念,例如,方程,等都是常微分方程,.,等都是偏微分方程,.,而方程,定义10.1.,2,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数,的阶数,称为微分方程的,阶,.,例如,方程,都是一阶微分方程,为二阶微分方程,.,一般地,n,阶微分方程的形式为,其中,F,是,x,y,y,y,(,n,),的已知函数,x,为自变量,y,为未知函数,且方程中一定含有,y,(,n,),.,其中,f,是,x,y,y,y,(,n,-,1),的已知函数,.,n,阶微分方程的另一种形式为,如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导数,都是一次的,则称方程为,线性微分方程,.,线性微分方程,的一,般形式为,:,其中,a,1,(,x,),、,、,a,n,-,1,(,x,),、,a,n,(,x,),f,(,x,),都是,x,的已知,函数,.,其他形式的微分方程,统称为,非线性微分方程,.,例如,是线性微分方程,是非线性微分方程,定义10.1.,3,设函数,y,=,(,x,),在区间,上有连续的,n,阶导数,并且对任意的,x,均有,则称函数,y,=,(,x,),为微分方程在区间,上的,解,.,可以验证函数,定义10.1.,4,若,n,阶微分方程的解中,含有,n,个独立任意常,数，则称其为方程的,通解,;,若,n,阶微分方程的解中不含有,任意常数，则称其为方程的,特解,.,例如,确定,n,阶微分方程通解中,n,个独立的任意常数时,通,常附加如下条件：,我们称这组条件为微分方程的,初始条件,.,微分方程满,足初始条件的求解问题称为,初值问题,.,n,阶微分方程的初,值问题通常记作,微分方程解的图形是一条曲线,叫做微分方程的,积,分曲线,.,初值问题的几何意义,就是求微分方程的通,的那条积分曲线,.,过点,例,3,验证 函数,y=,C,1,cos,x+,C,2,sin,x+x,是微分方程,的特解,.,的通解,.,并求满足初始条件,解,求出所给函数的导数,C,1,cos,x,C,2,sin,x,+,C,1,cos,x,+,C,2,sin,x+x,x,所以把,代入原方程，得,于是函数,y,=,C,1,cos,x,+,C,2,sin,x+x,是给定方程的解.,提问与解答环节,Questions And,Answers,谢谢聆听,学习,就是,为了达到一定目的而努力去干,是,为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和,挫折,Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal,