单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七节 对数函数,一、对数的概念与性质,对数的定,义及常见,对数,(1),一般地，如果,，那么数,x,叫做以,a,为底,N,的对数，记作,，其中,叫做对数的底数，,叫做,真数,.,(2),以,10,为底的对数叫做常用对数，记作,.,(3),以,e,为底的对数叫做自然对数，记作,.,a,x,N(a,0,，且,a1),x,log,a,N,a,N,lg,N,ln,N,对数的性质,(1),没有对数,.,(2),log,a,1,(a,0,，且,a1).,(3),log,a,a,(a,0,，且,a1).,(4),(a,0,，且,a1,，,N,0),负数和零,0,1,N,二、对数的运算,1.,对数的运算性质,如果,a,0,，且,a1,，,M,0,，,N,0,，那么,(1),log,a,(MN),；,(2),l,og,a,；,(3),log,a,M,n,(,n,R).,log,a,M,log,a,N,log,a,M,log,a,N,nlog,a,M,2.,换底公式,(a0,且,a1;c0,且,c 1;b0),三、对数函数的图象和性质,1.,对数函数的定义,一般地，我们把函数,y,叫做对数,函数，其中,x,是自变量，函数的定义域是,(0,，,).,log,a,x,(,a,0,，且,a,1),2.,对数函数,y,log,a,x(a,0,，且,a1),的图象和性质：,a,1,0,a,1,图,象,a,1,0,a,1,性,质,(1),定义域：,(0,，,),(2),值域：,R,(3),过定点 ，即 时，,(1,0),x,1,y,0,(4),单调性：在,(0,，,),上是,增函数,(4),单调性：在,(0,，,),上是,减函数,(5),当,0,x,1,时，,y,；当,x,1,时，,(,，,0),(0,，,),(5),当,0,x,1,时，,y,；当,x,1,时，,(0,，,),(,，,0),1.,若,log,2,a,0,，,(),b,1,，则,(,),A.a,1,，,b,0,B.a,1,，,b,0,C.0,a,1,，,b,0 D.0,a,1,，,b,0,解析：,log,2,a,log,2,1,，,0,a,1.,(),b,1,(),0,，,b,0.,答案：,D,2.,lg,8,3,lg,5,的值为,(,),A.,3 B.,1,C.1 D.3,解析：,lg,8,3,lg,5,lg,8,lg,125,lg,1000,3.,答案：,D,3.,设,a,1,，函数,f(x,),log,a,x,在区间,a,2a,上的最大值与最小,值之差为 ，则,a,等于,(,),A.B.2,C.2 D.4,解析：,a,1,，,f(x,),log,a,x,在,a,2a,上为增函数，,log,a,2a,log,a,a,，解得,a,4.,答案：,D,4.,函数,y,的定义域是,.,解析：,因,(3x,2)0,，,0,3x,21,，,x1.,答案：,(,，,1,5.,若,2,lg,(x,3y),lg,x,lg,(4y),，则 的值等于,.,解析：,由,2,lg,(x,3y),lg,x,lg,(4y),，得,整理得，,x,9y(x,y,舍去,),，所以,答案：,1.,在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，,化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对,数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对,数互化,.,2.,熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形,是对数计算、化简、证明常用的技巧,.,(1),计算：,(2),已知,2,lg,lg,x,lg,y,，求,(1),观察式子的特征，利用对数的运算性质将,式子化简,(,如去根号、降幂等,),，然后求值,.,(2),利用已知条件求得 的值后，代入,log,(3,2 ),求值,.,(2),由已知得,即,x,2,6xy,y,2,0.,1,0.,【,解,】,（,1,）原式,1.,求值：,(1),log,2,log,2,12,_,log,2,42,1,；,(2)(,lg,2),2,lg,2,lg,50,lg,25,；,(3)(,log,3,2,log,9,2)(,log,4,3,log,8,3).,(2),原式,lg,2(,lg,2,lg,50),lg,25,2,lg,2,lg,25,lg,100,2.,(3),原式,解,:,（,1,）原式,log,2,利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与,1,的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的,.,【,注意,】,在处理与对数函数有关的问题时，应注意底数的取值范围对解决问题的影响以及真数为正的限制条件,.,已知,f(x,),log,a,(a,x,1)(a,0,，且,a1).,(1),求,f(x,),的定义域；,(2),讨论函数,f(x,),的单调性,.,(1),要真数大于零，同时分,a,1,和,0,a,1,求解,.,(2),在定义域内研究函数单调性,.,【,解,】,(1),由,a,x,1,0,，得,a,x,1.,当,a,1,时，,x,0,；,当,0,a,1,时，,x,0.,当,a,1,时，,f(x,),的定义域为,(0,，,),；,当,0,a,1,时，,f(x,),的定义域为,(,，,0).,(2),当,a,1,时，设,0,x,1,x,2,，则,1,，,故,0,1,1,，,log,a,(,1),log,a,(,1),，,f(x,1,),f(x,2,),，,故当,a,1,时，,f(x,),在,(0,，,),上是增函数,.,类似地，当,0,a,1,时，,f(x,),在,(,，,0),上为增函数,.,2.,对于函数,f(x,),log (,x,2,2,ax,3),，解答下列问题：,(1),若,f,(,x,),的定义域为,R,，求实数,a,的取值范围；,(2),若函数,f,(,x,),在,(,，,1,内为增函数，求实数,a,的取值范围,.,解：,设,u,g,(,x,),x,2,2,ax,3,(,x,a,),2,3,a,2,.,(1),u,0,对,x,R,恒成立，,u,min,3,a,2,0,(,或由,x,2,2,ax,30,的解集为,R,，得,4a,2,120,，求出,).,(2),命题等价于,即所求,a,的取值范围是,1,2).,利用它们的单调性可以解决有关的大小比较问题，进而可解指数、对数不等式和方程，其基本方法是,“,同底法,”,，即将不等式和方程两边化为同底的指数式,(,或对数式,),，然后利用指数函数和对数函数的单调性脱去幂的形式,(,或对数符号,),，得出自变量的不等,(,或相等,),关系，从而把问题转化为熟悉的不等式,(,或方程,),来解决,.,已知函数,y,log,a,(x,1),在区间,3,4,上总有,1|y|1,，则,f(x,),log,a,x,在,(0,，,),上是增函数，,x,3,4,，,2x,13,，,0,log,a,2,log,a,(x,1),log,a,3,，即,log,a,2|y|,log,a,3,，,又,x,3,4,时总有,1|y|2,，,(2),若,0a1,，则,f(x,),log,a,x,在,(0,，,),上是减函数,.,x,3,4,，,2x,13,，,log,a,3,log,a,(x,1),log,a,20,0,log,a,2,log,a,(x,1),log,a,3,，,即,log,a,2|y|,log,a,3.,又,x,3,4,时总有,1|y|1),，若函,数,y,g(x,),的图象与函数,y,f(x,),的图象关于原点对称,.,(1),写出函数,g(x,),的解析式；,(2),求不等式,2f(x),g(x)0,的解集,A,；,解：,(1),设,P(x,，,y),为,y,g(x,),图象上任意一点，,则,P,关于原点的对称点,Q(,x,，,y),在,y,f(x,),的图象上，,所以,y,log,a,(,x,1),，即,g(x,),log,a,(1,x).,(2),由 ，原不等式可化为,log,a,0,，,a,1,，且,1,x,1,0,x,1,，,即,A,0,1).,对数函数在高考中的考查，重点是图象、性质及其简单应用，但有可能与其他知识结合,.,其考查形式多为选择、填空，,2009,年上海卷出题角度新颖，较好考查了函数的性质及对数式的计算,.,(2009,上海高考,),有时可用函数,f,(,x,),描述学习某学科知识的掌握程度,.,其中,x,表示某学科知识的学,习次数,(,x,N,*,),，,f,(,x,),表示对该学科知识的掌握程度，正实数,a,与学科知识有关,.,(1),证明：当,x,7,时，掌握程度的增长量,f,(,x,1),f,(,x,),总是,下降；,(2),根据经验，学科甲、乙、丙对应的,a,的取值区间分别为,(115,121,，,(121,127,，,(127,133.,当学习某学科知识,6,次时，掌握程度是,85%,，请确定相应的学科,.,解,(1),证明：当,x,7,时，,f,(,x,1),f,(,x,),而当,x,7,时，函数,y,(,x,3)(,x,4),单调递增，,且,(,x,3)(,x,4),0,，故,f,(,x,1),f,(,x,),单调递减,.,当,x,7,，掌握程度的增长量,f,(,x,1),f,(,x,),总是下降,.,(2),由题意可知,0.1,15,ln,整理得,解得,由此可知，该学科是乙学科,.,(1),学生对增长量,f(x,1),f(x,),总是下降不理解，导致一些学生不得分,.,(2),不能判定当,x7,时,y,(x,3)(x,4),是增函数是造成本题得低分的主要原因,.,