单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,17.1 勾股定理（1）,探索勾股定理,人教版八年级（下）数学,17.1 勾股定理（1）探索勾股定理人教版八年级（下）数学,1,1.,经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一,些文化历史背景，会用等面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想,.,（重点、难点）,2.,会用勾股定理进行简单的计算,.,（重点）,学习目标,1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 学习目标,2,导入新课,情景引入,导入新课情景引入,3,很多学者认为如果宇宙,“,人,”,也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解,.,勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来跟随毕达哥拉斯来探究勾股定理吧！,很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么,4,讲授新课,勾股定理的认识及验证,一,我们一起穿越回到,2500,年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：,A,B,C,问题,1,试问正方形,A,、,B,、,C,面积之间有什么样的数量关系？,讲授新课勾股定理的认识及验证一 我们一起穿越回到,5,A,B,C,一直角边,2,另一直角边,2,斜边,2,+,=,问题,2,图中正方形,A,、,B,、,C,所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？,ABC一直角边2另一直角边2斜边2+=问题2 图中正方,6,问题,3,在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形,A,、,B,、,C,是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图,(,每个小正方形的面积为单位,1),：,这两幅图中,A,B,的面积都好求，该怎样求,C,的面积呢？,问题3在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方,7,方法,1,：,补图法,(,把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：,左图：,右图：,方法1：补图法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的,8,方法,2,：割图,法,(,把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：,左图：,右图：,你还有其他办法求,C,的面积吗？,方法2：割图法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角,9,根据前面求出的,C,的面积直接填出下表：,A,的面积,B,的面积,C,的面积,左图,右图,4,13,25,9,16,9,思考,正方形,A,、,B,、,C,所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？,根据前面求出的C的面积直接填出下表：A的面积B的面积C的面,10,命题,1,如果直角三角形的两条直角边长分别为,a,b,，斜边长为,c,那么,a,2,+,b,2,=,c,2,.,两直角边的平方和等于斜边的平方,.,由上面的几个例子，我们猜想：,a,b,c,下面动图形象的说明命题,1,的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想,.,命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长,11,a,b,b,c,a,b,c,a,证法,1,让我们跟着,我国汉代数学家赵爽,拼图,再用所拼的图形证明命题吧,.,abbcabca证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,12,a,b,c,S,大正方形,c,2,，,S,小正方形,(,b,-,a,),2,S,大正方形,4,S,三角形,S,小正方形，,赵爽弦图,b-a,证明：,“,赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲,.,因为，这个图案被选为,2002,年在北京召开的国际数学大会的会徽,.,abcS大正方形c2，S小正方形(b-a)2,S大正,13,证法,2,毕达哥拉斯证法，,请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧,.,证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按,14,a,a,a,a,b,b,b,b,c,c,c,c,a,2,+,b,2,+2,ab,=,c,2,+2,ab,，,a,2,+,b,2,=,c,2,.,证明：,S,大正方形,=(,a,+,b,),2,=,a,2,+,b,2,+2,ab,S,大正方形,=4,S,直角三角形,+,S,小正方形,=4,ab,+,c,2,=,c,2,+2,ab,，,aaaabbbbcccca2+b2+2ab=c2+2ab，,15,a,a,b,b,c,c,a,2,+,b,2,=,c,2,.,证法,3,美国第二十任总统伽菲尔德的,“,总统证法,”.,如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：,a,2,+,b,2,=,c,2,.,aabbcca2+b2=c2.证法3 美国第,16,在我国又称,商高定理,，在外国则叫,毕达哥拉斯定理,，或,百牛定理,.,a,、,b,、,c,为正数,如果,直角三角形,的两直角边长分别为,a,b,斜边长为,c,那么,a,2,+,b,2,=,c,2,.,公式变形：,勾股定理,a,b,c,归纳总结,在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a,17,在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为,“,勾,”,，下半部分称为“股”,.,我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”,.,勾,股,勾,2,+,股,2,=,弦,2,小贴士,在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分,18,例,1,如图，在,Rt,ABC,中，,C,=90.,（,1,）若,a,=,b,=5,求,c,;,（,2,）若,a,=1,c,=2,求,b,.,解：,(1),据勾股定理得,(2),据勾股定理得,利用勾股定理进行计算,二,C,A,B,例1 如图，在RtABC中，C=90.,19,（,1,）若,a,：,b,=1,：,2,，,c,=5,求,a,;,（,2,）若,b,=15,，,A,=30,求,a,c,.,【变式题,1,】,在,Rt,ABC,中，,C,=90.,解：,(1),设,a,=,x,b,=2,x,根据勾股定理建立方程得,x,2,+(2,x,),2,=5,2,，,解得,(2),因此设,a,=,x,c=2,x,根据勾股定理建立方程得,(2,x,),2,-,x,2,=15,2,，,解得,已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解,.,归纳,（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，,20,【变式题,2,】,在,Rt,ABC,中，,AB,4,，,AC,3,，求,BC,的长,.,解：本题斜边不确定，需分类讨论：,当,AB,为斜边时，如图，,当,BC,为斜边时，如图，,4,3,A,C,B,4,3,C,A,B,图,图,当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解,.,归纳,【变式题2】在RtABC中，AB4，AC3，求BC的,21,例,2,已知,ACB,=90,CD,AB,AC,=3,BC,=4.,求,CD,的长,.,解：由勾股定理可得,AB,2,=,AC,2,+,BC,2,=25,，,即,AB,=5.,根据三角形面积公式，,AC,BC,=,AB,CD,.,CD,=.,A,D,B,C,3,4,由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用,归纳,例2 已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4,22,练一练,求下列图中未知数,x,、,y,的值：,解：由勾股定理可得,81+144=,x,2,，,解得,x,=15.,解：由勾股定理可得,y,2,+,144,=169,，,解得,y,=5,练一练 求下列图中未知数x、y的值：解：由勾股定理可得解：,23,当堂练习,1.,下列说法中,正确的是 （）,A.,已知,a,b,c,是三角形的三边，则,a,2,+,b,2,=,c,2,B.,在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方,C.,在,Rt,ABC,中，,C,=90,所以,a,2,+,b,2,=,c,2,D.,在,Rt,ABC,中，,B,=90,所以,a,2,+,b,2,=,c,2,C,2.,图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为,.,8 cm,10 cm,36 cm,当堂练习1.下列说法中,正确的是,24,3.,在,ABC,中，,C,=90.,（,1,）若,a,=15,，,b,=8,，则,c,=,.,（,2,）若,c,=13,，,b,=12,，则,a,=,.,4.,若直角三角形中，有两边长是,5,和,7,，则第三边长,的平方为,_.,17,5,74,或,24,3.在ABC中，C=90.17574或24,25,5.,求斜边长,17 cm,、一条直角边长,15 cm,的直角三角形的面积,.,解：设另一条直角边长是,x,cm.,由勾股定理得,15,2,+,x,2,=17,2,，,即,x,2,=17,2,-15,2,=289225=64,，,x,=8,（负值舍去），,另一直角边长为,8 cm,，,直角三角形的面积是,(cm,2,).,5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的,26,6.,如图，在,ABC,中，,AD,BC,，,B,=45，,C,=30，,AD,=1，求,ABC,的周长,解：,AD,BC,，,ADB,=,ADC,=90,在Rt,ADB,中，,B,+,BAD,=90，,B,=45，,B,=,BAD,=45，,B,D,=,A,D,=1，,AB,=,在Rt,ADC,中，,C,=30，,AC,=2,AD,=2，,CD,=，,BC,=,BD,+,CD,=1+，,ABC,的周长,=,AB,+,AC,+,BC,=,6.如图，在ABC中，ADBC，B=45，C=30,27,解：,AE,BE,，,S,ABE,AE,BE,AE,2,.,又,AE,2,BE,2,AB,2,，,2,AE,2,AB,2,，,S,ABE,AB,2,；,同理可得S,AHC,S,BCF,AC,2,BC,2,.,又,AC,2,BC,2,AB,2,，,阴影部分的面积为,AB,2,.,7.,如图，以Rt,ABC,的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边,AB,3，求,ABE,及阴影部分的面积,.,能力提升：,解：AEBE，7.如图，以RtABC的三边长为斜边分别,28,1,基本知识,1,基本技能,2,数学思想,3,赵爽弦图,拼图,毕达哥拉斯拼图,三种思想,特殊,方程,数形结合,一般,勾股定理,一个定理,四种经验,论证,观察,猜想,验证,4,数学经验,课堂小结：本节课你有哪些收获？,勾股定理历史,数学文化,5,课堂小结,1基本知识1基本技能2数学思想3赵爽弦图拼图 毕达哥拉,29,必做题：,1.,教材,第,28,页第,1,、,7,题。,2.,自学课本P25-26,选做题：,（1）课本第71页“阅读与思考”，了解勾股,定理的多种证法.,（2）有兴趣的学生上网查阅了解勾股定理的,有关知识并写一篇小论文.,课后作业,说不定你也可以创造一种新的证明方法呢！,课后作业,必做题：1.教材第28页第1、7题。课后作业说不定你也可,30,